高考数学选择题技巧

1 高考数学选择题的解题策略高考数学选择题的解题策略 数学选择题在当今高考试卷中 不但题目多 而且占分比例高 即使今年江苏试题的题 量发生了一些变化 但其分值仍占到试卷总分的三分之一 数学选择题具有概括性强 知识 覆盖面广 小巧灵活 且有一定的综合性和深度等特点 考生能否迅速 准确 全面 简捷 地解好选择题 成为高考成功的关键 解答选择题的基本策略是准确 迅速 准确是解答选择题的先决条件 选择题不设中间 分 一步失误 造成错选 全题无分 所以应仔细审题 深入分析 正确推演 谨防疏漏 确保准确 迅速是赢得时间获取高分的必要条件 对于选择题的答题时间 应该控制在不超 过 40 分钟左右 速度越快越好 高考要求每道选择题在 1 3 分钟内解完 要避免 超时失 分 现象的发生 高考中的数学选择题一般是容易题或中档题 个别题属于较难题 当中的大多数题的解 答可用特殊的方法快速选择 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想 但更 应看到选择题的特殊性 数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的 因而 在解答 时应该突出一个 选 字 尽量减少书写解题过程 要充分利用题干和选择支两方面提供的 信息 依据题目的具体特点 灵活 巧妙 快速地选择解法 以便快速智取 这是解选择题 的基本策略 一 数学选择题的解题方法 一 数学选择题的解题方法 1 1 直接法 直接法 就是从题设条件出发 通过正确的运算 推理或判断 直接得出结论再与 选择支对照 从而作出选择的一种方法 运用此种方法解题需要扎实的数学基础 例例 有三个命题 垂直于同一个平面的两条直线平行 过平面 的一条斜线 l 有 且仅有一个平面与 垂直 异面直线 a b 不垂直 那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为 A 0B 1C 2D 3 解析解析 利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断 易得都是正确 的 故选 D 例例 3 3 已知 F1 F2是椭圆 1 的两焦点 经点 F2的的直线交椭圆于点 A B 若 16 2 x 9 2 y AB 5 则 AF1 BF1 等于 A 11B 10C 9D 16 解析解析 由椭圆的定义可得 AF1 AF2 2a 8 BF1 BF2 2a 8 两式相加后将 AB 5 AF2 BF2 代入 得 AF1 BF1 11 故选 A 2 例例 4 4 已知在 0 1 上是的减函数 则 a 的取值范围是 log 2 a yax x A 0 1 B 1 2 C 0 2 D 2 解析解析 a 0 y1 2 ax 是减函数 在 0 1 上是减函数 log 2 a yax a 1 且 2 a 0 1 atan cot 则 24 A B 0 C 0 D 2 4 4 4 4 2 解析解析 因 取 代入 sin tan cot 满足条件式 则排除 24 6 A C D 故选 B 例例 6 一个等差数列的前 n 项和为 48 前 2n 项和为 60 则它的前 3n 项和为 A 24B 84C 72D 36 解析解析 结论中不含 n 故本题结论的正确性与 n 取值无关 可对 n 取特殊值 如 n 1 此时 a1 48 a2 S2 S1 12 a3 a1 2d 24 所以前 3n 项和为 36 故选 D 2 特殊函数 特殊函数 例例 7 如果奇函数 f x 是 3 7 上是增函数且最小值为 5 那么 f x 在区间 7 3 上 是 A 增函数且最小值为 5B 减函数且最小值是 5 C 增函数且最大值为 5D 减函数且最大值是 5 解析解析 构造特殊函数 f x x 虽然满足题设条件 并易知 f x 在区间 7 3 上是增 3 5 函数 且最大值为 f 3 5 故选 C 例例 8 定义在 R 上的奇函数 f x 为减函数 设 a b 0 给出下列不等式 f a f a 0 f b f b 0 f a f b f a f b f a f b f a f b 其中正确的 不等式序号是 A B C D 3 解析解析 取 f x x 逐项检查可知 正确 故选 B 3 特殊数列 特殊数列 例例 9 9 已知等差数列满足 则有 n a 12101 0aaa A B C D 1101 0aa 2102 0aa 399 0aa 51 51a 解析解析 取满足题意的特殊数列 则 故选 C 0 n a 399 