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椭圆的参数方程 例1 如下图 以原点为圆心 分别以a b a b 0 为半径作两个圆 点b是大圆半径oa与小圆的交点 过点a作an ox 垂足为n 过点b作bm an 垂足为m 求当半径oa绕点o旋转时点m的轨迹参数方程 分析 点m的横坐标与点a的横坐标相同 点m的纵坐标与点b的纵坐标相同 而a b的坐标可以通过引进参数建立联系 设 xoa 例1 如下图 以原点为圆心 分别以a b a b 0 为半径作两个圆 点b是大圆半径oa与小圆的交点 过点a作an ox 垂足为n 过点b作bm an 垂足为m 求当半径oa绕点o旋转时点m的轨迹参数方程 解 设 xoa m x y 则 a acos asin b bcos bsin 由已知 即为点m的轨迹参数方程 消去参数得 即为点m的轨迹普通方程 2 在椭圆的参数方程中 常数a b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长 a b 知识归纳 椭圆的标准方程 椭圆的参数方程中参数 的几何意义 圆的标准方程 圆的参数方程 x2 y2 r2 的几何意义是 aop 椭圆的参数方程 是 aox 不是 mox 练习1 把下列普通方程化为参数方程 把下列参数方程化为普通方程 练习2 已知椭圆的参数方程为 是参数 则此椭圆的长轴长为 短轴长为 焦点坐标是 离心率是 4 2 0 例2 如图 在椭圆x2 8y2 8上求一点p 使p到直线l x y 4 0的距离最小 分析1 分析2 分析3 平移直线l至首次与椭圆相切 切点即为所求 小结 借助椭圆的参数方程 可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示 利用三角知识加以解决 例3 已知椭圆有一内接矩形abcd 求矩形abcd的最大面积 练习3 已知a b两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点 在第一象限的椭圆弧上求一点p 使四边形oapb的面积最大 练习4 1 动点p x y 在曲线上变化 求2x 3y的最大值和最小值 2 取一切实数时 连接a 4sin 6cos 和b 4cos 6sin 两点的线段的中点轨迹是 a 圆b 椭圆c
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