社保卡培训材料2010年11月09.ppt - 社保中心

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(c)已知兩人有見到面，求甲在乙到達之前的,機率？,例題:,解法:,例題：,解法：,一線段從 到 ，若點 為此線段的中點座標，自此線段中隨機取一點，設其座標為 。試求線段 及 可構成三角形的機率?,例題:,解法:,某經理計畫對一組合生產線進行品質管制。考慮此生產線 個完成的產品，並計算其損壞產品的個數 。假設 表示生產損壞產品的機率且假設生產線所生產的產品很多，則 具有二項分配。若 值每天都不一樣且假設在區間 到 具有均勻分配，試求每天生產損壞產品 的平均個數?,解法:,考慮此生產線 個完成的產品，並計算其損壞產品的個數 。假設 表示生產損壞產品的機率且假設生產線所生產的產品很多，則 具有二項分配。若 值每天都不一樣且假設在區間 到 具有均勻分配，試求每天生產損壞產品 的平均個數?,例題:,解法:,自一個圓內隨機取出一點，試求所取之點和圓心的距離比所取之點和邊界的距離短的機率是多少?,設一圓的半徑為 ，圓心為,隨機變數 表所取之點與圓心 距離,例題:,解法:,若隨機變數 具有均勻分配，即 試求動差母函數，並利用動差母函數計算平均數及變異數?,例題:,解法:,假設一隨機變數具有參數 和 之均勻分配。試證明：隨機變數值少於等於 的機率為 ，其中 。,例題:,解法:,若 和 皆為獨立的隨機變數，且皆為均勻分配於 ，試求,例題:,解法:,若 和 具有聯合機率密度函數 ，其均勻分配於頂點為 之三角形，試求 (a) (b),所構成三角形面積為,解法:,(b),當,當,當,當,例題:,解法:,假設二維連續型隨機變數 均勻分配在區域 試求(a) 之聯合密度函數 (b) (c),所構成三角形面積為,解法:,(b) (c),(b),(c),因 為一點，機率為零,例題:,解法:,令 均等地取自 ， 均等地取自 ， 均等地取自 。求 的聯合密度函數和 的邊際機率函數。,因,5-2 Gamma分配,設隨機變數 表示在時間長度為 時事件發生的次數。若隨機變數 滿足卜瓦松公設，則在時間長度為 時，事件發生 次的機率為,事件 表示：事件第 次發生的時間會超過 個單位時間。即在時間長度為 時，事件至多完成 件。,隨機變數 之累積分配函數為,隨機變數 之機率密度函數為,Gamma分配,若隨機變數 具有機率密度函數,當 ，Gamma分配則為指數分配。,若隨機變數 具有機率密度函數,令參數 ，Gamma分配可表示成,：事件發生一次所需平均時間,例題:,解法:,台北郵局出售郵票的服務窗口，每天的購郵民眾根據公交會的調查顯示，以平均二分鐘之卜瓦松分配抵達，請問五月五日第一位到達的顧客與第三位到達的顧客之相距時間至少在四分鐘以上的機率為多少？,設隨機變數 表示第一位到達的顧客與第三位到達的顧客之相距時間,第一位到達的顧客與第三位到達的顧客,以平均二分鐘之卜瓦松分配抵達,台北郵局出售郵票的服務窗口，每天的購郵民眾根據公交會的調查顯示，以平均二分鐘之卜瓦松分配抵達，請問五月五日第一位到達的顧客與第三位到達的顧客之相距時間至少在四分鐘以上的機率為多少？,第一位到達的顧客與第三位到達的顧客之相距時間至少在四分鐘以上的機率,證明:,若隨機變數,隨機變數 的動差母函數：,定理：,Gamma分配的平均值與變異數,若隨機變數 ，且,證明:,例題:,解法:,汽車以平均每 10 分鐘到達一輛車的卜瓦松過程到達某收費亭，令 表示收費亭管理員收齊第 8 輛車費的等待時間。(a) 具有何種分配？平均等待時間為何？(b)試求等待時間的最大值？,(a),(b),即 在 時等待時間有最大值,性質:,若 ，且 互相獨立，則,證明：,因 互相獨立,所以,推論:,若 皆為具有參數 的指數變數且彼此互相獨立，若,則隨機變數 為具有參數 的Gamma分配。,例題:,解法:,假設一服務站站員調整輪胎所需時間為具有 參數之指數分配，試求下列機率值？,(a)調整2個輪胎最多8分鐘？(b)調整3個輪胎至少12分鐘？,設隨機變數 為調整2個輪胎所需的時間，則,調整2個輪胎最多8分鐘的機率,解法:,假設一服務站站員調整輪胎所需時間為具有 參數之指數分配，試求下列機率值？