高考数学总复习 8.5 直线、平面垂直的判定及性质课件.ppt

8 5直线 平面垂直的判定及性质要点梳理1 直线与平面垂直 1 判定直线和平面垂直的方法 定义法 利用判定定理 一条直线和一个平面内的两条直线都垂直 则该直线和此平面垂直 推论 如果在两条平行直线中 有一条垂直于一个平面 那么另一条直线也于这个平面 相交 垂直 基础知识自主学习 2 直线和平面垂直的性质 直线垂直于平面 则垂直于平面内直线 垂直于同一个平面的两条直线 垂直于同一直线的两平面 2 斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角 叫斜线和平面所成的角 3 二面角的有关概念 1 二面角 从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角 任意 平行 平行 两个半平面 2 二面角的平面角 以二面角的棱上任一点为端点 在两个半平面内分别作的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 4 平面与平面垂直 1 平面与平面垂直的判定方法 定义法 利用判定定理 一个平面过另一个平面的 则这两个平面垂直 2 平面与平面垂直的性质两平面垂直 则一个平面内垂直于的直线垂直于另一个平面 垂直于棱 一条垂线 交线 基础自测1 设l m n均为直线 其中m n在平面 内 则 l 是 l m且l n 的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件解析当l 时 l m且l n 但当l m l n时 若m n不是相交直线 则得不到l a 2 若p是平面 外一点 则下列命题正确的是 a 过p只能作一条直线与平面 相交b 过p可作无数条直线与平面 垂直c 过p只能作一条直线与平面 平行d 过p可作无数条直线与平面 平行解析过p点存在一平面与 平行 则该平面内过p的直线有无数条都与 平行 d 3 2009 广东理 5 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 a 和 b 和 c 和 d 和 解析当两个平面相交时 一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面 故 不对 由平面与平面垂直的判定可知 正确 空间中垂直于同一条直线的两条直线可以相交也可以异面 故 不对 若两个平面垂直 只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直 故 正确 答案d 4 2008 湖南文 5 已知直线m n和平面 满足m n m 则 a n b n 或n c n d n 或n 解析 n与 的位置关系各种可能性都有 a b都不对 当n 时 作n n 且n m o 则n 与m确定平面 设 l 则有m l 又m n 所以l n l n n 当n 时 显然成立 故c不对 d正确 d 5 下列命题中 m n表示两条不同的直线 表示三个不同的平面 若m n 则m n 若 则 若m n 则m n 若 m 则m 正确的命题是 a b c d 解析 中平面 与 可能相交 中m与n可以是相交直线或异面直线 故 错 选c c 题型一直线与平面垂直的判定与性质如图所示 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分别是ab pc的中点 1 求证 mn cd 2 若 pda 45 求证 mn 平面pcd 1 因m为ab中点 只要证 anb为等腰三角形 则利用等腰三角形的性质可得mn ab 2 已知mn cd 只需再证mn pc 易看出 pmc为等腰三角形 利用n为pc的中点 可得mn pc 题型分类深度剖析 证明 1 连接ac an bn pa 平面abcd pa ac 在rt pac中 n为pc中点 pa 平面abcd pa bc 又bc ab pa ab a bc 平面pab bc pb 从而在rt pbc中 bn为斜边pc上的中线 an bn abn为等腰三角形 又m为底边ab的中点 mn ab 又 ab cd mn cd 2 连接pm cm pda 45 pa ad ap ad 四边形abcd为矩形 ad bc pa bc 又 m为ab的中点 am bm 而 pam cbm 90 pm cm 又n为pc的中点 mn pc 由 1 知 mn cd pc cd c mn 平面pcd 垂直问题的证明 其一般规律是 由已知想性质 由求证想判定 也就是说 根据已知条件去思考有关的性质定理 根据要求证的结论去思考有关的判定定理 往往需要将分析与综合的思路结合起来 知能迁移1rt abc所在平面外一点s 且sa sb sc d为斜边ac中点 1 