09高三数学应用题

用心 爱心 专心 09 届高三数学应用题专题届高三数学应用题专题 1 甲 乙两人同时从图书馆走向教室 甲一半路程步行 一半路程跑步 乙一半时间步行 一半时间跑步 若两人步行 跑步的速度一样 则先到教室的是 A 甲 B 乙 C 甲 乙同时 D 无法确定 2 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2KB 工作时 3 分钟自身复制一次 即 复制后所占内存是原来的 2 倍 那么 开机后 分钟 该病毒占据 64MB 1210MBKB A 45B 48C 51D 42 3 福州某中学的研究性学习小组为考察闽江口的一个小岛的湿地开发情况 从某码头乘汽 艇出发 沿直线方向匀速开往该岛 靠近岛时 绕小岛环行两周后 把汽艇停靠岸边 上岸考察 然后又乘汽艇沿原航线提速返回 设 t 为出发后的某一时刻 S 为汽艇与 码头在时刻 t 的距离 下列图象中能大致表示 S f x 的函数关系的为 D C B A yy y x xx oooo y x 4 某金店用一杆不准确的天平 两边臂不等长 称黄金 某顾客要购买黄金 售货员10g 先 将的砝码放在左盘 将黄金放于右盘使之平衡后给顾客 然后又将的砝码放入右 5g5g 盘 将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客 则顾客实际所得黄金 A 大于 B 小于 C 大于等于 D 小于等于10g10g10g10g 5 13 年前一笔扶贫助学资金 每年的存款利息 年利率 11 34 不纳税 可以资助 100 人 上学 平均每人每月 94 50 元 现在 存款利率 1 98 并且扣 20 的税 用同样一笔资 金每年的存款利息最多可以资助多少人上学 平均每人每月 100 元 A 10B 13C 15D 20 6 如图 B 地在 A 地的正东方向 4 km 处 C 地在 B 地的北偏东 30 方向 2 km 处 现要在曲线 PQ 上任意选一处 M 建一座码头 向 B C 两 地转运货物 经测算 从 M 到 B C 两地修 建公路的费用都是 a 万元 km 那么修建这两 条公路的总费用最低是 A 7 1 a 万元 B 27 2 a 万元 用心 爱心 专心 图 1 C 27a 万元 D 7 1 a 万元 7 设是某港口水的深度 y 米 关于时间 t 时 的函数 其中 下表是 tfy 240 t 该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 t 与水深 y 的关系 t03691215182124 y1215 112 19 111 914 911 98 912 1 经长期观观察 函数的图象可以近似地看成函数的图 tfy sin tAky 象 在下面的函数中 最能近似表示表中数据间对应关系的函数是 A B 24 0 6 sin312 tty 24 0 6 sin 312 tty C D 24 0 12 sin312 tty 24 0 212 sin 312tty 8 某新区新建有 5 个住宅小区 A B C D E 现要铺设连通各小区的自来水管道 如 果它们两两之间的线路长如下表 A BC D E A 5785 B352 C54 D4 E 请问 最短的管线长为 A 13 B 14 C 15 D 17 9 图 1 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形 再沿虚线折起 做成一个无盖的正六棱柱容器 图 2 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时 其容积最大 10 小宁中午放学回家自己煮面条吃 有下面几道工序 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 1 洗锅盛水 2 分钟 2 洗菜 地 名 距 离 km 地 名 用心 爱心 专心 6 分钟 3 准备面条及佐料 2 分钟 4 用锅把水烧开 10 分钟 5 煮面条和菜共 3 分钟 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 以上各道工序除 4 之外 一次只能进行一道工序 小宁要将面条煮好 最少用 分钟 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 11 某地区有 1500 万互联网用户 该地区某用户感染了某种病毒 假设该病毒仅在被感染 的第 1 小时内传染给另外 2 个用户 若不清除病毒 则在第 22 小时内该地区感染此病毒 的用户数为 12 如图 开始时桶 A 中有 a 升水 t 分钟后剩余的水量符合 指数衰减函数 其中 e n 为常数 此时 1 e nt ya 桶 B 中的水量就是 