(2212) 第二章推理与证明 ().ppt

选修1 2 2 2第二章推理与证明 一 推理与证明的内容与要求 推理与证明 是数学的基本思维过程 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 推理一般包括合情推理和演绎推理 1 体会合情推理 演绎推理及二者之间的联系与差异 2 体会数学证明的特点 3 了解数学证明的基本方法 包括直接证明的方法 分析法 综合法 数学归纳法 和间接证明的方法 反证法 4 感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用养成言之有理 论证有据的习惯 二本章课时安排 文科 10课时 2 1合情推理与演绎推理约5课时2 2直接证明与间接证明约4课时小结约1课时理科 8课时 2 1合情推理与演绎推理约3课时2 2直接证明与间接证明约3课时2 3数学归纳法约2课时 本章知识结构 三课标要求 6条 1 了解合情推理和演绎推理的含义 2 能正确地运用合情推理和演绎推理进行简单的推理 3 了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别 4 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法的思考过程 特点 5 了解间接证明的一种基本方法 反证法的思考过程 特点 6 了解数学归纳法的原理 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 以已学知识实例为载体 讲推理和证明 例如 证明方法 除数学归纳法外 是学生在以前的学习中遇到过的 但对它们的特点和内涵不很明确 被动地 不自觉地使用 本章教学任务 明确化 显性化 主动地 自觉地使用 通过已学的具体数学实例总结各种证明方法的思考过程和特点 明确它们的内涵 通过应用进行强化 逐步主动 自觉地使用 四 教学中注意的问题 第1节 合情推理与演绎推理紧密结合已学过的数学实例和生活中的实例为载体 了解合情推理和演绎推理 避免空泛地讲推理 1 归纳推理 的教学 案例 歌德巴赫猜想的提出过程 3 7 10 3 17 20 13 17 30 10 3 7 20 3 17 30 13 17 偶数 奇质数 奇质数6 3 3 8 3 5 10 5 5 12 5 7 14 7 7 16 5 11 1000 29 971 一个偶数 大于6 总可以表示成两个奇质数之和 没有发现反例 歌德巴赫猜想 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和 总结特点 定义 这种由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物也具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 通常称为归纳推理 简称归纳 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 归纳推理的一般步骤 对某类事物的部分对象 有限的资料 进行观察 分析 整理 提出猜想 检验猜想 归纳推理的应用 2 类比推理 的教学实例 火星上是否有生命 由实例总结特点 定义 这种由两类对象具有某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 简言之 类比推理是由特殊到特殊的推理 类比推理的一般步骤 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 通过证明确认猜想的正确性 或举出反例否定猜想 类比推理应用举例 类比平面内直角三角形的勾股定理 试给出空间中四面体性质的猜想 归纳推理 类比推理统称为合情推理 类比 平面与空间的余弦定理 平面内 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 平面内 同时垂直于一条直线的两条直线互相平行 空间中 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 空间中 同时垂直于一条直线的两条直线互相平行 类比 纠正典型错误 进一步理解合情推理 合情推理的结论不一定正确费马猜想 任何形如 n n 的数都是质数 反例 初步体验证明的必要性 3 演绎推理的教学举例 5个例子p78 归纳出演绎推理的含义 特点 前提和推理形式 规则 正确 结论正确 用三段论证明 证明函数f x x2 2x在 1 内是增函数 分析 证明本例所依据的大前提是 在某个区间 a b 内 如果f x 0 那么函数f x 在这个区间内单调递增 小前提是f x x2 2x在 1 内满足f x 0这是证明本例的关键 注 很多情况下 省略大前提 演绎推理的形式正确 大前提错误 结论也是错误的 合情推理与演绎推理的联系与差异 通过合情推理去探索 猜测结论 但合情推理所得结论的正确性需要演绎推理进行证证明 合情推理往往提供证明思路 第2节直接证明与间接证明 知识结构 3结合实例讲 证明 通过熟悉的例子总结各种证明方法的特点 明确它们的内涵 并应用于数学证明 使学生真正作到 论证有据 回忆遇到过的某类证明方法的特点 体验证明方法的特点总结特点 给出证明方法的定义证明的流程框图 提炼特点 证明数学命题 强化 自觉使用 1 综合法 1 回忆 描述在数学证明中 我们经常从已知条件和某些学过的定义 定理 公理等出发 通过推理推导出所要的结论 2 举例 体验特点 总结特点 一般地 利用已知条件和某些已经学过的定义 公理 定理等 经过一系列的推理 论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 2 分析法 1 回忆 描述在数学证明中 我们还经常从要证的结论出发 反推回去 寻求保证结论成立的条件 知道找到一个明显成立的条件为止 2 举例 体验特点 总结特点 一般地 从要证明的结论出发 逐步寻求推证过程中 使每一步结论成立的充分条件 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法 4 证明数学命题 强化 自觉使用 3 反证法 间接证法的一种 不等式证明 立体几何的证明 日常生活中运用反证法也叫归谬法 什么样的题目用反证法 如何否定命题 1 结论本身是以否定形式出现的一类命题 2 关于唯一性 存在性的命题 3 结论是以 至多 至少 等形式出现的命题 4 结论反面的要素比结论的要素更少 更具体的命题 第3节 数学归纳法 理科2 2 共2课时 不等式选讲中还涉及 强调归纳出数学归纳法原理的过程 帮助学生了解数学归纳法的原理 数学归纳法是一种特殊的证明方法 主要用于证明与正整数有关的数学命题 特点 通过有限个步骤的推理 证明n取无限多个正整数的情形 1 一个数学问题 需要探索新的证明方法 例 对于数列 an 已知a1 1 an 1 n 1 2 通过对n 1 2 3 4前4项的归纳 我们已经猜想出其通项公式为an 逐一验证是不可能的 需要寻求一种方法 通过有限个步骤的推理 证明n取所有正整数都成立 本节课如何引入 教学设计举例 2 一个现象 多米诺骨牌 多米诺骨牌 全部倒下的原理使 多米诺骨牌 全部倒下的两个条件 第一块骨牌倒下 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 两个条件的作用 条件 奠基 条件 递推关系利用 多米诺骨牌 原理证明上面这个数学猜想 经历利用合情推理提出猜想逻辑推理进行证明 数学归纳法的原理 归纳奠基 命题对n n0成立 n0为使猜想成立的最小的正整数 归纳递推 命题若对n k成立 则对k 1也成立 k n0 学生普遍存在的问题 为什么第二步能在假设下进行证明 第二步实际上是证明一个命题 假设n k k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 其本质是证明一个递推关系 归纳递推的作用是从前往后传递 三 总结 掌握教学的重点 1 教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理 而不追求对概念的抽象表述 2 用合情推理探索猜测结论 并体会证明的必要性通过实例 引导学生运用合情推理去探索猜测一些数学结论 并用演绎推理确认所得结论的正确性 或者用反例推翻错误的猜想 这也是学习和研究的一般方法 2 改进教学方式 思想方法 讲过程 讲思想 使学生保持高水平的