怎样证明两线段相等.doc

怎样证明两线段相等求证两线段相等是平面几何中的重要题型，其证明方法较多。为帮助初三学生掌握一些常见的证法，本文在几何第二、三册知识范围内，归类总结若干方法如下，供初三学生复习时参考。证明两线段相等的常用方法和涉及的定理、性质有：1.三角形两线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；证明三角形全等：全等三角形的对应边相等，全等形包括平移型、旋转型、翻折型；等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；过三角形一边的中点平行于另一边的直线必平分第三边；2.证特殊四边形平行四边形的对边相等、对角线互相平分；矩形的对角线相等，菱形的四条边都相等；等腰梯形两腰相等，两条对角线相等；3.圆同圆或等圆的半径相等；圆的轴对称性（垂径定理及其推论）：垂直于弦的直径平分这条弦；平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦；圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；4. 等量代换：若a=b，b=c，则a=c；等式性质：若a=b，则ac=bc；若，则a=b.此外，也有通过计算证明两线段相等，有些条件下可以利用面积法、相似线段成比例的性质等证明线段相等。一、利用全等三角形的对应边相等证明例1、如图1，已知C在BD上，ABC与CDE都是等边三角形，BE、AD分别与AC、CE交于P、Q。求证：CP=CQ。证明：因为ABC和CDE都是等边三角形，所以在ACD与BCE中，AC=BC，CD=CE。因为1=2=60，所以ACD=BCE=60+3=120，所以ACDBCE（SAS），所以4=5。在ACQ与BCP中，AC=BC，4=5，又知3=60=1，所以ACQBCP（ASA），所以CP=CQ。二、利用等腰三角形定理及逆定理证明例2、如图2，已知：在ABC中，AB=AC，在AB、AC上的线段AD=AE。求证：FB=FC，FE=FD。证明：在ABC中，因为AB=AC，AD=AE，所以DB=EC。在EBC与DCB中，因为DB=EC，BC=BC，又ABC=ACB（等腰三角形的底角相等），所以EBCDCB（SAS），所以BE=CD，EBC=DCB，所以FBC是等腰三角形，所以FB=FC，故，即FE=FD。证法2：也可以ACDABE（SAS），从而得到ABE=ACD，证得FBC为等腰三角形，再通过平行线内错角相等证明FDE为等腰三角形。三、利用等腰三角形“三线合一”定理证明例3、如图3，已知ABC为Rt，D为斜边AB的中点，DEAC于E，DFBC于F。求证：AE=CE，BF=CF。证明：因为D是RtABC的斜边AB的中点，所以连CD后，则AD=CD=BD。所以CDA与CDB均为等腰三角形，另外DEAC，DFBC，所以AE=CE，BF=CF。（等腰三角形底边上的高平分底边）。证法2：可直接用三角形中位线定理或平行线截取线段成比例证明。四、利用角平分线上的点到这个角两边等距离证明例4、如图4，已知：ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的中线，B、C的平分线交于I，求证：I到AB、BC、CA的距离相等。证明：因为AB=AC，AD是BC边的中线，所以AD平分BAC且ADBC，而B、C的平分线交于I，所以AD过I点，即I是ABC的内心，作IEAC于E，IFAB于F，故ID=IE=IF。所以I到AB、BC、CA的距离相等。五、利用垂直平分线上的点到该线段两端等距离证明例5、如图5，已知：ABC中，A=90，D为ABC内一点，且AB=AC=BD，ABD=30求证：AD=DC证明：作AGBD于G，作DHAC于H，因为ABD=30，所以在RtAGB中，。又DAG=DABGAB=7560=15，且DAC=9075=15，而AD=AD，所以RtAGDRtAHD（AAS），所以，因为DH为AC的垂直平分线，所以AD=DC。六、利用两三角形面积相等，等底必等高，等高必等底证明例6、求证：等腰三角形两腰上的高相等。