2019-2020学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1

3 2函数模型及其应用 3 2 2函数模型的应用实例 1 解决函数应用问题的基本步骤利用函数知识和函数观点解决实际问题时 一般按以下几个步骤进行 一 审题 二 建模 三 求模 四 还原 这些步骤用框图表示如图 2 数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括 再从数学角度来反映或近似地反映实际问题 得出关于实际问题的数学描述 3 思一思 一次函数y kx b k 0 指数函数y ax a 1 对数函数y logax a 1 增长有什么特点 解析 一次函数直线上升 其增长速度固定不变 指数增长 其增长量成倍增加 增长速度是直线上升所无法企及的 随着自变量的不断增大 直线上升与指数增长的差距越来越大 当自变量很大时 这种差距大得惊人 所以 指数增长 可以用 指数爆炸 来形容 对数增长 其增长速度平缓 当自变量不断增大时 其增长速度小于直线上升的速度 例1 据市场分析 烟台某海鲜加工公司 当月产量在10吨至25吨时 月生产总成本y 万元 可以看成月产量x 吨 的二次函数 当月产量为10吨时 月总成本为20万元 当月产量为15吨时 月总成本最低为17 5万元 为二次函数的顶点 1 写出月总成本y 万元 关于月产量x 吨 的函数关系 2 已知该产品销售价为每吨1 6万元 那么月产量为多少时 可获最大利润 二次函数模型 解题探究 根据利润 销售收入 成本列出函数关系式 利用二次函数求最值的方法求解 方法规律 在函数模型中 二次函数模型占有重要的地位 根据实际问题建立二次函数解析式后 可以利用配方法 判别式法 换元法 函数的单调性等方法来求函数的最值 从而解决实际问题中的利润最大 用料最省等问题 1 a b两城相距100km 在两城之间距a城xkm处建一核电站给a b两城供电 为保证城市安全 核电站距城市距离不得小于10km 已知供电费用等于供电距离 km 的平方与供电量 亿度 之积的0 25倍 若a城供电量为每月20亿度 b城供电量为每月10亿度 1 把月供电总费用y表示成x的函数 并求x的取值范围 2 核电站建在距a城多远 才能使供电点费用y最少 分段函数模型 解题探究 日销售金额 日销售量 日销售价格 而日销售量及销售价格 每件 均为t的函数 从而可得日销售金额与t的函数关系 2 当25 t 30且t n 时 y t 70 2 900 所以当t 25时 ymax 1125元 综合 1 2 得ymax 1125元 因此这种商品日销售额的最大值为1125元 且在第25天日销售金额达到最大 方法规律 建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点 即明确自变量的取值区间 对每一区间进行分类讨论 从而写出函数的解析式 例3 某公司拟投资100万元 有两种投资可供选择 一种是年利率10 按单利计算 5年后收回本金和利息 另一种是年利率9 按每年复利一次计算 5年后收回本金和利息 哪一种投资更有利 这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元 结果精确到0 01万元 解题探究 本题主要考查单利和复利的计算 需先分别计算两种投资方式5年后的本息和 再通过比较作答 指数 对数函数模型 解析 本金100万元 年利率10 按单利计算 5年后的本息和是100 1 10 5 150 万元 本金100万元 年利率9 按每年复利一次计算 5年后的本息和是100 1 9 5 153 86 万元 由此可见 按利率9 每年复利一次计算要比按年利率10 单利计算更有利 5年后多得利息153 86 150 3 86 万元 方法规律 在实际问题中 有关人口增长 银行利率 细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示 通常可以表示为y n 1 p x 其中n为基础数 p为增长率 x为时间 的形式 3 20世纪70年代 里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度 就是使用测震仪衡量地震能量的等级 地震能量越大 测震仪记录的地震曲线的振幅就越大 这就是我们常说的里氏震级m 其计算公式为 m lga lga0 其中a是被测地震的最大振幅 a0是 标准地震 的振幅 1 假设在一次地震中 一个距离震中1000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20 此时标准地震的振幅是0 002 计算这次地震的震级 2 5级地震给人的震感已比较明显 我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍 示例 如图所示 圆弧型声波dfe从坐标原点o向外传播 若d是dfe与x轴的交点 设od t 0 t a 圆弧型声波dfe在传播过程中扫过菱形oabc的面积为s 图中阴影部分 则函数s f t 的图象大致是 审题不清而导致错误 错解 观察图题可知 声波扫过的面积先增大后减小 故正确答案为b 错因 本题的错误很明显 y指的是声波扫过的总面积 不是发展趋势 所以扫过的面积始终是增大的 上述判断是因主观性太强而致错 正解 从题目所给的背景图形中不难发现 在声波未传到a c点之前 扫过图形的面积不断增大 而且增长得越来越快 当离开a c点之后 扫过图形的面积会增长得越来越慢 所以函数图象刚开始应是下凹的 然后是上凸的 故选a 警示 函数图象的凸凹性是函数的一个重要性质 其一般规律是 上凸函数图象若减 则从左到右减得越来越快 若增 则从左到右增得越来越慢 下凹函数图象正好相反 1 函数模型的应用实例主要包括三个方面 1 利用给定的函数模型解决实际问题 2 建立确定性的函数模型解决实际问题 3 建立拟合函数模型解决实际问题 2 在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时 一是要注意自变量的取值范围 二是要检验所得结果 必要时运用估算和近似计算 以使结果符合实际问题的要求 3 在实际问题向数学问题的转化过程中 要充分使用数学语言 如引入字母 列表 画图等使实际问题数学符号化 1 用长度为24的材料围一矩形场地 中间加两道隔墙 要使矩形的面积最大 则隔墙的长度为 a 3b 4c 6d 12 答案 a 2 2018年陕西宝鸡模拟 调查表明 酒后驾驶是导致交通事故的主要原因 交通法规规定 驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0 2mg ml 如果某人喝了少量酒后 血液中酒精含量将迅速上升到0 8mg ml 在停止喝酒后 血液中酒精含量就以每小时50 的速度减少 则他要开始驾驶机动车至少要等待的时间为 a 1小时b 2小时c 3小时d 4小时 答案 b 解析 设x小时后 血液中酒精含量为y 则y 0 8 0 5x 令y 0 8 0 5x 0 2 解得x 2 即要开始驾驶机动车至少要等待2小时 故选b 3