高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学案新人教B版选修.docx

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质课堂导学三点剖析一、有关系数和的问题【例1】设（2x）100=a0+a1x+a2x2+a100x100,求下列各式的值：（1）a0;（2）a1+a2+a100;（3）a1+a3+a5+a99;（4）（a0+a2+a100）2-（a1+a3+a99）2.解：（1）由（2x）100展开式中的常数项为2100,即a0=2100,或令x=0,则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1，可得a0+a1+a2+a100=（2）100,a1+a2+a100=（2）100-2100.（3）令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a100=（2+）100.与x=1所得到的联立相减可得，a1+a3+a99=.（4）原式=（a0+a2+a100）+（a1+a3+a99）（a0+a2+a100）-（a1+a3+a99）=（a0+a1+a2+a100）（a0-a1+a2-a3+a98-a99+a100）=（2-）100（2+）100=1.温馨提示 本题采用了赋值法求各项系数之和.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+anxn，则f（x）展开式各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0+a2+a4+=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+=.二、系数最大项问题【例2】已知在（-）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大.（1）求n;（2）求展开式中系数绝对值最大的项和系数最大的项.解析：（1）因为展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以n是偶数，第6项即为中间项，+1=6,得n=10.（2）展开式的通项是Tr+1=（-1）r2-r,系数的绝对值是2-r,若它最大则，r.rN*,r=3,系数绝对值最大的项是第4项，即2-3=. 系数最大的项应在项数为奇数的项之内，即r取偶数0，2，4，6，8时，各项系数分别为=1，2-2=.2-4=,2-6=,2-n=,系数最大的项是第5项，即.温馨提示 注意“系数”与“二项式系数”在概念上的区别，否则会得出“系数最大的项为T4，而系数最小的项为T1和T7”的错误结论. 一系列数的大小比较问题，其数学模型就是数列中各项的大小比较问题，而数列an的各项大小排队方法无外乎单调性法、作差法、作商法等.本题用了作商与1比较的方法.三、二项式定理性质的综合应用【例3】试证明下列组合恒等式：（1）+=;（2）若an为等差数列，d为公差，求证：a1+a2+an+1=（2a1+nd）2n-1. 思路分析：（1）将写成后，连续使用组合数性质：+=可得结果.（2）本质上是一个求和问题，用“逆序求和”思想可得结果.解：（1）+=+=+=.（2）令S=a1+a2+an+1.则S=an+1+an+a1.=,将以上两式相加，得2S=（a1+an+1）+（a2+an）+（an+1+a1）.又an是等差数列，a1+an+1=a2+an=a3+a n-1=an+1+a1.2S=（a1+an+1）（+）,2S=（2a1+nd）2n,S=（2a1+nd）2n-1.温馨提示 （1）不要误写为;（2）不要误写为（2a1+nd）2n,像改写成后出现的连锁反应一样.各个击破类题演练 1设（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+a5x5,求：（1）a0+a1+a2+a3+a4;（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|;（3）a1+a3+a5;（4）（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2.解析：设f（x）=（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+a5x5,则f（1）=a0+a1+a2+a5=1,f（-1）=a0-a1+a2-a3+a4-a5=（-3）5=-243.（1）a5=25=32,a0+a1+a2+a3+a4=f（1）-32=-31.（2）|a0|+|a1|+|a2|+|a5|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5=-f（-1）=243.（3）f（1）-f（-1）=2（a1+a3+a5）,a1+a3+a5=122.（4）（a0+a2+a4）2-（a1+a3+a5）2=（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0-a1+a2-a3+a4-a5）=f（1）f（-1）=-243.变式提升 1求（1+2x+x2）10（1-x）5展开式中各项系数的和.解：（1+2x+x2）10（1-x）5=（1+x）20（1-x）5=（+x+x2+ x20）+（-x）1+（-x）5=A0+A1x+A2x2+A3x3+A25x25,对于x取任意给定的数，等式左右两边的值总相等，令x=1,则0=A0+A1+A2+A3+A 25,展开式中各项系数的和为0.类题演练 2（1+2x）n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.解析：根据已知条件可求出n，再根据n的奇偶性，确定出二项式系数最大的项.T6=（2x）5,T7=（2x）6,依题意有25=26n=8.（1+2x）8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=（2x）4=1 120x4.设第r+1项系数最大，则有r=5,或r=6（r0,1,2,8）.系数最大的项为T6=1 792x5,T7=1 792x6.变式提升 2求（2+x）10展开式系数最大的项.解析：设第r+1项的系数最大，则有即即r=3时，T4=27x3为所求的系数最大的项.类题演练 3设（a+b）20的展开式的第4r项的系数与第r+2项的系数相等，求r的值.解析：设（a+b）20的展开式的第4r项系数为,第r+2项系数为,依题意得=,4r-1=r+1,或4r-1+r+1=20.解得r=（舍去）,r=4.r=4即为所求.变式提升 3（1）求+的值；（2）求+ 的值.解析：（1）设原式为S，则S=+1+2+3+（n-1）+n.将上式倒序写出并考虑到=,得S=+（n-1）+（n-2）+1 +0,两式相加并考虑到n+0=（n-1