0aa 4 特殊位置 特殊位置 例例 10 过的焦点作直线交抛物线与两点 若与的长分别 0 2 aaxyFQ PPFFQ 是 则 q p qp 11 A B C D a2 a2 1 a4 a 4 解析解析 考虑特殊位置 PQ OP 时 所以 故选 1 2 PFFQ a 11 224aaa pq C 例例11 向高为的水瓶中注水 注满为止 如果注水量与水深的函数关系的图象如HVh 右图所示 那么水瓶的形状是 解析解析 取 由图象可知 此时注水量大于容器容积的 故选B 2 H h V 1 2 5 特殊点 特殊点 例例 12 设函数 则其反函数的图像是 2 0 f xx x 1 xf A B C D 解析解析 由函数 可令 x 0 得 y 2 令 x 4 得 y 4 则特殊点 2 0 2 0 f xx x 及 4 4 都应在反函数 f 1 x 的图像上 观察得 A C 又因反函数 f 1 x 的定义域为 2 x x 故选 C 4 6 特殊方程 特殊方程 例例 13 双曲线 b2x2 a2y2 a2b2 a b 0 的渐近线夹角为 离心率为 e 则 cos等于 2 A eB e2C D e 1 2 1 e 解析解析 本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式 故可用特殊方程来考察 取双曲线方程为 1 易得离心率 e cos 故选 C 4 2 x 1 2 y 2 5 2 5 2 7 特殊模型 特殊模型 例例 14 如果实数 x y 满足等式 x 2 2 y2 3 那么的最大值是 x y A B C D 2 1 3 3 2 3 3 解析解析 题中可写成 联想数学模型 过两点的直线的斜率公式 k 可将 x y 0 0 x y 12 12 xx yy 问题看成圆 x 2 2 y2 3 上的点与坐标原点 O 连线的斜率的最大值 即得 D 3 3 图解法 图解法 就是利用函数图像或数学结果的几何意义 将数的问题 如解方程 解不等 式 求最值 求取值范围等 与某些图形结合起来 利用直观几性 再辅以简单计算 确定 正确答案的方法 这种解法贯穿数形结合思想 每年高考 均有很多选择题 也有填空题 解答题 都可以用数形结合 思想解决 既简捷又迅速 例例 15 已知 都是第二象限角 且 cos cos 则 A sin C tan tan D cot cos 找出 的终边位置关系 再 作出判断 得 B 例例 16 已知 均为单位向量 它们的a b 夹角为 60 那么 3 a b A B C D 471013 O A B a 3b b 3a b 5 解析解析 如图 3 在中 由余弦定理a b OB OAB 1 3 120 OAABOAB 得 3 故选 C a b OB 13 例例 1717 已知 an 是等差数列 a1 9 S3 S7 那么使其前 n 项和 Sn最小的 n 是 A 4B 5C 6D 7 解析解析 等差数列的前 n 项和 Sn n2 a1 n 可表示 2 d 2 d 为过原点的抛物线 又本题中 a1 91 排除x 0 3 x B C D 故应选 A 例例 21 原市话资费为每 3 分钟 0 18 元 现调整为前 3 分钟资费为 0 22 元 超过 3 分钟 的 每分钟按 0 11 元计算 与调整前相比 一次通话提价的百分率 A 不会提高 70 B 会高于 70 但不会高于 90 C 不会低于 10 D 高于 30 但低于 100 解析解析 取 x 4 y 100 8 3 排除 C D 取 x 30 y 0 33 0 36 0 36 100 77 2 排除 A 故选 B 3 19 1 8 1 8 例例 22 给定四条曲线 其中 2 5 22 yx1 49 22 yx 1 4 2 2 y x1 4 2 2 y x 与直线仅有一个交点的曲线是 05 yx A B C D 解析解析 分析选择支可知 四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求 故可考虑找不符合 条件的曲线从而筛选 而在四条曲线中 是一个面积最大的椭圆 故可先看 显然直线和 曲线是相交的 因为直线上的点在椭圆内 对照选项故选 D 1 49 22 yx 0 5 6 6 分析法 分析法 就是对有关概念进行全面 正确 深刻的理解或对有关信息提取 分析和 加工后而作出判断和选择的方法 1 特征分析法 根据题目所提供的信息 如数值特征 结构特征 位置特征等 进行快速推理 迅速作出判断的方法 称为特征分析法 例例 2323 如图 小圆圈表示网络的结点 结点之间的连线 