09 平面图形上的最短路径问题.doc

第9讲 平面图形上的最短路径问题一、方法技巧知识点：1.两点之间，线段最短 2.垂线段最短 3.线段垂直平分线是的点到线段两端点的距离相等 4.三角形任意两边之差小于第三边总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”常考类型题：将军饮马、造桥选址、费马点（一）根据两点之间，线段最短类型一 两点在直线同侧（将军饮马）【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l上求一点P，使PA+PB值最小作B关于l的对称点B连A B，与l交点即为P两点之间线段最短PA+PB最小值为AB类型二 相交直线之间一点或两点【问题2】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使PMN的周长最小分别作点P关于两直线的对称点P和P，连PP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短PM+MN+PN的最小值为线段PP的长【问题3】作法图形原理在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q和P连QP，与两直线交点即为M，N两点之间线段最短四边形PQMN周长的最小值为线段PP的长【问题4】作法图形原理A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小作点A关于的对称点A，作点B关于的对称点B，连AB交于M，交于N两点之间线段最短AM+MN+NB的最小值为线段AB的长类型三 造桥选址【问题5】“造桥选址”作法图形原理直线，在、，上分别求点M、N，使MN，且AM+MN+BN的值最小将点A向下平移MN的长度单位得A，连AB，交于点N，过N作NM于M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN【问题6】作法图形原理在直线上求两点M、N（M在左）使并使AM+MN+NB的值小将点A向右平移个长度单位得A，作A关于的对称点A， 连AB，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M两点之间线段最短AM+MN+BN的最小值为AB+MN类型四 费马点【问题7】“费马点”作法图形原理ABC中每一内角都小于120，在ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小所求点为“费马点”即满足APBBPCAPC120以AB、AC为边向外作等边ABD、ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求两点之间线段最短PA+PB+PC最小值CD（二）根据垂线段最短类型五 和最小【问题8】作法图形原理在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小作点P关于的对称点P，作PB于B，交于A点到直线，垂线段最短PA+AB的最小值为线段PB的长（三）根据线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等类型六 差最小【问题9】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最小连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P垂直平分上的点到线段两端点的距离相等0（四）根据三角形任意两边之差小于第三边类型七 差最大【问题10】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作直线AB，与直线l的交点即为P三角形任意两边之差小于第三边AB的最大值AB【问题11】作法图形原理在直线l上求一点P，使的值最大作B关于l的对称点B作直线A B，与l交点即为P三角形任意两边之差小于第三边.AB最大值AB二、应用举例类型一 两点在直线同侧（将军饮马）【例题1】如图，在锐角ABC中，AB=6，BAC=60，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（ ）A3 B C D6 【答案】B【解析】试题分析：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作ENAB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短，得出BM+MN最小，求出E和B关于AD对称，得到BM+MN=EN，求出EN，即可求出答案试题解析：解：在AC上取一点E，使得AE=AB，过E作ENAB于N，交AD于M，连接BM，BE，BE交AD于O，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），AD平分CAB，AE=AB，EO=OB，ADBE，AD是BE的垂直平分线（三线合一），E和B关于直线AD对称，EM=BM，即BM+MN=EM+MN=EN，ENAB，ENA=90，CAB=60，AEN=30，AE=AB=6，AN=AE=3，在AEN中，由勾股定理得：EN=，即BM+MN的最小值是故选B【难度】较易类型二 相交直线之间一或两点【例题2】如图，AOB=30，AOB内有一定点P，且OP=10在OA上有一点Q，OB上有一点R若PQR周长最小，则最小周长是（ ）A10 B15 C20 D30【答案】A【解析】试题分析：先画出图形，作PMOA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM作PNOB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则PQR即为周长最短的三角形再根据线段垂直平分线的性质得出PQR周长=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出EOF的形状即可求解试题解析：解：设POA=，则POB=30， 作PMOA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM 作PNOB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN 连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR， 则PQR即为周长最短的三角形 OA是PE的垂直平分线， EQ=QP； 同理，OB是PF的垂直平分线， FR=RP， PQR的周长=EF OE=OF=OP=10，且EOF=EOP+POF=2+2（30）=60， EOF是正三角形，EF=10， 即在保持OP=10的条件下PQR的最小周长为10 故选A【难度】较易【例题3】如图，AOB=30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=5，ON=12，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是 【答案】13【解析】试题分析:首先作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值，易得ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，继而求得答案试题解析：解：作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，OM=OM=5，ON=ON=12，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，在中，故答案为：13【难度】一般类型三 造桥选址【例题4】荆州护城河在CC处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD、EE，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？