,(b)調整3個輪胎至少12分鐘？,(b)設隨機變數 為調整3個輪胎所需的時間，則,調整3個輪胎至少12分鐘的機率,例題:,解法:,某工廠生產的保險絲平均壽命為300小時。假設保險絲的壽命具有指數分配。若你的車的電力系統至少需要一個這種保險絲方能運作。(a)車子在100小時以內故障的機率 (假設保險絲是新的)。(b)試求你要長途旅行且你只有4個預備保 險絲，你預期你大約可以走多久？,(a),解法:,某工廠生產的保險絲平均壽命為300小時。假設保險絲的壽命具有指數分配。若你的車的電力系統至少需要一個這種保險絲方能運作。(b)試求你要長途旅行且你只有4個預備保 險絲，你預期你大約可以走多久？,(b),設變數 分別表示 5 個保險絲的壽命，則,例題:,解法:,在某城市每天所消耗電力(每小時百萬瓦特)，被視為一隨機變數，其具有 的Gamma分配。假設這城市電力公司每天可供應 12 百萬瓦特/小時，試求任一天電力供給不足的機率?,5-3 指數分配,設隨機變數 表示在時間長度為 時事件發生的次數。若隨機變數 滿足卜瓦松公設，則在時間長度為 時，事件發生 次的機率為,事件 表示：事件第一次發生的時間會超過 個單位時間。即在時間長度為 時，事件沒有發生。,隨機變數 之累積分配函數為,隨機變數 之機率密度函數為,指數分配(Exponential Distribution),若隨機變數 具有機率密度函數,則稱 為具有參數 的指數變數，通常以符號 表示。而函數 稱為具,有參數 的指數分配。,若隨機變數 具有機率密度函數,則稱 為具有參數 的指數變數，通常以符號 表示。而函數 稱為具,稱為具有參數 的指數分配。,令參數 ，指數分配可表示成,：事件發生一次所需平均時間,例題:,解法:,某些器具須每兩年修理一次，假設修理期間為指數分配。試求此器具將工作至少三年不需修理的機率為多少?,例題:,解法:,設 為一離散型隨機變數，表示在 時間內顧客到達超級市場櫃檯結帳的人數。令 滿局卜瓦松公設：,(a)令 代表第一位顧客到達櫃檯時所等待的 時間，且 如上的定義並滿足卜瓦松公 設的條件，試求此 之機率密度函數為何?(b)若平均每小時有 10 位顧客來櫃檯結帳， 且 滿足卜瓦松公設的條件，請問任意 二位顧客到達櫃檯之間隔時間超過 15 分 鐘之機率?,(a),解法:,(b)若平均每小時有 10 位顧客來櫃檯結帳， 且 滿足卜瓦松公設的條件，請問任意 二位顧客到達櫃檯之間隔時間超過 15 分 鐘之機率?,：事件發生一次所需平均時間,例題:,解法:,含有大量數目同樣的放射性分子其衰退時間均服從指數分配。若有一半的分子在第一秒內衰退，則欲有 75% 的分子衰退需多久時間?,無記憶性性質:,若 ，則,證明：,稱為隨機變數 的無記憶性性質。,例題:,解法:,某線公車從台北市政府 A 經台北車站 B 至輔仁大學 C。如果每十分鐘一班車，由 A 至 C 之全線平均行車時間為 50 分鐘。假設前後車之行車時間互相獨立。如果甲君常在台北車站候車欲至輔仁大學，其經驗顯示，前後車相隔的時間成指數分配，平均為 10 分鐘。請問如果現在是 7:30，甲君因 7:25 那班太擠未上車，試問下一班車能在 3 分鐘內到達的機率是多少?,解法:,前後車相隔的時間成指數分配，平均為 10 分鐘。請問如果現在是 7:30，甲君因 7:25 那班太擠未上車，試問下一班車能在 3 分鐘內到達的機率是多少?,設隨機變數 表示前後車之行車時間,例題:,解法:,設某公司電話交換機在上班期間打來之電話數目為平均每小時 60 通之卜瓦松過程，試計算以下機率: (a)在半個鐘頭內，至少有兩通電話的機率。 (b)設 為自上班 8:00am 起等待第一通電話,進入交換機的時間(以分鐘計算)，試推導,的 c.d.f. 即 p.d.f. 。,(c)計算 及 。,解法:,上班期間打來之電話數目為平均每小時 60 通之卜瓦松過程，試計算以下機率: (a)在半個鐘頭內，至少有兩通電話的機率。,在半個鐘頭內，至少有兩通電話的機率,解法:,上班期間打來之電話數目為平均每小時 60 通之卜瓦松過程，試計算以下機率: (b)設 為自上班 8:00am 起等待第一通電話,進入交換機的時間(以分鐘計算)，試推導,的 c.d.f. 