表示它们有网线相联 连线标的数字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信息量 现从结点 A 向结点 B 传送信 息 信息可以分开沿不同的路线同时传送 则单位时间内 7 传递的最大信息量为 A 26 B 24C 20D 19 解析解析 题设中数字所标最大通信量是限制条件 每一支要以最小值来计算 否则无法同 时传送 则总数为 3 4 6 6 19 故选 D 例例 24 设球的半径为 R P Q 是球面上北纬 600圈上的两点 这两点在纬度圈上的劣 弧的长是 则这两点的球面距离是 2 R A B C D R3 2 2 R 3 R 2 R 解析解析 因纬线弧长 球面距离 直线距离 排除 A B D 故选 C 例例 2525 已知 则等于 2 5 24 cos 5 3 sin m m m m 2 tan A B C D m m 9 3 9 3 m m 3 1 5 解析解析 由于受条件 sin2 cos2 1 的制约 故 m 为一确定的值 于是 sin cos 的值 应与 m 的值无关 进而推知 tan的值与 m 无关 又 1 故选 2 2 4 2 2 2 D 2 逻辑分析法 通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析 达到否定谬误支 选 出正确支的方法 称为逻辑分析法 例例 26 设 a b 是满足 ab a b B a b a b C a b a b D a b a b 解析解析 A B 是一对矛盾命题 故必有一真 从而排除错误支 C D 又由 ab 0 可 令 a 1 b 1 代入知 B 为真 故选 B 例例 2727 的三边满足等式 则此三角形必是 ABC a b ccoscoscosaAbBcC A 以为斜边的直角三角形 B 以为斜边的直角三角形ab C 等边三角形 D 其它三角形 解析解析 在题设条件中的等式是关于与的对称式 因此选项在 A B 为等价命题 a A b B 都被淘汰 若选项 C 正确 则有 即 从而 C 被淘汰 故选 D 111 222 1 1 2 7 7 估算法 估算法 就是把复杂问题转化为较简单的问题 求出答案的近似值 或把有关数值 扩大或缩小 从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计 进而作出判断的方法 例例 2828 农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成 03 年某地区农民人均收入为 8 3150 元 其中工资源共享性收入为 1800 元 其它收入为 1350 元 预计该地区自 04 年起 的 5 年内 农民的工资源共享性收入将以每年的年增长率增长 其它性收入每年增加 160 元 根据以上数据 08 年该地区人均收入介于 A 4200 元 4400 元 B 4400 元 4460 元 C 4460 元 4800 元 D 4800 元 5000 元 解析解析 08 年农民工次性人均收入为 5122 55 1800 1 0 06 1800 10 060 06CC 1800 1 0 30 036 1800 1 336 2405 又 08 年农民其它人均收入为 1350 160 21505 故 08 年农民人均总收入约为 2405 2150 4555 元 故选 B 说明说明 1 解选择题的方法很多 上面仅列举了几种常用的方法 这里由于限于篇幅 其它方法不再一一举例 需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合 起来进行解题 会使题目求解过程简单化 2 对于选择题一定要小题小做 小题巧做 切忌小题大做 不择手段 多快好省 是 解选择题的基本宗旨 二 选择题的几种特色运算 二 选择题的几种特色运算 1 1 借助结论 借助结论 速算速算 例例 29 棱长都为的四面体的四个顶点在同一球面上 则此球的表面积为 2 A B C D 3 4 33 6 解析 解析 借助立体几何的两个熟知的结论 1 一个正方体可以内接一个正四面体 2 若正方体的顶点都在一个球面上 则正方体的对角线就是球的直径 可以快速算出球 的半径 从而求出球的表面积为 故选 A 2 3 R 3 2 2 借用选项 借用选项 验算验算 例例 30 若满足 则使得的值最小的是 x y 0 0 2432 3692 123 yx yx yx yx yxz23 yx A 4 5 3 B 3 6 C 9 2 D 6 4 解析 