证明：如图6，在等腰ABC中，作BDAC于D，CEAB于E，因为SABC=BDAC/2=CEAB/2而AB=AC，所以BD=CE，命题得证。证明2：也可以用全等三角形证明。七、利用等量公理：证明它们等于同一线段或分别等于两条相等线段例7、如图7，锐角ABC中，B=2C，ADBC于D，延长AB到E，BE=BD，连结ED并延长交AC于F。求证：AF=FC。证明：因为BE=BD，所以E=1，而ABC=E+1=2E，又ABC=2C，所以C=E。因为1=2，所以2=C，所以FC=FD。另外，2+3=C+4=90，所以3=4，所以FD=AF，故AF=FC。八、利用中心对称证明例8、如图8，已知AT为ABC的内角平分线，M为BC中点，MEAT，交AB、AC或其延长线于D、E，求证：BD=CE。思路：设法把已知量待求量转化到一个完形中（这里：同一个三角形，转化为等腰问题）。证明：以M为对称中心，则B、C互为对称点，取D关于M的对称点R，连CR，则CRBD，且相等，所以R=3=2=1=E，所以CE=CR=BD。九、利用勾股定理证明例9、如图9，已知：M为ABC内一点，MD、ME、MF分别和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。求证：AE=AF。证明：根据勾股定理及题设可知：AF2=FG2+AM2-GM2=AM2+ FG2-（BM2-BG2）=AM2-BM2+（FG2+BG2）=AM2-BM2+BF2=AM2-BM2+BD2=AM2-（BH2+MH2）+（BH2+DH2）=AM2+DH2-MH2=AM2+CD2-CH2-（CM2-CH2）=AM2+CD2-CM2同理，可得AE2= AM2+CD2-CM2所以AF2= AE2，所以AF=AE十、利用比例证明例10、如图10，已知ABC中，中线BE与角平分线AD交于点K，BLKC，交AC的延长线于点L，求证：LC=AB。证明：因为BLKC，所以， 因为AD平分BAC，所以， 所以由、得。又因为CE=AE，所以LC=AB。十一、利用圆幂定理证明例11、如图11，已知：PA是圆O的切线，A为切点，PBD是圆O的割线，弦DEAP，PE的延长线交圆O于C，CB的延长线交PA于F。求证：PF=FA。证明：因为DEAP，所以APD=D=C，所以FP是圆PBC的切线（弦切角定理的逆定理），所以FP2=FBFC（切割线定理）。又FA2=FBFC（切割线定理），所以FP2=FA2，所以PF=FA。十二、利用平行四边形性质证明例12、如图12，已知RtABC锐角C的平分线交AB于E，交高线AD于O，过O引BC的平行线交AB于F，求证：AE=BF。证明：因为CE平分C，所以2=90C，3=90C，所以3=2=1，从而AE=AO，作EKBC，连OK，则EK=AE=AO，又AOEK，故AOKE是平行四边形，AEOK，且AE=OK，而OKBF也是平行四边形，所以BF=KO=AE。十三、利用三角知识证明例13、如图13，已知四边形ABCD内接于O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F分别是AB、CD的中点。求证：OF=GE。证明：设O的半径为R，因为F是弦CD的中点，所以OFCD。所以在RtOFD中，OF=ODsin1=Rsin1。 又GE=AB（因为E是RtAGB的斜边AB的中点），而由正弦定理知AB=2Rsin2，所以GE=Rsin2。 因为OFCD，所以DOF=DAC，于是1=90DOF=90DAC=2，由、知：OF=GE。练习题：1、在RtABC中，A=90，B的平分线和AC交于D，BC边上的高AF和BD交于E。求证：AD=AE。（提示：应用两角互余及三角形外角定理证ADB=AED）2、在ABC中，AB=AC，在底边BC两端分别向腰和腰的延长线上截取BE=CD，连结D、E交BC于G，求证：EG=DG。（提示：过E作EFAD交BC于F，证EFGDCG，或在DGC和BEG中用正弦定理证）3、ABC中，D、E为BC上的任意两点，DD1AB，DD2AC，EE1AB，EE2AC，且DD1+DD2=EE1+EE2，求证：AB=AC。（提示：SABD+SADC=SABE+SAEC）4、已知AD是ABC的BAC的平分线，E是DC上的一点，DE=BD，EFCA，和AD交于F。求证：EF=AB。（