即 p.d.f. 。,p.d.f.,c.d.f.,解法:,上班期間打來之電話數目為平均每小時 60 通之卜瓦松過程，試計算以下機率: (c)計算 及,證明:,若隨機變數,隨機變數 的動差母函數：,定理：,指數分配的平均值與變異數,若隨機變數,證明:,例題:,解法:,一雷達遙控追蹤站需要大量高品質的磁帶，已知磁帶的表面裂縫之間的距離具有機率密度函數(a)試求下一個裂縫發生至少在 100 英吋以 後的機率?(b)試求裂縫之間距離的平均數及變異數?,(a),(b),例題:,解法:,假設某零件的壽命為具有平均 60 小時的指數分配，且彼此零件的壽命互為獨立。若有 100 個這樣的零件在同一時間運作，試求(a)一個零件可以使用 60 小時以上的機率?(b)至少一個零件可以使用 60 小時以上的機率?(c)100 個零件中可以使用超過 60 小時以上的 變異數為多少?,設隨機變數 表示每個零件使用的壽命,解法:,假設某零件的壽命為具有平均 60 小時的指數分配，且彼此零件的壽命互為獨立。若有 100 個這樣的零件在同一時間運作，試求(b)至少一個零件可以使用 60 小時以上的機率?,設隨機變數 表示 100 個零件中使用 60 小時以上的個數，因此 為二項分配。,至少一個零件可以使用 60 小時以上的機率,解法:,假設某零件的壽命為具有平均 60 小時的指數分配，且彼此零件的壽命互為獨立。若有 100 個這樣的零件在同一時間運作，試求(c)100 個零件中可以使用超過 60 小時以上的 變異數為多少?,例題:,解法:,設二學生解決問題的時間互相獨立且皆服從平均數為 的指數分配。求第一位學生所花時間至少為第二位學生所花時間兩倍的機率?,例題:,解法:,假設某電子安培器的壽命為指數分配。若10% 的電子安培器具有平均 20,000 小時的壽命，其餘的電子安培器具有平均 50,000 小時的壽命。試問電子安培器的壽命不超過 60,000 小時的比例?,設 為壽命不超過 60,000 小時的事件 為壽命具有 60,000 小時的事件 為壽命具有 60,000 小時的事件,例題:,解法:,已知光顧益智性電玩店的顧客中有 的比例玩過賭博性電玩。假設每小時進入益智性電玩店人數 具有卜瓦松分配,根據過去經驗，某縣益智性電玩店平均每小時的顧客人數 具有指數分配,(a)請問 的機率分配為何? (b)令 為每小時進入益智性電玩店的顧客中 玩過賭博性電玩的人數。求 的期望值及 變異數?,解法:,(a)請問 的機率分配為何?,解法:,(b)令 為每小時進入益智性電玩店的顧客中 玩過賭博性電玩的人數。求 的期望值及 變異數?,5-4 常態分配,對連續型隨機變數而言，常態是指隨機變數的變數值大都集中且對稱分佈平均值附近，其中集中表示變數值距離平均數三個標準差以上的機率幾乎為 0。即極端大或極端小的變數值幾乎沒有，而對稱分布表示變數值的機率分配圖呈現鐘型分配圖形。,常態分配(Normal Distribution),若隨機變數 具有機率密度函數,則稱 為具有參數 的常態變數，通常以符號 表示。而函數,稱為具有參數 的常態分配。,5-4.1 常態分配,常態分配為一機率密度函數,若隨機變數 具有機率密度函數,則,證明:,證明:,若隨機變數,隨機變數 的動差母函數：,定理：,常態分配的平均值與變異數,若隨機變數 具有參數 的常態分配,證明:,標準常態分配(Standard Normal Distribution),若隨機變數 具有機率密度函數,稱 為標準常態變數，通常以符號 表示。而函數 稱為標準常態分配。,5-4.2 標準常態分配,標準常態變數的累積分配函數,若隨機變數 具有機率密度函數,則,稱為標準常態變數的累積分配函數。,臨界值及顯著水準,若隨機變數 為標準常態分配,則 稱為臨界值(critical value) ，機率值 稱為顯著水準(significance level),顯著水準越小，臨界值越大。,例題:,解法:,設隨機從某母體所抽出的人其體重 為具有參數 和 的常態分配，並設， 。試求 ， ， 若此母體中的人體重皆大於 200 磅，則 體重超過 220 磅的百分比為多少?,(a),解法:,設隨機從某母體所抽出的人其體重 為具有參數 和 的常態分配，並設， 。