假设过 5 分钟后桶 A 和 2 e nt yaa 桶 B 中的水量相等 则再过 分钟 桶 A 中只有水 升 8 a 13 2007 年 11 月 6 日 11 时 35 分 北京航天飞行控制中心对 嫦娥一号 成功实 施了第二次近月制动 卫星顺利进入周期为 3 5 小时的环月小椭圆轨道 以月球中心为焦点 卫星远月点高度由 8600 公里降至 1700 公里 近月点高度是 200 公里 月球的半径约是 1800 公里 此时小椭圆轨道的离心率是 14 一只小船以 10 m s 的速度由南向北匀速驶 过湖面 在离湖面高 20 米的桥上 一辆汽车 由西向东以 20 m s 的速度前进 如图 现在 小船在水平 P 点以南的 40 米处 汽车在桥上 Q 点以西 30 米处 其中 PQ 水面 则小船 与汽车间的最短距离为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 不考虑 汽车与小船本身的大小 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 15 某公司试销一种成本单价为 500 元 件的新产品 规定试销时的销售单价不低于成本 单价 又不高于 800 元 件 经试销调查 发现销售量 y 件 与销售单价 x 元 件 之 间近似于如图所示的一次函数 y kx b 的关系 1 根据图象 求一次函数 y kx b 的解析式 2 设公司获得毛利润 毛利润 销售总价 成本总价 为 S 元 试用销售单价 x 表示毛利润 S 试问销售单价定为多少时 此公司获得最大毛利润 最大毛利润是多少 此时的销售量 是多少 16 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 某商品每件成本 9 元 售价为 30 元 每星期卖出 432 件 如果降低价格 销售量可以 增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 单位 元 的平x030 x P 东 东 东东 东东 用心 爱心 专心 方成正比 已知商品单价降低 2 元时 一星期多卖出 24 件 将一个星期的商品销售利润表示成的函数 x 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 17 某地区位于沙漠边缘地带 到 2004 年底该地区的绿化率只有 30 计划从 2005 年开 始加大沙漠化改造的力度 每年原来沙漠面积的 16 将被植树改造为绿洲 但同 时原有绿洲面积的 4 还会被沙漠化 设该地区的面积为 1 2002 年绿洲面积为 经过一年绿洲面积为 经 10 3 1 a 2 a 过 n 年绿洲面积为求证 1 n a 25 4 5 4 1 nn aa 求证 是等比数列 5 4 1 n a 问至少需要经过多少年努力 才能使该地区的绿洲面积超过 60 取 3 02lg 18 制定投资计划时 不仅要考虑可能获得的盈利 而且要考虑可能出现的亏损 某投资人 打算投资甲 乙两个项目 根据预测 甲 乙项目可能的最大盈利率分别为 100 和 50 可能的最大亏损率分别为 30 和 10 投资人计划投资金额不超过 10 万元 要 求确保可能的资金亏损不超过 1 8 万元 问投资人对甲 乙两个项目各投资多少万元 才能使可能的盈利最大 19 如图所示 校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器 已知喷 水器的喷水区域是半径为 5m 的圆 问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置 才能 使花坛的面积最大且能全部喷到水 20 某校为扩大教学规模 从今年起扩大招生 现有学生人数为 b 人 以后学生人数年增 长率为 4 9 该校今年年初有旧实验设备 a 套 其中需要换掉的旧设备占了一半 学校决 定每年以当年年初设备数量的 10 的增长率增加新设备 同时每年换掉 x 套的旧设备 1 如果 10 年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番 那么每年应更换的 旧设备是多少套 2 依照 1 更换速度 共需多少年能更换所有需要更换的旧设备 下列数据供计算时参 考 1 19 2 381 00499 1 04 喷水器喷水器 用心 爱心 专心 1 110 2 601 004910 1 05 1 111 2 851 004911 1 06 高三数学应用题专题答案高三数学应用题专题答案 1 B2 A3 C4 A5 B6 B7 A8 B 9 2 3 10 15 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 按以下工序操作所需时间最少 