多元函数微积分总复习PPT课件.ppt

微 积 分 电 子 教 案 多元函数微积分 总复习 1 空间两点间距离公式 2 空间曲面方程 常见的曲面方程 球面 球心在 x0 y0 z0 半径为R 一 空间解析几何 柱面 二次柱面 平面 特殊平面 过原点的平面 平行于坐标轴的平面 坐标平面或平行于坐标平面的平面 特殊柱面 圆柱面 母线平行于z轴 准线是xy坐标面上以原点为中心 R为半径的一个圆 抛物柱面 x2 2py p 0 表示母线平行于z轴 准线是xy坐标面上的抛物线x2 2py p 0 的柱面 表示母线平行于y轴 准线是xz坐标面上的双曲线 的柱面 表示母线平行于z轴 准线是xy坐标面上的椭圆 的柱面 椭圆柱面 双曲柱面 旋转曲面 椭圆 绕x轴旋转椭球 截痕法 为了了解曲面的形状 用 截曲面得到的曲线可以判别曲面的形状 1 定义域 平面区域 2 几何意义 曲面 3 极限 二重极限 1 x y x0 y0 的方式是任意的 2 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 4 f x y 在 x0 y0 连续必须满足的条件 f x y 在点 x0 y0 处有定义 二 多元函数 二元函数 二元初等函数在其有定义的区域内都是连续的 闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的二元连续函数 在D上必可取得它的最大值和最小值 在有界闭区域D上的二元连续函数f x y 对任意介于函数最大值与最小值之间的数c 在D上必可找到一点 x0 y0 使得f x0 y0 c 最大值和最小值定理 介值定理 1 定义 2 几何意义 二元函数在点M0 x0 y0 f x0 y0 处偏导数反映的是该函数在点M0沿x轴和y轴两个方向的变化率 3 求导法则 一元函数的求导法则同样适用 此时只要把另一个自变量作为常数处理 三 偏导数 4 高阶偏导数 二阶纯偏导数 二阶混合偏导数 两二阶混合偏导数相等的条件 二阶混合偏导数连续 5 多元复合函数与隐函数微分法 链式法则 全导数 全微分形式不变性 隐函数的求导公式 例9设其中f可微 证明 08 解 得证 例10设其中f g二阶可导 证明 05 证明 得证 6 经济意义 边际量 p2看成常量 即相关价格不变时 自身价格在p1的基础上再变动一个单位所增 减 的需求量 p1看成常量 即自身价格不变时 相关价格在p2的基础上再变动一个单位所增 减 的需求量 p2看成常量 即自身价格不变时 相关价格在p1的基础上再变动一个单位所增 减 的需求量 p1看成常量 即相关价格不变时 自身价格在p2的基础上再变动一个单位所增 减 的需求量 偏弹性 E11称为A商品需求量Q1对自身价格p1的 直接价格偏弹性 它表示相关价格p2不变时 自身价格p1变动1 所引起的需求量变动的百分数 四 全微分 可微的条件 函数z f x y 在点 x y 的某邻域内有连续的偏导数f x x y f y x y 则函数f x y 在点 x y 处可微 且dz f x x y dx f y x y dy 多元函数可微 偏导数存在与连续的关系 偏导数存在且连续 函数可微 偏导数存在 连续 近似计算公式 五 多元函数的极值和最值 1 极值存在的必要条件 一阶偏导数存在时 极值点的 驻点 极值点可以是驻点和偏导数不存在的点 B2 AC 0 则f x0 y0 是极值 且 当A 0 或C 0 时 f x0 y0 是极小值 当A 0 或C 0 时 f x0 y0 是极大值 B2 AC 0 则f x0 y0 不是极值 B2 AC 0 则f x0 y0 是否为极值需进一步讨论才能确定 2 极值存在的充分条件 有二阶连续偏导数 且 驻点 3 最值 驻点 偏导数不存在的点 定义区域边界上点的函数值比较 4 条件极值 拉格朗日乘数法 解出可能的极值点的坐标 再用以前的方法判断是否为极值点 构造函数 解方程组 5 最小二乘法 求经验公式 最小二乘法标准方程组 例11设两种产品的需求量 分别是其单价 的函数 总成本函数为则如何定价 才能使利润最大 05 解 令 得唯一驻点 解 利润极大 当定价为 利润最大 例11设两种产品的需求量 分别是其单价 的函数 总成本函数为则如何定价 才能使利润最大 05 例12某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告 根据统计资料 销售收入R 万元 与电台广告费用x1 万元 及报纸广告费用x2 万元 之间的关系有如下的经验公式 1 在广告费用不限的情况下 求最优广告策略 2 若提供的广告费用为1 5万元 求相应的最优广告策略 07 解 由 得唯一驻点 又因为利润函数在处的二阶偏导数分别为 所以利润函数在处达到极大值 从而也是最大值 2 若广告费用为1 5万元 则要求利润函数在满足条件下的极值 作拉格朗日函数 由 得唯一驻点 由于是实际问题 驻点唯一 所以利润函数在处取得最大值 即 广告费1 5万元全部用于报纸广告 可使利润最大 例13某企业生产某产品需要A B两种原料 当所用原料数量分别为x y时 产量为 现在用150元购买原料 A B两种原料的单价分别为5元与2元 问购进两种原料各多少 可使生产的数量最多 08 解 作拉格朗日函数 由 得唯一驻点 由于是实际问题 驻点唯一 所以产量在处取得最大值 即 购进A B两种原料分别为20和25 可使生产的产量最多 六 二重积分 1 定义 2 几何意义 当f x y 0时 二重积分是以区域D为底 以曲面z f x y 为顶的曲顶柱体的体积 数乘性 线性性 3 基本性质 保序性 区域可加性 保号性 1的积分 估值性 4 二重积分的计算 在直角坐标下的计算公式 在积分中要正确选择积分次序 Y 型 X 型 二重积分中值定理 设函数在闭区域上连续 为的面积 则在D上至少存在一点使得 在极坐标下的计算公式 在积分中注意使用对称性 极点在区域外 极点在区域边界 极点在区域内 极点被区域包围 多元函数微积分习题 应用 计算若干曲面围成的立体的体积 计算若干曲线围成的平面的面积 例14交