logistic模型和最小二乘.ppt

背景 世界人口增长概况 中国人口增长概况 研究人口变化规律 控制人口过快增长 如何预报人口的增长 指数增长模型 马尔萨斯提出 1798 常用的计算公式 x t 时刻t的人口 基本假设 人口 相对 增长率r是常数 今年人口x0 年增长率r k年后人口 随着时间增加 人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 阻滞增长模型 Logistic模型 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r 固有增长率 x很小时 xm 人口容量 资源 环境能容纳的最大数量 x t S形曲线 x增加先快后慢 阻滞增长模型 Logistic模型 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报 必须先估计模型参数r或r xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例 美国人口数据 单位 百万 专家估计 阻滞增长模型 Logistic模型 模型检验 用模型计算2000年美国人口 与实际数据比较 实际为281 4 百万 模型应用 预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic模型在经济领域中的应用 如耐用消费品的售量 阻滞增长模型 Logistic模型 最小二乘拟合 问题 给定拟合一个函数y f x t 其中x为待定的参数向量 记误差 确定x的方法 求x使得误差平方和 最小 MATLAB最小二乘拟合 命令lsqcurvefit基本用法 x resnorm res lsqcurvefit f x0 t y lb ub 输入 f f x t x0 参数初值t 自变量向量y 函数值向量lbub 参数的上下界输出x 参数估计值resnom 误差平方和 res r 误差向量 例子 已知美国人口数据如下 单位 百万 用指数增长模型作人口预报 估计模型参数r的MATLAB方法1 建立M文件myexp mfunctionf myexp x t f x 1 exp x 2 t 2 建立M文件myexpexec mt 0 21y 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 281 4 x0 4 0 3 x norm res lsqcurvefit myexp x0 t y 3 利用MATLAB作图 比较结果plot t y holdon y1 myexp x t 理论数据plot t y1 指数模型结果 如果用LOGISTIC模型作拟合 步骤相同1 建立m文件mylogistic mfunctionf mylogistic x t f x 1 1 x 1 3 9 1 exp x 2 t 2 和前面相同 只要将myexp换为mylogistic LOGSTIC模型结果 两个模型结果比较 线性化后再参数估计 对指数模型 MATLAB线性回归命令 b regress y X 返回回归系数向量b 线性模型y Xb X是n p矩阵 y是观察值向量 使用线性回归的M文件 t 0 21y 3 9 5 3 7 2 9 6 251 4 281 4 logy log y logy logy X ones 22 1 t b regress logy X x 1 exp b 1 x 2 b 2 y1 myexp x t plot t y t y1 结果 对logistic模型 MATLABM文件 y 3 9 5 3 7 2 251 4 281 4 dy diff y dyy dy y 1 21 dyy dyy tt y 1 21 X ones 21 1 tt b regr