并在此时完成 所用时 间为 2 10 3 15 分钟 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 11 解析 23 21 23724 21 5 102 12 10 13 11 3 14 30m 解析 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设经过时间 t 汽车在 A 点 船在 B 点 如图 则 AQ 30 20t BP 40 10t PQ 20 且有 AQ BP PQ AQ PQ PB 设小船 所在平面为 AQ QP 确定平面为 记 l 由 AQ AQ 得 AQ l 又 AQ PQ 得 PQ l 又 PQ PB 及 l PB P 得 PQ 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 作 AC PQ 则 AC 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 连 CB 则 AC CB 进而 AQ BP CP AQ 得 CP BP AB2 AC2 BC2 PQ2 PB2 PC2 202 40 10t 2 30 20t 2 100 5 t 2 2 9 t 2 时 AB 最短 最短距离为 30 m 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 15 分析 1 本题把一次函数 二次函数及其有关计算问题赋予实际意义 把市场经济 引进初中数学 观察图象可知 直线 y kx b 经过 600 400 700 300 两点 利用 待定系数法即可求出其解析式 2 根据公式 毛利润 销售总价 成本总价 得 S xy 500y 2 本题的解答要实现由一次函数向二次函数 的转化 即要灵活运用一次函数和二次函数的有 关知识 并要考虑题设中对单价的限制 把求得 的值代入检验 看是否符合要求 解 1 把 600 400 700 300 两点的坐标分别代入 y kx b 得 700300 600400 bk bk A B Q C P 用心 爱心 专心 解得 1000 1 b k y x 1000 其中 x 的取值范围是 500 x 800 2 S xy 500y x x 1000 500 x 1000 即 S x2 1500 x 500000 500 x 800 S x2 1500 x 500000 x 750 2 62500 当 x 750 时 S最大值 62500 此时 y x 1000 750 1000 250 件 故当销售单价定为 750 件时 此公司获得最大毛利润 62500 元 此时的销售量是 250 件 16 解 1 设商品降价元 则每个星期多卖的商品数为 若记商品在一个星期的获x 2 kx 利为 则依题意有 f x 22 309 432 21 432 f xxkxxkx 又由已知条件 于是有 2 242k 6k 所以 32 61264329072 0 30 f xxxxx 时时 2 根据 1 我们有 当变化时 2 1825243218 2 12 fxxxxx x 与的变化如下表 fx f x x 0 2时2 212 时12 12 30时 fx 0 0 f x A 极小A极大A 故时 达到极大值 因为 12x f x 0 9072f 12 11264f 所以定价为元能使一个星期的商品销售利润最大 30 1218 17 解 设 2004 年底沙漠面积为 b1 经过 n 年治理后沙漠面积为 bn 1 则 an bn 1 依题意 an 1由两部分组成 一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积 an 4 an 96 an 另一部分是新植树绿洲化的面积 16 bn 于是 an 1 96 an 16 bn 96 an 16 1 an 80 an 16 25 4 5 4 n a 由两边减去得 是以 25 4 5 4 1 nn aa 5 4 1 444 555 nn aa 1 4 5 n a 为首项 为公比的等比数列 2 1 5 4 1 a 5 4 用心 爱心 专心 由 可知 依题意 60 即 两边取对数得 1 41 4 52 5 n n a n 5 4 2 1 5 4 42 55 n 4 9 01 6 01 2lg31 2lg21 5lg2lg2 5lg2lg 5 2 log 5 4 n 故至少需要 5 年才能达到目标 18 解 设投资人分别用 x 万元 y 万元投资甲 乙两个项目 由题意知 0 0 8 11 03 0 10 y x yx yx 目标函数 z x 0 5y 上述不等式组表示的平面区域如图所示 阴影部分 含边界 即可行域 作直线 并作平行于直线的一组直线05 0 0 yxl 0 l 5 0Rzzyx 