大学微积分总复习课件PPT课件.ppt

需熟悉的内容 特别是三角函数 第一部分 1 初等函数 一 基本初等函数 1 幂函数 2 2 指数函数 3 3 对数函数 4 4 三角函数 正弦函数 注意 x用弧度表示 5 余弦函数 6 正切函数 7 余切函数 8 正割函数 9 余割函数 10 三角函数常用公式 前5个必须记下来 11 12 13 5 反三角函数 14 15 16 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 17 第二部分函数与极限 18 单侧极限 左极限 右极限 19 定理 极限存在的充要条件是左极限等于右极限 20 无穷大包括 正无穷大 负无穷大 21 无穷大量与无穷小量的关系 22 两个重要极限 23 定义 24 例如 25 常用等价无穷小 26 注 上述10个等价无穷小 包括反 对 幂 指 三 必须熟练掌握 27 函数连续点的等价定义 28 第一类间断点 可去型 跳跃型 第二类间断点 无穷型 振荡型 29 闭区间上连续函数的性质 定理1 最值和有界性定理 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 故该函数在闭区间内一定是有界函数 30 31 32 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值 三个定理的应用 33 注 方程f x 0的根 函数f x 的零点 有关闭区间上连续函数命题的证明方法 10直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 20间接法 辅助函数法 先作辅助函数 再利用零点定理 34 辅助函数的作法 1 将结论中的 或x0或c 改写成x 2 移项使右边为0 令左边的式子为F x 则F x 即为所求 35 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出 余下只须验证F x 在所讨论的区间上连续 再比较一下两个端点处的函数值的符号 或指出要证的值介于F x 在所论闭区间上的最大值与最小值之间 36 总结 求极限的方法 1 求连续函数的极限 直接代入法 2 求x趋于点a时分式的极限 先判断分母的极限 1 分母极限不为0 直接代入点a得分式极限 2 分母极限为0 分子极限不为0 原极限为无穷大 3 分子和分母的极限都为0 采用洛比塔法则求原极限 37 3 求两个根式相减的极限时 先有理化 有时可转化为两个重要极限来求 4 若一个函数在某点的极限为振荡极限 但该函数为有界函数 则该函数与一个无穷小的乘积是无穷小 38 第二部分一元函数微分学 39 其它形式 一 导数的定义 40 注意 2 导函数 瞬时变化率 是函数平均变化率的逼近函数 41 单侧导数 1 左导数 2 右导数 42 例 解 43 导数的几何意义 44 法线方程为 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为 45 注 链式法则 由外向里 逐层求导 2 注意中间变量 推广 求导的方法 46 二 隐函数及其导数 隐函数 方法 对隐函数直接求导 注意此时y y x 只要方程中某项含有y 则求导后这一项一定含有 47 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导方法求出导数 目的是利用对数的性质简化求导运算 对数求导法 48 微分的定义 会求函数的微分 微分与可导的关系 一阶微分形式不变性 49 拉格朗日 Lagrange 中值定理 50 洛比塔法则 适用范围 即 函数之比的极限等于导数之比的极限 51 注意 洛必达法则与其它求极限方法结合使用效果更好 比如能化简先化简 利用等价无穷小替换等 52 单调性的判别法 导数为正 则函数单调增 导数为负 函数单调减 53 利用单调性证明不等式 将要证的不等式作恒等变形 通常是移项 使一端为0 另一端即为所作的辅助函数f x 与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证 注 有时无法判别的符号 则可先讨论的符号 再转到上述第二步 54 曲线凹凸性的判定 函数的二阶导数大于0 曲线为凹函数 若小于0 则为凸函数 55 确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤 56 求极值的步骤 57 求最值的步骤 3 如果已知最值存在 比较在端点 驻点和导数不存在的点的函数值 另外 还可以根据在整个定义域上函数的一 二 阶导数的符号来判断 58 导数及最值在经济学中的应用 1 成本函数 收入函数 利润函数2 边际分析3 弹性4求最大利润 最小平均成本等最值问题要求 会求各种函数 并理解相应的经济意义 会求经济学中的最值问题 59 一元函数积分学 第三部分 60 一 原函数与不定积分的概念 定义 61 不定积分的定义 为求不定积分 只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可 62 由不定积分的定义 可知 结论 微分运算与求不定积分的运算是互逆的 63 基本积分表 是常数 说明 64 65 以上13个公式是求不定积分的基础 称为基本积分表 必须熟练掌握 66 一 两类积分换元法 一 凑微分 二 三角代换 倒代换 根式代换 基本积分表 二 分部积分法 合理选择u v 正确使用分部积分公式 求不定积分的方法 67 第一类换元公式 凑微分法 使用此公式的关键在于将 说明 化为 68 例求 解 方法1 当被积函数是三角函数相乘时 拆开奇次项去凑微分 69 例求 解 70 例 解 注意 分母拆项是常用的技巧 71 说明 2 三角代换法 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下 当被积函数中含有 可令 可令 可令 注意 所作代换的单调性 对三角代换而言 掌握着取单调区间即可 72 说明 3 当分母的阶较