【答案】作AFCD，且AF=河宽，作BGCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D，作DD、EE即为桥【解析】试题分析：由于含有固定线段“桥”，导致不能将ADDEEB通过轴对称直接转化为线段，需要构造平行四边形将AD、BE平移至DF、EG，即可得到桥所在位置试题解析：解：作AFCD，且AF=河宽，作BGCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D，作DD、EE即为桥证明：由做法可知，AFDD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形于是AD=FD同理，BE=GE由两点之间线段最短可知，GF最小即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB最短【难度】一般类型四 费马点【例题5】在锐角ABC内求一点P，使PA+PB+PC为最短值.【答案】【解析】试题分析：设点P为所求点，则PA+PB+PC为最短，将ABP绕B点逆时针旋转60，得到ABP位置，显然AAB与PPB为等边三角形，则有PA=AP，PP=PB，故AP+PP+PC=AP+BP+CP，如果PA+PB+PC为最短，则必须AP+PP+PC最短，而只有折线AP+PP+PC变为直线段AC时，才是最短试题解析：解：（1）将绕逆时针旋转60，得到 （2）连接 （3）作直线与直线相交于点，且使靠近的哪一点就是的位置【难度】一般类型五 和最小【例题6】如图，ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，是AD上的动点，是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 【答案】【解析】试题分析：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CNAB于N根据三线合一定理求出BD的长和ADBC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF=CM，根据垂线段最短得出CF+EF，即可得出答案.试题解析：解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CNAB于N，AD 是BC边上的中线，AD平分BACM在AB上，在中，E关于AD的对称点M根据垂线段最短得出：即即的最小值是【难度】较难类型六 差最小【例题7】如图，（1）若要使厂部到A、B两村的距离相等，则应选择在哪里建厂？（2）若要使厂部到A、B两村的水管最短，应建在什么地方？【答案】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小【解析】试题分析：（1）到A、B两村的距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点（2）要使厂部到A、B两村的水管最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B）点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF交点即为所求试题解析：解：（1）如图，根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小【难度】较易类型七 差最大【例题8】已知：A（1，2），B（4，-2），在直线上找一点P，使最大，并求最大值【答案】【解析】试题分析：求出点A关于x轴的对称点A，利用三角形两边之差小于第三边的思想，结合两点之间的距离公式进行求解即可试题解析：解：A（1,2），B（4，-2），在直线的两侧作A（1,2）关于直线的对称点A垂直于直线且过点A（1,2）的直线方程设则由，得即方程为令y=0，得x=3，即A（3,0）由直线与直线交点为（2,1）过A(3,0)和B（4，-2）的直线方程为由，得，即直线与直线的交点为此时当P的坐标为时，最大值为【难度】较难三、实战演练类型一 两点在直线同侧（将军饮马）1如图，在平面直角坐标系中，RtOAB的顶点A在x轴的正半轴上顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（1，0），且AOB=30点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为_ _【答案】【解析】试题分析：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小，求出AD，再求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案.试题解析：解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DNOA于N，则此时PA+PC的值最小DP=PA，PA+PC=PD+PC=CDB（3，），AB=，OA=3，B=60由勾股定理得：OB=2由三角形面积公式得：OAAB=OBAM，AM=AD=2=3AMB=90，B=60，BAM=30BAO=90，OAM=60DNOA，NDA=30AN=AD=由勾股定理得：DN=C（1，0），CN=3-1-=在RtDNC中，由勾股定理得：DC=PA+PC的最小值是【难度】较难类型二 相交直线之间一或两点2如图，ABBC，ADDC，BAD=120，在BC、CD上分别找一点M、N，当AMN周长最小时，AMN+ANM的度数是 【答案】120【解析】试题分析：根据要使AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A，A，即可得出AAM+A=HAA=60，进而得出AMN+ANM=2（AAM+A），即可得出答案试题解析：解：作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于M，交CD于N，则AA即为AMN的周长最小值作DA延长线AH，DAB=120，HAA=60，AAM+A=HAA=60，MAA=MAA，NAD=A，且MAA+MAA=AMN，NAD+A=ANM，AMN+ANM=MAA+MAA+NAD+A=2（AAM+A）=260=120，【难度】一般3已知：如图，甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在AOB内的P点，乙站在OA上的定点Q处，丙点在OB上且可以移动游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点P处，若甲、乙、丙三人速度相同，请找出丙必须站在OB上的何处才能使他们完成接力所用的时间最短？