数学人教版九年级上册直角三角形在二次函数中的存在性问题.docx

复习课二次函数与几何图形存在性问题直角三角形的存在性问题教学设计普定县第二中学 孙家坤课题二次函数与几何图形存在性问题 直角三角形的存在性问题学科数学教材背景及学情分析本节课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级（上）二次函数的复习综合内容。 本节课主要是研究抛物线与直角三角形存在性的综合问题，是在学生了解了抛物线及其性质的基础上进行的，它是前面所学知识的应用。因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用。教学目标重难点分析1.知识与技能通过探索理解并掌握:（1）在平面直角坐标系表示线段的长。（2）探究直角三角形在抛物线中的存在性问题。2.过程与方法 通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力。3.情感态度与价值观（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣。（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐。（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。4.教学重点：探索直角三角形在抛物线中的存在性问题，并利用其解决相关问题。5.教学难点：在抛物线中探究直角三角形的存在。教学环节教师活动学生活动设计意图媒体使用活动1：典例精讲 例 如图，已知抛物线y12x2bxc经过点B(4，0)和点C(0，2)，与x轴的另一个交点为点A，其对称轴l与x轴交于点E，过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D，连接AD。 (1)求该抛物线的解析式； 【思路点拨】解：略(2)判断ABD的形状；【思路点拨】判断三角形形状，一般为特殊三角形，若两边相等，则为等腰三角形；若三边相等，则为等边三角形；若两条边的平方和等于第三边的平方，则为直角三角形。解：略(3)P为线段AD上一点，连接PE，若APE是直角三角形，求点P的坐标； 【思路点拨】 解：略(4)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由 【思路点拨】 分别利用勾股定理，列出方程求解若有解，则存在；若无解，则不存在解：略观察思考，带着问题进入学习。学生书写求解过程。学生能够根据已知条件求出二次函数的解析式。能够由点的坐标求出三角形的边长，再由三边满足勾股定理的逆定理判断三角形的形状。会分类讨论，求出满足条件的点的坐标。会利用两点间的距离公式表示处三角形的边长，能熟练进行分类讨论，从而求出满足条件的点的坐标。多媒体展示课件电子白板书写解答过程。活动2：归纳总结（满分技法）对于抛物线与直角三角形的综合问题，解题时，一般需做好以下几点：1利用坐标系中两点距离公式，得到所求三角形三边平方的代数式；2确定三角形中的锐角，若存在锐角，则只需使得另外两个角中任意一个角为直角，并利用勾股定理列方程求解；若无法确定哪个角是锐角，则需要讨论三个角；3根据勾股定理得到方程，并解方程即可，若方程有解，此点存在；否则不存在；4有时也可以考虑运用所求三角形与已知的直角三角形相似，利用比例关系求出对应的参数 总结归纳，得出解决这类问题的方法。让学生经历从生活中抽象出数学知识的过程，使他们体会到学习数学的乐趣。多媒体展示。活动3：针对演练1.如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标第1题图解：(1)依题意得，解得，抛物线解析式为yx22x3，对称轴为x1，抛物线经过A(1，0)，B(3，0)，把B(3，0)，C(0，3)分别代入ymxn得，解得，直线BC的解析式为yx3；第1题解图(2)设P(1，t)，B(3，0)，C(0，3)，BC218，PB2(13)2t24t2，PC2(1)2(t3)2t26t10，若PBC90，则BC2PB2PC2，即184t2t26t10，解得t12，点P的坐标为(1，2)；若PCB90，则BC2PC2PB2，即18t26t104t2，解得t24，点P的坐标为(1，4)；若BPC90，则PB2PC2BC2，即4t2t26t1018.解得t3，t4，点P的坐标为(1，3)或(1，)综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：(1，2)，(1，4)，(1，)，(1，)(10分)2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc过A，B，C三点，点A的坐标是(3，0)，点C的坐标是(0，3)，动点P在抛物线上(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； 解：(1)把点A(3，0)、C(0，3)的坐标分别代入抛物线的解析式yx2bxc得出方程组，解得，抛物线的解析式是yx22x3，令x22x30，解得x11，x23，点A的坐标为(3，0)，第2题解图点B 的坐标是(1，0); (2)存在如解图，过点C作AC的垂线与抛物线交于点P，与x轴交于点N，OCOA3，ONOC3，N(3，0)，直线CN经过C(0，3)，N(3，0)，直线CN的解析式是yx3，抛物线与直线CN交于一点，x22x3x3，解得x11，x20，当x0时，点P 与点C重合，不合题意，当x1时，y4，此时点P 的坐标是(1，4). 过点A作AC的垂线，交y轴于点M，点M 的坐标为(0，3)，直线AM经过A(3，0)，M(0，3)，直线AM的解析式是yx3，抛物线与直线AM交于一点，x22x3x3，解得x13，x22，当x3时，点P与点A重合，不合题意，当x2时，y5.此时点P 的坐标是(2，5)；综上，符合条件的点P有2