与可行域相交 其中有一条直线经过可行域上的 M 点 且 与直线的距离最大 这里 M 点是直线05 0 yx10 yx 和的交点 8 11 03 0 yx 解方程组 得 x 4 y 6 8 11 03 0 10 yx yx 此时 万元 765 041 z 当 x 4 y 6 时 z 取得最大值 07 答 投资人用 4 万元投资甲项目 6 万元投资乙项目 才能在确保亏损不超过 1 8 万元的前 提下 使可能的盈利最大 19 解 设花坛的长 宽分别为 xm ym 根据要求 矩形花坛应在喷水区域内 顶点应恰 好位于喷水区域的边界 依题意得 25 2 4 22 yx 0 0 yx 问题转化为在 的条件下 求的最大值 0 0 yx100 4 2 2 y x xyS 法一 由和及得 100 2 2 2 22 y x y x xyS y x 2 100 4 2 2 y x 0 0 yx 25 210 yx100 max S 法二 0 0 yx100 4 2 2 y x 用心 爱心 专心 4 100 2 x xxyS 10000 200 4 1 4 100 22 2 2 x x x 当 即 由可解得 200 2 x210 x100 max S100 4 2 2 y x 25 y 答 花坛的长为 宽为 两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心 则m210m25 符合要求 20 解 1 设今年学生为 b 人 则 10 年后学生为 b 1 4 9 10 1 05b 由题设可知 1 年后的设备为 1 10 1 1axax 2 年后的设备为 22 1 1 1 10 1 11 11 1 1 1 1 axxaxxax 3 年后的设备为 23232 1 11 1 1 10 1 11 11 11 1 1 1 1 1 1 axxxaxxxax 10 年后的设备为 1029 10 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 6 1 1 1 2 616 ax ax ax 由题设得 解得 2 616 2 1 05 axa bb 1 32 xa 2 全部更换旧设备还需 1 16 232 a a 答 1 每年更换旧设备为 2 按此速度全部更换旧设备还需 16 年 2 1 16 a m 用心 爱心 专心 附其他题型附其他题型 1 通过研究学生的学习行为 专家发现 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化 讲课开始时 学生的兴趣激增 中间有一段时间 学生的兴趣保持较理想的状态 随后学 生的注意力开始分散 设 f t 表示学生注意力随时间 t 分钟 的变化规律 f t 越大 表明 学生注意力越集中 经过实验分析得知 4020 3807 2010 240 100 10024 2 tt t ttt tf 1 讲课开始后多少分钟 学生的注意力最集中 能持续多少分钟 2 讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较 何时学生的注意力更集中 3 一道数学难题 需要讲解 24 分钟 并且要求学生的注意力至少达到 180 那么经 过适当安排 老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目 1 解 解 1 当 是增函数 且时100 t244 12 10024 22 ttttf 是减函数 且 所以 讲240 10 f时当4020 t 7380f tt 240 20 f 课开始 10 分钟 学生的注意力最集中 能持续 10 分钟 2 故讲课开始 25 分钟时 学生的注意力比讲课开始后 5 分205 25 195 5 ff 钟更集中 当时 当 100 t4 18010024 2 ttttf则4020 t 3 令 则学生注意力在 180 以上所持续的时间 2 7380180 28 57f ttt 则 28 57 4 24 57 24 所以 经过适当安排 老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这 道题 2 已知某海滨浴场的海浪高度 y 米 是时间 t 0 t 24 单位小时 的函数 记作 y f t 下表是某日各时的浪高数据 t 时 036 91215182124 用心 爱心 专心 y 米 1 51 00 51 0 1 4910 510 991 5 经长期观测 y f t 的曲线可近似地看成函数 y Acos t b 1 根据以上数据 求出函数 y Acos t b 的最小正周期 T 振幅 A 及函数表达式 2 依据规定 当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放 请依据 1 