（写出作法并保留作图痕迹）【答案】D点即为丙所在的位置【解析】试题分析：欲求使三个人的路程最短，即使得三者所走的路程最短，分别作P点关于OA、OB的对称点P2、P1，连接P2、P1交OB于点D，D点就是丙所在的位置试题解析：如图：D点即为丙所在的位置【难度】一般4（2015湖北鄂州）如图，AOB=30，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分AOB，且OP=6，当PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 【答案】9【解析】试题分析：设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，PMN的周长最小根据四边形PMON的面积=OMN的面积+PMN的面积即可试题解析：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D， PM=CM，OP=OC，COA=POA； 点P关于OB的对称点为D，PN=DN，OP=OD，DOB=POB， OC=OD=OP=5cm，COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60， COD是等边三角形， CD=OC=OD=6cmPMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=6cmSOCD=在等边三角形OCD中，SOMN=SOCD=SPMN=SPCD=S四边形PMON= SOMN+ SPMN=+=9【难度】较易5（2015江阴）如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作A、B，M，N分别是A、B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为 【答案】【解析】试题分析：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出AB的长，然后用AB的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值试题解析：解：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A坐标（2，-3），点B（3，4），=，PM+PN的最小值为【难度】一般类型三 造桥选址6.如图，工厂A和工厂B被一条河隔开，它们到河的距离都是2km，两个工厂水平距离是3km，河宽1km，现在要架一座垂直于河岸的桥，使工厂A到工厂B的距离最短（河岸是平行的）请画出架桥的位置（不写画法）求从工厂A经过桥到工厂B的最短路程.【答案】6 km【解析】试题分析：根据两点之间线段最短，使AMNA为平行四边形即可，即AA垂直河岸且等于河宽，连接AB试题解析：解：如图所示，AA=1km，则MN为架桥位置过点B作BEAA，交其延长线于点E 则 则从A到B的最短路程是：AM+MN+BN=AB+MN=5+1=6(km)【难度】较易7.如图，已知直线ab，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3， .试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MNa且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）A6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】B【解析】试题分析：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可试题解析：解：作点A关于直线a的对称点A，并延长AA，过点B作BEAA于点E，连接AB交直线b于点N，过点N作直线MN直线a,连接AM，BN点A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4AA=MN=4四边形AANM是平行四边形AM+NB=AN+NB=AB过点B作BEAA，交AA于点E，易得AE=2+4+3=9，AE=2+3=5在中，在中，故选B.【难度】较难8.如图，点A,B位于直线l的同侧，定长为a的线段MN在直线l上滑动，问：当MN滑动到何处时，折线AMNB长度最短？【答案】如图所示，即为MN的位置，此时AB+MN的长即为所求【解析】试题分析：作A点关于直线l的对称点A，进而连接AB，即可得出MN的位置试题解析：解：如图所示，即为MN的位置，此时AB+MN的长即为所求【难度】一般类型四 费马点9.如图P是ABC所在平面上一点，如果，则点P叫做费马点当ABC是等边三角形时，用尺规法作出ABC的费马点（不要求写出做法，只要保留作图痕迹）【答案】用尺规法只要作出ABC的外心即可【解析】试题分析：用尺规法只要作出ABC的外心即可试题解析：解：如图所示【难度】较易类型五 和最小10.如图，等边ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上点，若AE=1，EM+CM的最小值为 【答案】【解析】试题分析：要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，CM的值，从而找出其最小值求解试题解析：解：连接BE，与AD交于点M则BE就是EM+CM的最小值，过B作BNAC于N，ABC是等边三角形，等边ABC的边长为4，AC=4，AE=1，的最小值为，故答案为：【难度】一般11如图，在等边ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点， 连结BM、MN，则BM+MN的最小值是 .【答案】【解析】试题分析：过点C作CNAB于N，交AD于M,连接BM，根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN,根据勾股定理求出CN，即可求出答案试题解析：解：过点C作CNAB于N，交AD于M,连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短和垂线段最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN等边中，平分AD是BC的垂直平分线（三线合一）C和B关于直线AD对称CM=BM即BM+MN=CM+MN=CNCNABCNB=90o，CN是ACB的平分线，AN=BN（三线合一）ACB=60BCN=30AB=6在中，由勾股定理得：，即的最小值是【难度】一般类型六 差最小12.在平面直角坐标系中有两点A（-2,2），B（1,4），根据要求求出P点的坐标：（1）在x轴上找一点P，使得最小（2）在y轴上找一点P，使得最小（3）在x轴上找一点P，使得最大（4）在x轴上找一点P，使得最小【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】试题分析：（1）由于两点间线段最短，故作A关于x轴的对称点A，连接AB与x轴相交于点P， 则点P即为试PA+PB最短的点（2）由于两点间线段最短，故连接AB交y轴于P，则点P即为使PA+PB最短的点（3）连接BA并延长交x轴于P，则点P即为使最大的点（4）因为，所以当，时最小，即点最小在最小的垂直平分线上试题解析：解：（1）如下图，作A关于x轴的对称点A，连接AB与x轴相交于点P， 则点P即为试PA+PB最短的点 A（-2,2） A（-2，-2） 设直线AB的解析式为：直线AB的解析式为：当时，（2）如下图