2017_18学年高中数学第一章坐标系第3节第2课时直线的极坐标方程教学案.docx

第2课时直线的极坐标方程核心必知直线的极坐标方程1当直线l过极点，从极轴到l的角是，则l的方程为：(R)2当直线l过点M(a，0)且垂直于极轴时，l的方程为cos_a3若直线经过点M(0，0)，且从极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程为：sin_()0sin_(0)问题思考1在直线的极坐标方程中，的取值范围是什么？提示：的取值范围是全体实数，即R.2在极坐标系中，点M(，)与点P(，)之间有什么关系？提示：若0，因此点M(，)与点P(，)关于极点对称求过点A且平行于极轴的直线的极坐标方程精讲详析本题考查直线的极坐标方程的求法，解题的关键是通过解直角三角形得到动点M的等式然后转化为关于，的等式如图所示，设M(，)为直线l上的任意一点过点M作MHx轴，A(2，)，|MH|2sin .在RtOMH中，|MH|OM|sin ，即sin .过点A(2，)且平行于极轴的直线的极坐标方程为sin .求直线极坐标方程的步骤：(1)设(，)为直线上任一点的极坐标(2)写出动点满足的几何条件(3)把上述条件转化为，的等式(4)化简整理1若将例题中的“平行”改为“垂直”，如何求解？解：如图所示，在直线l上任意取点M(，)，A(2，)，|OH|2cos .在RtOMH中，|OH|OM|cos ，cos ，即cos .过A(2，)且垂直于极轴的直线方程为cos .求出下列直线的极坐标方程(1)过定点M(0，0)，且与极轴成弧度的角；(2)过定点M(0，0)，且与直线0垂直精讲详析本题考查直线的极坐标方程的求法解答本题需要根据已知条件画出极坐标系，然后借助平面几何的知识建立与间的关系(1)设P(，)为直线上任意一点(如图)，且记OPM1，OMP2，则1，2(0)在OMP中应用正弦定理：，即00.即直线方程为sin ()0sin (0)(2)设P(，)为直线上任意一点(如图)，由OMP为直角三角形，显然有，cos (0)0.这就是所求直线方程对比直角坐标系中直线的方程，可将(1)看成是直线方程的点斜式，不难验证当00，时，直线(1)即cos 0；当0，0时，即sin 0.2(上海高考)如图，在极坐标系中，过点M(2，0)的直线l与极轴的夹角.若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f()_解析：在直线l上任取点P(，)，在OPM中，由正弦定理得，即，化简得，故f().答案：已知C：2cos ，直线l：cos sin 4，求过点C且与直线l垂直的直线的极坐标方程精讲详析本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法解答本题需要先求出直线的一般方程，然后化一般方程为极坐标方程即可C的直角坐标方程是x2y22x0，即(x1)2y21.直线l的直角坐标方程为xy40.圆心C(1，0)，所以过点C与l垂直的直线方程为xy10.化为极坐标方程为cos sin 10，即cos ().解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下研究所要求解的问题，最后再将直角坐标方程转化为极坐标方程即可3在极坐标系(，)(02)中，求曲线(cos sin )1与(sin cos )1的交点的极坐标解：由(cos sin )1，得xy1；由(sin cos )1，得yx1.由得两条直线的交点的直角坐标为(0，1)，化为极坐标为(1，)直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置关系的判断是高考命题的重点内容陕西高考以填空题的形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系考题印证(陕西高考)直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_命题立意本题主要考查直线和圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线与圆的位置关系解析直线的方程为2x1，圆的方程为x2y22x0，圆心为(1，0)，半径r1，圆心到直线的距离为d，设所求的弦长为l，则12()2()2，解得l.答案：一、选择题1极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线解析：选C由(1)()0得1或，又 0，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线2在极坐标系中与圆4sin 相切的一条直线的方程为()Acos 2 Bsin 2C4sin D4sin解析：选A4sin 的普通方程为x2(y2)24，cos 2的普通方程为x2，圆x2(y2)24与直线x2显然相切3直线和直线sin()1的位置关系是()A垂直 B平行C相交但不垂直 D重合解析：选B直线化为直角坐标方程为yxtan ，sin()1化为sin cos cos sin 1，即yxtan .所以两直线平行4在极坐标系中，曲线4sin关于()A直线对称 B直线对称C点对称 D极点对称解析：选B由方程4sin ()，得22sin 2cos ，即x2y22y2x.配方，得(x)2(y1)24.它表示圆心在(，1)、半径为2、且过原点的圆所以在极坐标系中，它关于直线成轴对称二、填空题5(北京高考)在极坐标系中，点到直线sin 2的距离等于_解析：由题意知，点的直角坐标是(，1)，直线sin 2的直角坐标方程是y2，所以所求的点到直线的距离为1.答案：16在极坐标系中，圆4被直线分成两部分的面积之比是_解析：直线过圆4的圆心，直线把圆分成两部分的面积之比是11.答案：117在极坐标系(，)(02)中，曲线2sin 与cos 1的交点的极坐标为_解析：由2sin ，得22sin ，其普通方程为x2y22y，cos 1的普通方程为x1，联立，解得，点(1，1)的极坐标为(，)答案：(，)8在极坐标系中，定点A，点B在直线l：cos sin 0上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_解析：将cos sin 0化为直角坐标方程为xy0，点A(1，)化为直角坐标得A(0，1)，如图，过A作AB直线l于B，因为AOB为等腰直角三角形，又因为|OA|1，则|OB|，故B点的极坐标是B(，)答案：(，)三、解答题9求过(2，3)点且斜率为2的直线的极坐标方程解：由题意知，直线的直角坐标方程为y32(x2)，即：2xy70，设M(，)为直线上任意一点，将xcos ，ysin 代入直角坐标方程2xy70得：2cos sin 70，这就是所求的极坐标方程10在极坐标系中，圆C：10cos 和直线l：3cos 4sin 300相交于A、B两点，求线段|AB|的长解：分别将圆C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C：x2y210x，即(x5)2y225，圆心C(5，0)直线l：3x4y300.因为圆心C到直线l的距离d3.所以|AB|28.11在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线l：sin，(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当