【走向高考】高三数学一轮复习 82空间图形的基本关系与公理课件 北师大版.ppt

考纲解读1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 考向预测1 以考查点 线 面的位置关系为主 同时考查逻辑推理能力与空间想象能力 2 有时考查应用公理 定理证明点共线 线共点 线共面的问题 3 多以选择题 填空题的形式考查 有时也出现在解答题中 属低中档题 知识梳理1 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在这个平面内 公理2 经过的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个平面有一个公共点 那么它们有且只有通过该点的公共直线 公理4 平行于的两条直线互相平行 两点 不在同一直线上 一条 同一条直线 2 直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 2 异面直线所成的角 过空间任意一点p分别引两条异面直线a b的平行线l1 l2 a l1 b l2 这两条相交直线所成的就是异面直线a b所成的角 锐角 或直角 3 直线与平面的位置关系有 三种情况 4 平面与平面的位置关系有 两种情况 5 定理空间中 如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 相交 平行 在平面内 相等或互补 平行 相交 基础自测1 给出下列命题 和直线都相交的两条直线在同一个平面内 三条两两相交的直线在同一个平面内 有三个不同公共点的两个平面重合 两两平行的三条直线确定三个平面 其中正确命题的个数是 a 0b 1c 2d 3 答案 a 解析 对于 两条直线可以异面 对于 三条直线若交于一点 则可以异面 对于 这三点若共线 则两平面可以相交 对于 三条平行线可在同一平面内 2 2010 湖北文 用a b c表示三条不同的直线 表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a b 则a b 若a b 则a b 其中真命题的序号是 a b c d 答案 c 解析 本题主要考查平面几何 立体几何的线线 线面的关系 平行关系的传递性 举反例 a b b c 则a c 举反例 a b 则a与b相交 垂直于同一平面的两直线互相平行 故 正确 3 2010 全国卷 文 直三棱柱abc a1b1c1中 若 bac 90 ab ac aa1 则异面直线ba1与ac1所成的角等于 a 30 b 45 c 60 d 90 答案 c 解析 本题考查线线角 考查学生的作图能力和计算能力 4 2008 辽宁文 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为棱aa1 cc1的中点 则在空间中与三条直线a1d1 ef cd都相交的直线 a 不存在b 有且只有两条c 有且只有三条d 有无数条 答案 d 解析 在ef上任意取一点m 直线a1d1与m确定一个平面 这个平面与cd有且仅有1个交点n 当m取不同的位置就确定不同的平面 从而与cd有不同的交点n 而直线mn与这3条异面直线都有交点 5 下列各图是正方体和正四面体 p q r s分别是所在棱的中点 过四个点共面的图形是 答案 解析 在 选项中 可证q点所在棱与prs平行 因此 p q r s四点不共面 可证 中pqrs为梯形 中可证pqrs为平行四边形 中如右图取a1a与bc的中点为m n 可证明pmqnrs为平面图形 且pmqnrs为正六边形 6 直线ab ad 直线cb cd 点e ab 点f bc 点g cd 点h da 若直线eh 直线fg m 则点m与bd的关系是 答案 m bd 解析 由eh fg m 知m eh 所以m 平面cbd 同理m 平面abd 又平面abd 平面cbd bd 故m bd 7 已知空间四边形abcd的对角线ac 10 bd 6 m n分别是ab cd的中点 mn 7 求异面直线ac与bd所成的角 解析 如图 取bc的中点e 连接em en 因为m n分别是ab cd中点 所以em ac en bd 所以 men就是异面直线ac与bd所成的角或所成角的补角 例1 如图所示 已知 abc的三个顶点都不在平面 内 它的三边ab bc ac延长后 分别交平面 于点p q r 求证 点p q r在同一直线上 分析 要证明p q r三点共线 只需证明p q r三点在平面 和平面abc的交线上 可先用任意两点确定交线所对应的直线 再证明第三点在该直线上 本题体现了空间问题转化为平面问题的思想和方法 证明 由已知ab的延长线交平面 于点p 根据公理3 三角形abc所在的平面与平面 必相交于一条直线 设为l p 直线ab p 平面abc 又直线ab 平面 p p 平面 p是平面abc与平面 的公共点 平面abc 平面 l p l 同理 q l r l 点p q r在同一条直线l上 点评 易忽视先找出平面abc与平面 的交线 从而缩小目标范围 分析 欲证三线共点 可证其中两条直线有交点 且该交点在第三条直线上 p 平面abc 同理p 平面adc p在平面abc和平面adc的交线ac上 故ef gh ac三条直线交于一点 点评 平面几何中证多线共点的思维方法仍然适用 只是在思考中应考虑空间图形的新特点 例2 求证 两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内 分析 已知a b c d四条直线不共点但是两两相交 求证 a b c d共面 a b c d四条直线或者有三条共点或无三条共点 分两种情形证 1 设有三条直线共点 不失一般性 可设此三条直线为a b c 它们均过p点 如下图甲 此时d必不过点p 因四线不共点 因此过d和点p可以确定平面 