求证 sd 面abc 2 若ab bc 求证 bd 面sac 证明 1 如图所示 取ab中点e 连结se de 在rt abc中 d e分别为ac ab的中点 故de bc 且de ab sa sb sab为等腰三角形 se ab se ab de ab se de e ab 面sde 而sd 面sde ab sd 在 sac中 sa sc d为ac中点 sd ac sd ac sd ab ac ab a sd 面abc 2 若ab bc 则bd ac 由 1 可知 sd 面abc 而bd 面abc sd bd sd bd bd ac sd ac d bd 面sac 题型二面面垂直的判定与性质如图所示 在四棱锥p abcd中 平面pad 平面abcd ab dc pad是等边三角形 已知bd 2ad 8 ab 2dc 4 1 设m是pc上的一点 证明 平面mbd 平面pad 2 求四棱锥p abcd的体积 1 因为两平面垂直与m点位置无关 所以在平面mbd内一定有一条直线垂直于平面pad 考虑证明bd 平面pad 2 四棱锥底面为一梯形 高为p到面abcd的距离 1 证明在 abd中 ad 4 bd 8 ab 4 ad2 bd2 ab2 ad bd 又 面pad 面abcd 面pad 面abcd ad bd 面abcd bd 面pad 又bd 面bdm 面mbd 面pad 2 解过p作po ad 面pad 面abcd po 面abcd 即po为四棱锥p abcd的高 又 pad是边长为4的等边三角形 po 在底面四边形abcd中 ab dc ab 2dc 四边形abcd为梯形 在rt adb中 斜边ab边上的高为此即为梯形的高 当两个平面垂直时 常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线 把面面垂直转化为线面垂直 进而可以证明线线垂直 构造二面角的平面角或得到点到面的距离等 知能迁移2在斜三棱柱a1b1c1 abc中 底面是等腰三角形 ab ac 侧面bb1c1c 底面abc 1 若d是bc的中点 求证 ad cc1 2 过侧面bb1c1c的对角线bc1的平面交侧棱于m 若am ma1 求证 截面mbc1 侧面bb1c1c 证明 1 ab ac d是bc的中点 ad bc 底面abc 平面bb1c1c 面abc 面bb1c1c bc ad 侧面bb1c1c cc1 面bb1c1c ad cc1 2 延长b1a1与bm交于n 连结c1n am ma1 na1 a1b1 a1b1 a1c1 a1c1 a1n a1b1 c1n c1b1 截面nb1c1 侧面bb1c1c 面nb1c1 面bb1c1c c1b1 c1n 侧面bb1c1c c1n 面c1nb 截面c1nb 侧面bb1c1c 即截面mbc1 侧面bb1c1c 题型三线面角的求法 12分 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面为直角梯形 ad bc bad 90 pa 底面abcd 且pa ad ab 2bc m n分别为pc pb的中点 1 求证 pb dm 2 求bd与平面admn所成的角 1 易证pb 平面admn 2 构造直线和平面所成的角 解三角形 1 证明 n是pb的中点 pa ab an pb bad 90 ad ab pa 平面abcd pa ad pa ab a ad 平面pab ad pb 4分又 ad an a pb 平面admn 平面admn pb dm 6分 2 解连接dn pb 平面admn bdn是bd与平面admn所成的角 8分在rt bdn中 10分 bdn 30 即bd与平面admn所成的角为30 12分 求直线和平面所成的角 关键是利用定义作出直线和平面所成的角 必要时 可利用平行线与同一平面所成角相等 平移直线位置 以方便寻找直线在该平面内的射影 知能迁移3如图所示 四面体abcs中 sa sb sc两两垂直 sba 45 sbc 60 m为ab的中点 求 1 bc与平面sab所成的角 2 sc与平面abc所成的角的正切值 解 1 sc sb sc sa sb sa s sc 平面sab bc在平面sab上的射影为sb sbc为bc与平面sab所成的角 又 sbc 60 故bc与平面sab所成的角为60 2 连结mc 在rt asb中 sba 45 asb为等腰直角三角形 sm ab 由 1 知ab sc ab sm m ab 平面smc 平面abc 平面smc 平面abc 过点s作so mc于点o so 平面abc scm为sc与平面abc所成的角 由 1 知sc 平面sab 又 平面sab sc sm smc为直角三角形 设sb a 即sc与平面abc所成的角的正切值为 题型四二面角的求法如图所示 