(b)若此母體中的人體重皆大於 200 磅，則 體重超過 220 磅的百分比為多少?,例題:,解法:,已知標準常態分配的第三個四分位數為0.6745，現有另一個常態分配的第一個四分位數為 8.651 ，第二個四分位數為 10。試求此常態分配的平均數及變異數?,標準常態分配的第三個四分位數為0.6745,例題:,解法:,假設某銀行新進人員的起薪為一常態分配，但其平均數及標準差為未知數。已知起薪在 30520 以下佔 2.5%，在 55250 以上佔5%。試求 (a)此常態分配的平均數與表準差? (b)70%新進人員起薪約在哪一個範圍內?,解法:,假設某銀行新進人員的起薪為一常態分配，但其平均數及標準差為未知數。已知起薪在 30520 以下佔 2.5%，在 55250 以上佔5%。試求 (a)此常態分配的平均數與表準差?,解法:,假設某銀行新進人員的起薪為一常態分配，但其平均數及標準差為未知數。已知起薪在 30520 以下佔 2.5%，在 55250 以上佔5%。試求,(b)70%新進人員起薪約在哪一個範圍內?,例題:,解法:,假設有一項特考有 1100 人應考，預定錄取 70 人。已知該項考試的平均成績 分，標準差 分。請問(a)若該項考試成績的分配未知，試估計總 成績為 235 分的某應考人是否會被錄取?(b)若該項考試成績的分配近似常態分配， 則最低錄取分為幾分?,由柴比雪夫不等式,則會被錄取,解法:,假設有一項特考有 1100 人應考，預定錄取 70 人。已知該項考試的平均成績 分，標準差 分。請問(b)若該項考試成績的分配近似常態分配， 則最低錄取分為幾分?,例題:,解法:,某項特考有 3160 人應考預定錄取 500 人，設該項考試的成績分配為常態分配。若計算得該項考試的平均成績 分，標準差 分，試求： (a)成績為 300 分約為第幾名？ (b)最低錄取標準約為幾分？,(a)設隨機變數 表示考試的成績，則,解法:,某項特考有 3160 人應考預定錄取 500 人，設該項考試的成績分配為常態分配。若計算得該項考試的平均成績 分，標準差 分，試求： (a)成績為 300 分約為第幾名？,所有應考人成績超過 300 分的比例有,所有應考人成績超過 300 分的人數有,人，因此為第 11 名。,解法:,某項特考有 3160 人應考預定錄取 500 人，設該項考試的成績分配為常態分配。若計算得該項考試的平均成績 分，標準差 分，試求： (b)最低錄取標準約為幾分？,預定錄取 500 人,性質:,若 ，設隨機變數 其中 為任意常數，則,證明：,因此，隨機變數 的機率分配為,例題:,解法:,某一營造專案所需沙數量 為具有平均數 ，變異數 的常態分配。水泥混合料數量 為具有平均數 ，變異數 的常態分配。若總成本為 ，試求 的期待值 及變異數 ?總成本 的分配為何種分配?,性質:,若 且 互相獨立， 為任意常數，則,證明：,因此，隨機變數 的機率分配為,例題:,成功手工洗車廠的洗車服務，完整洗一部小汽車分為三階段:洗車、擦乾及打蠟。若該廠三階段的服務時間皆為常態分配且彼此互相獨立，且其平均服務時間分別為 10，3，15 分鐘，標準差分別為 6，2，3 分鐘。今有一部小汽車進入該廠洗車，試求: (a)完整洗好該部小汽車費時將超過 35 分鐘,的機率是多少?,(b)若該車主要求只要洗車及擦乾就好，問該,廠在 10 分鐘內洗好該部車的機率是多少?,洗車、擦乾及打蠟三階段的服務時間皆為常態分配且彼此互相獨立，且其平均服務時間分別為 10，3，15 分鐘，標準差分別為 6，2，3 分鐘。 (a)完整洗好該部小汽車費時將超過 35 分鐘,的機率是多少?,設隨機變數 分別表示洗車、擦乾、打臘所需時間，則,設 為完整洗完該部小汽車所需時間,洗車、擦乾及打蠟三階段的服務時間皆為常態分配且彼此互相獨立，且其平均服務時間分別為 10，3，15 分鐘，標準差分別為 6，2，3 分鐘。 (b)若該車主要求只要洗車及擦乾就好，問該,設隨機變數 分別表示洗車、擦乾、打臘所需時間，則,設 為完整洗完該部小汽車所需時間,廠在 10 分鐘內洗好該部車的機率是多少?,例題:,某食品公司生產食品罐頭，生產線上每罐的重量是常態分配 (單位:公克)。每盒由線