再设法证明其他三条直线a b c均在 内即可 2 设没有三条直线共点 如图乙 a b q a与b可确定一个平面 再设法证明其余二线c d均在 内即可 点评 利用基本性质2及其三个推论 可以用来证明点 线共面 证明此类问题 常用的方法有 1 纳入法 先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内 再证明其余的点和直线也在这个确定的平面内 2 同一法 先利用基本性质2及其三个推论证明某些点和直线在一个确定的平面内 另一些点和直线在另外一个确定的平面内 最后再证明这些平面重合 3 反证法 可以假设这些点和直线不在一个平面内 然后通过推理 找出矛盾 从而否定假设 肯定结论 一条直线与三条平行直线都相交 求证 这四条直线共面 解析 已知 a b c l a a l b b l c c 求证 直线a b c l共面 证明 a b a b确定一个平面 l a a l b b a b 故l 又 a c a c确定一个平面 同理可证l a且 l 过两条相交直线a l有且只有一个平面 故 与 重合 即直线a b c l共面 例3 在正方体ac1中 e是cd的中点 连接ae并延长与bc的延长线交于点f 连接be并延长交ad的延长线于点g 连接fg 求证 直线fg 平面abcd且直线fg 直线a1b1 分析 先由基本性质1判定fg 平面abcd 再由平行公理有线线平行 解析 由已知知e是cd的中点 点评 判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性质及几何体内线面之间的位置关系 其中基本性质4是论证空间中两条直线平行的重要方法之一 使用基本性质4的关键是 桥梁直线 即第三条直线的选择 同时 解立体几何问题应注意平面几何知识的应用 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别为d1c1 b1c1的中点 ac bd p a1c1 ef q 求证 1 d b f e四点共面 2 若a1c交平面dbfe于r点 则p q r三点共线 证明 如图所示 1 ef是 d1b1c1的中位线 ef b1d1 在正方体ac1中 b1d1 bd ef bd ef bd确定一个平面 即d b f e四点共面 2 正方体ac1中 设a1acc1确定的平面为 又设平面bdef为 q a1c1 q 又q ef q 则q是 与 的公共点 同理 p点也是 与 的公共点 pq 又a1c r r a1c r 则r pq 故p q r三点共线 点评 1 共点问题证明l1 l2和l三线共点 一般先证两条直线l1与l2相交于点o 再由点o既在直线l1 l确定的平面 内 又在直线l2 l确定的平面 内 由公理3可得点o l 即l1 l2 l3三线共点 2 共线问题证明a b c三点共线 一般先证a b两点连线是平面 的交线 再证点c 直线ab 即a b c三点共线 3 共面问题证明多个几何元素 点和线 共面 一般先由公理2或其推论确定平面 经过某些元素 或者说这些元素在平面 内 再由公理1和公理3证明其他元素也在平面 内 例4 如下图所示正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是a1b1 b1c1的中点 问 1 am和cn是否是异面直线 说明理由 2 d1b和cc1是否是异面直线 说明理由 解析 1 不是异面直线 理由 m n分别是a1b1 b1c1的中点 mn a1c1 又 a1a綊d1d 而d1d綊c1c a1a綊c1c a1acc1为平行四边形 a1c1 ac 得到mn ac a m n c在同一个平面内 故am和cn不是异面直线 2 是异面直线 证明如下 假设d1b与cc1在同一个平面d1cc1内 则b 平面cc1d1 c 平面cc1d1 bc 平面cc1d1 b 面cc1d1d 这与abcd a1b1c1d1是正方体相矛盾 假设不成立 故d1b与cc1是异面直线 点评 1 见中点 应构造中位线并利用中位线性质转化为平行关系 2 判定两条直线异面可用 经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线是异面直线 或用反证法 3 异面直线的判定高考一般不会出大题 但在选择题中可能会涉及 分析 三棱柱中aa1 cc1 故 a1ab即所求 由a1在底面射影为bc中点知 a1ad a1bd都是直角三角形 结合各棱长都相等 可解 a1ab 答案 d 2 2010 重庆文 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 a 只有1个b 恰有3个c 恰有4个d 有无穷多个 答案 d 解析 本题考查空间想象能力 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45 角直线上所有点到两条直线的距离都相等 故选d 1 平面的基本性质 三个公理 三个推论 是整个立体几何的基础 其中确定一个平面的四种情形是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据 高考中对平面基本性质的考查一般不会单独命题 常是融该知识点于其他知识点之中综合命题 空间两直线 中 异面直线 是重点 也是难点 几乎每年高考都要涉及 考查的内容多涉及异面直线的定义 异面直线所成的角 2 公理的应用 1 证明线共面证明线共面 一般是三线共面作原始题从而推广到多线共面 一般有两种证法 一是两线确定一个平面 再证明第三线在这个平面内 二是其中两条直线确定一个平面 另两条直线确定平面 而 又同时具有确定平面的公共条件 进而 重合 从而三线共面 2 证明三点共线三点都是某两平面的公共点 则三点共线 3 证明三线共点与初中证明三线共点的思路一样 先证两条直线交于一点