解析 把各选项分别代入条件验算 易知 B 项满足条件 且的值最小 故选yxz23 B 9 3 3 极限思想 极限思想 不算不算 例例 31 正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为 侧面与底面所成的二面角的平 面角为 则的值是 2coscos2 A 1 B 2 C 1 D 3 2 解析 解析 当正四棱锥的高无限增大时 则 90 90 故选 C 1 180cos90cos22coscos2 4 4 平几辅助 平几辅助 巧算巧算 例例 32 在坐标平面内 与点 A 1 2 距离为 1 且与点 B 3 1 距离为 2 的直线共 有 A 1 条B 2 条C 3 条D 4 条 解析 解析 选项暗示我们 只要判断出直线的条数就行 无须具体求出直线方程 以 A 1 2 为圆心 1 为半径作圆 A 以 B 3 1 为圆心 2 为半径作圆 B 由平面几何知 识易知 满足题意的直线是两圆的公切线 而两圆的位置关系是相交 只有两条公切线 故 选 B 5 5 活用定义 活用定义 活算活算 例例 33 若椭圆经过原点 且焦点 F1 1 0 F2 3 0 则其离心率为 A B C D 4 3 3 2 2 1 4 1 解析 解析 利用椭圆的定义可得故离心率故选 C 22 42 ca 2 1 a c e 6 6 整体思想 整体思想 设而不算设而不算 例例 34 若 则的值 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 2 024 aaa 2 13 aa A 1B 1C 0D 2 解析 解析 二项式中含有 似乎增加了计算量和难度 但如果设3 则待求式子 4 43210 32 aaaaaa 4 43210 32 baaaaa 故选 A 1 32 32 4 ab 7 7 大胆取舍 大胆取舍 估算估算 例例 35 如图 在多面体 ABCDFE 中 已知面 ABCD 是边长为 10 3 的正方形 EF AB EF EF 与面 ABCD 的距离为 2 则该多面体的体积为 2 3 A B 5C 6 D 2 9 2 15 解析 解析 依题意可计算 而 6 故选 D 6233 3 1 3 1 hSV ABCDABCDEABCDEFE ABCD VV 8 8 发现隐含 发现隐含 少算少算 例例 36 交于 A B 两点 且 则直线 AB 的方程为1 2 2 2 2 y xkxy与3 OBOA kk A B 0432 yx0432 yx C D 0423 yx0423 yx 解析 解析 解此题具有很大的迷惑性 注意题目隐含直线 AB 的方程就是 它过定2 kxy 点 0 2 只有 C 项满足 故选 C 9 9 利用常识 利用常识 避免计算避免计算 例例 37 我国储蓄存款采取实名制并征收利息税 利息税由各银行储蓄点代扣代收 某 人在 2001 年 9 月存入人民币 1 万元 存期一年 年利率为 2 25 到期时净得本金和利息 共计 10180 元 则利息税的税率是 A 8 B 20 C 32 D 80 解析 解析 生活常识告诉我们利息税的税率是 20 故选 B 三 选择题中的隐含信息之挖掘 三 选择题中的隐含信息之挖掘 1 1 挖掘 挖掘 词眼词眼 例例 38 过曲线上一点的切线方程为 3 3 xxyS 2 2 A A B 2 y2 y C D 0169 yx20169 yyx或 错解 错解 从而以 A 点为切点的切线的斜率为 9 即所求切9 2 33 2 fxxf 线方程为故选 C 0 169 yx 剖析 剖析 上述错误在于把 过点 A 的切线 当成了 在点 A 处的切线 事实上当点 A 为切点时 所求的切线方程为 而当 A 点不是切点时 所求的切线方程为0169 yx 11 故选 D 2 y 2 2 挖掘背景 挖掘背景 例例 39 已知 为常数 且 则函数必有一周期为RaRx a 1 1 xf xf axf xf A 2B 3C 4D 5aaaa 分析 分析 由于 从而函数的一个背景为正切函数 tanx 取 x x x tan1 tan1 4 tan xf 4 a 可得必有一周期为 4 故选 C a 3 3 挖掘范围 挖掘范围 例例 40 设 是方程的两根 且 tan tan0433 3 xx 2 2 2 2 则的值为 A B C D 3 2 3 3 2 3 或 3 2 3 或 错解 错解 易得 从而 2 2 2 2 3 tan 又 故选 C 3 2 3 或 剖析 剖析 事实上 上述解法是错误的 它没有发现题中的隐含范围 由韦达定理知 