的结论 判断 一天内的上午 8 00 至晚上 20 00 之间 有多少时间可供冲浪者进行运动 2 解 1 由表中数据 知 T 12 6 2 T 由 t 0 y 1 5 得 A b 1 5 由 t 3 y 1 0 得 b 1 0 所以 A 0 5 b 1 振幅 A 2 1 y 1 6 cos 2 1 t 2 由题意知 当 y 1 时 才可对冲浪者开放 1 0 2k 1 6 cos 2 1 t t 6 cos 即有 12k 3 t 13k 3 2 2 62 kt 由 0 t 24 故可令 k 0 1 2 得 0 t 3 或 9 t 15 或 21 t 24 在规定时间内有 6 个小时可供冲浪者运动即上午 9 00 至下午 15 00 3 2009 吴川 某民营企业生产 A B 两种产品 根据市场调查与预测 A 产品的 利润与投资成正比 其关系如图甲 B 产品的利润与投资的算术平方根成正比 其关系如图乙 注 利润与投资单位 万元 甲 乙 1 分别将 A B 两种产品的利润表示为投资x 万元 的函数关系式 2 该企业已筹集到 10 万元资金 并全部投入 A B 两种产品的生产 问 怎样 分配这 10 万元投资 才能使企业获得最大利润 其最大利润为多少万元 3 解 1 设投资为 x 万元 A 产品的利润为 f x 万元 B 产品的利润为 g x 万元 由题设xkxgxkxf 21 由图知 f 1 4 1 故 k1 4 1 3 分 又 4 5 2 5 4 2 kg 5 分 用心 爱心 专心 从而 0 4 5 0 4 1 xxxgxxxf 7 分 2 设 A 产品投入 x 万元 则 B 产品投入 10 x 万元 设企业利润为 y 万元 100 10 4 5 4 1 10 xxxxgxfy 9 分 令xt 10则 100 16 65 2 5 4 1 4 5 4 10 2 2 ttt t y 12 分 当75 3 16 65 2 5 max xyt时时时 答 当 A 产品投入 3 75 万元 则 B 产品投入 6 25 万元 企业最大利润为 16 65 万元 14 分 4 2009 广东四校 一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比 与它的 厚度 d 的平方成正比 与它的长度 l 的平方成反比 1 将此枕木翻转 90 即宽度变为了厚度 枕木的安全 负荷变大吗 为什么 2 现有一根横断面为半圆 半圆的半径为 R 的柱形木材 用它来截取成长方形的 枕木 其长度即为枕木规定的长度 问如何截取 可使安全负荷最大 4 解 1 安全负荷 2 2 1 l ad ky k 为正常数 翻转 90 后 2 2 2 l da ky a d y y 2 1 当 0 d a 时 21 yy 安全负荷变大 当 0 a d 时 12 yy 安全负荷变小 当 d a 时 21 yy 安全负荷不变 6 分 2 设截取的宽为 a 高为 d 则 222 2 Rd a 即 222 44Rda 枕木长度不变 2 adu 最大时 安全负荷最大 u a a R2 a2 u a2 R2 1 4 3 4 令 u 0 则 a R 时 u 最大 即安全负荷最大 14 分 5 2009 饶平 如图 公园有一块边长为2的等边 ABC的边角地 现修成草坪 图中 DE把草坪分成面积相等的两部分 D在AB上 E在AC上 用心 爱心 专心 C D Ey x B A 1 设ADx EDy 求用x表示y的函数关系式并写出其定义域 2 求函数y的最小值 5 解 1 在 ADE中 222 2cos60oyxAEx AE 222 yxAEx AE 2 分 又 131 sin60 222 o ADEABC SSx AE 故2x AE 即 2 AE x 当点E与点C重合时 2 2AE x 解得1x 故12x 6 分 代入 得 222 2 2yx x 又0y 2 2 4 2 12 yxx x 10 分 2 2 2 4 22 422yx x 当且仅当 2 2 4 x x 即2x 时取等号 所以当2x 时 函数y取得最小值为2 14 分 6 某单位在抗雪救灾中 需要在 A B 两地之间架设高压电线 测量人员在相距 6000m 的 C D 两地 A B C D 在同一平面上 测得 ACD 45 ADC 75 BCD 30 BDC 15 如图 假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因 实际 所须电线长度大约应该是 A B 距离的 1 2 倍 问施工单位至 少应该准备多长的电线 参考数据 21 4 31 7 72 6 6 解 在 ACD 中 CAD 180 ACD ADC 60 CD 6000 ACD 45 根据正弦定理 AD sin452 sin603 CD CD 在 BCD 中 CBD 180 BCD BDC 135 CD