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文档简介

2无穷积分的性质与收敛判别 教学内容 1 无穷积分的性质2 无穷积分收敛的判别 教学重点 无穷积分的比较判别法与柯西判别法 教学难点 应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分 一 无穷积分的性质 1 无穷积分收敛的柯西准则 1 定理11 1 2 无穷积分的性质 性质1 性质2 2 3 无穷积分收敛的充要条件 4 无穷积分的绝对收敛与条件收敛 绝对收敛 条件收敛 性质3 3 说明 性质3指出 绝对收敛的无穷积分必收敛 但反之未必 今后举例说明 二 无穷积分敛散性的判别 1 无穷积分收敛的充要条件 2 无穷积分收敛的比较判别法 1 不等式形式 定理11 2 4 定理指出 大收敛则小收敛 小发散则大发散 与级数类似 例1 解 2 极限形式 推论1 5 注意 1 推论中 当c 0时只能判别收敛 当c为正无穷大时 只能判别发散 2 用此推论时要找分母的g x 且 3 找g x 的时候最好使极限是一个非0的常数 3 无穷积分收敛的柯西判别法 推论2 6 推论3 注意 1 实际应用中 常用推论3 2 用推论3时要找p 使同时满足p及 3 找p的时候最好使极限是一个非0的常数 例2 讨论下列无穷积分的收敛性 7 解 例子中被积函数都是非负函数 所以可用推论3 三 无穷积分敛散性的狄利克雷判别法和阿贝耳判别法 1 无穷积分收敛的狄利克雷判别法 定理11 3 狄利克雷判别法 8 定理11 4 阿贝耳判别法 3 无穷积分收敛的阿贝耳判别法 注意 1 实际中 这两个判别法常用于判别条件收敛的无穷积分 2 用这两个判别法关键是选择适当的f x 及g x 3 在狄利克雷判别法中 一般令f x 为sinx或cosx 例3 说明 只讨论前者 后者类似可得 解题思路 由于被积函数不是非负函数 故不能直接用比较判别法或柯西判别法 结合例1 我们可以先考虑判别它是否绝对收敛 若不是再考虑用上述的狄利克雷判别法或阿贝耳判别法 9 解 10 综1 2 及2 知 利用此例
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