从而 故0tan 0tan 0tantan 0tantan 且故 0 2 0 2 故选 A 3 2 4 4 挖掘伪装 挖掘伪装 例例 41 若函数 满足对任意的 当 2 log 3 01 a f xxaxaa 且 1 x 2 x 时 则实数的取值范围为 2 21 a xx 0 21 xfxfa A B 3 1 1 0 3 1 C D 32 1 1 0 32 1 分析 分析 对任意的 x1 x2 当时 实质上就是 函数单调 2 21 a xx 0 21 xfxf 递减 的 伪装 同时还隐含了 有意义 事实上由于在时递 xf3 2 axxxg 2 a x 减 从而由此得 a 的取值范围为 0 2 1 a g a 故选 D 32 1 12 5 5 挖掘特殊化 挖掘特殊化 例例 42 不等式的解集是 32 12 2 12 xx CC A B C 4 5 6 D 4 4 5 5 5 5 6 3 的正整数大于 分析 分析 四个选项中只有答案 D 含有分数 这是何故 宜引起高度警觉 事实上 将 x 值取 4 5 代入验证 不等式成立 这说明正确选项正是 D 而无需繁琐地解不等式 6 6 挖掘修饰语 挖掘修饰语 例例 43 在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上 两校各派 3 名代表 校际间 轮流发言 对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉 对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进 行赞颂 那么不同的发言顺序共有 A 72 种B 36 种C 144 种D 108 种 分析 分析 去掉题中的修饰语 本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目 三男三女站成 一排 男女相间而站 问有多少种站法 因而易得本题答案为 故选 A 种722 3 3 3 3 AA 7 7 挖掘思想 挖掘思想 例例 44 方程的正根个数为 x xx 2 2 2 A 0B 1C 2D 3 分析 分析 本题学生很容易去分母得 然后解方程 不易实现目标 22 32 xx 事实上 只要利用数形结合的思想 分别画出的图象 容易发现在第 x yxxy 2 2 2 一象限没有交点 故选 A 8 8 挖掘数据 挖掘数据 例例 45 定义函数 若存在常数 C 对任意的 存在唯一的 Dxxfy Dx 1 Dx 2 使得 则称函数在 D 上的均值为 C 已知 则C xfxf 2 21 xf 100 10 lg xxxf 函数上的均值为 100 10 lg xxxf在 A B C D 10 2 3 4 3 10 7 分析 分析 从而对任意的 存在唯一的C xxxfxf 2 lg 2 2121 100 10 1 x 使得为常数 充分利用题中给出的常数 10 100 令 100 10 2 x 21 x x 当时 由此得故选100010010 21 xx 100 10 1 x 100 10 1000 1 2 x x 2 3 2 lg 21 xx C 13 A 四 选择题解题的常见失误 四 选择题解题的常见失误 1 1 审题不慎 审题不慎 例例 46 设集合 M 直线 P 圆 则集合中的元素的个数为 PM A 0B 1C 2D 0 或 1 或 2 误解 误解 因为直线与圆的位置关系有三种 即交点的个数为 0 或 1 或 2 个 所以中PM 的元素的个数为 0 或 1 或 2 故选 D 剖析 剖析 本题的失误是由于审题不慎引起的 误认为集合 M P 就是直线与圆 从而错用 直线与圆的位置关系解题 实际上 M P 表示元素分别为直线和圆的两个集合 它们没有 公共元素 故选 A 2 2 忽视隐含条件 忽视隐含条件 例例 47 若 分别是的等差中项和等比中项 则的值为 x2sinxsin cossin 与x2cos A B C D 8 331 8 331 8 331 4 21 误解 误解 依题意有 cossin2sin2 x 2 sinsincosx 由 2 2 得 解得 故选 C 022cos2cos4 2 xx 133 cos2 8 x 剖析 剖析 本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件 事实上 由 得 所以不合题意 故选 A cossinsin 2 x02sin12cos x 8 331 3 3 概念不清 概念不清 例例 48 已知 且 则 m 的值为 0