三棱锥p abc中 d是ac的中点 pa pb pc ac 2 ab bc 1 求证 pd 平面abc 2 求二面角p ab c的正切值大小 1 已知三角形三边长 可考虑利用勾股定理的逆定理证明垂直 2 关键是找出二面角的平面角 由ap pb 可考虑取ab的中点e 1 证明连结bd d是ac的中点 pa pc pd ac ac ab bc ab2 bc2 ac2 abc 90 即ab bc pd2 pa2 ad2 3 pb pd2 bd2 pb2 pd bd ac bd d pd 平面abc 2 解取ab的中点e 连结de pe 由e为ab的中点知de bc ab bc ab de pd 平面abc pd ab 又ab de de pd d ab 平面pde pe ab ped是二面角p ab c的平面角 在 ped中 pde 90 二面角p ab c的正切值为 找二面角的平面角常用的方法有 1 定义法 作棱的垂面 得平面角 2 利用等腰三角形 等边三角形的性质 取中线 知能迁移4如图所示 四棱锥p abcd的底面abcd是直角梯形 pa 平面abcd 且ad bc ad dc adc和 abc均为等腰直角三角形 设pa ad dc a 点e为侧棱pb上一点 且be 2ep 1 求证 平面pcd 平面pad 2 求证 直线pd 平面eac 3 求二面角b ac e的余弦值 1 证明 pa 平面abcd dc 平面abcd dc pa 又 ad dc 且pa与ad是平面pad内两相交直线 dc 平面pad 又 dc 平面pcd 平面pcd 平面pad 2 证明连结bd 设bd与ac相交于点f 连结ef 在等腰直角 adc中 ad dc 又 ad bc acb dac 又 abc为等腰直角三角形 且底面abcd是直角梯形 若 b为直角 则与底面abcd是直角梯形相矛盾 由ad dc a 易知ab ac a bc 2a bc ad且bc 2ad bf 2fd 又 be 2ep pd ef 又 ef 平面eac pd 平面eac 直线pd 平面eac 3 解过点e作eh pa交ab于h点 则eh 平面abcd 又 ab ac ea ac eah为二面角b ac e的平面角 be 2ep 即二面角b ac e的余弦值为 方法与技巧1 证明线面垂直的方法 1 线面垂直的定义 a与 内任何直线都垂直 a 3 判定定理2 a b a b 4 面面平行的性质 a a 5 面面垂直的性质 l a a l a n 思想方法感悟提高 2 证明线线垂直的方法 1 定义 两条直线所成的角为90 2 平面几何中证明线线垂直的方法 3 线面垂直的性质 a b a b 4 线面垂直的性质 a b a b 3 证明面面垂直的方法 1 利用定义 两个平面相交 所成的二面角是直二面角 2 判定定理 a a 4 向量法证明线面平行与垂直也是一种重要的方法 失误与防范1 垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线 若这样的直线图中不存在 则可通过作辅助线来解决 如有平面垂直时 一般要用性质定理 在一个平面内作交线的垂线 使之转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 故熟练掌握 线线垂直 面面垂直 间的转化条件是解决这类问题的关键 2 面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据 我们要作一个平面的一条垂线 通常是先找这个平面的一个垂面 在这个垂面中 作交线的垂线即可 一 选择题1 若l为一条直线 为三个互不重合的平面 给出下面三个命题 l l 其中正确的命题有 a 0个b 1个c 2个d 3个解析对于 与 可能平行 故错 正确 故选c c 定时检测 2 设a b是不同的直线 是不同的平面 则下列四个命题中正确的是 a 若a b a 则b b 若a 则a c 若a 则a d 若a b a b 则 解析a中 b可能在 内 b中 a可能在 内 也可能与 平行或相交 不垂直 c中 a可能在 内 d中 a b a 则b 或b 又b d 3 2009 北京理 4 若正四棱柱abcd a1b1c1d1的底面边长为1 ab1与底面abcd成60 角 则a1c1到底面abcd的距离为 a b 1c d 解析如图所示 直线ab1与底面abcd所成的角为 b1ab 而a1c1到底面abcd的距离为aa1 在rt abb1中 b1b ab tan60 所以aa1 bb1 d 4 已知直线l 平面 直线m 平面 下面有三个命题 l m l m l m 则真命题的个数为 a 0b 1c 2d 3解析如图所示 设面ab1为 面a1c1为 a1d1 a1c1 而a1d1与a1c1相交 故 错 c 5 下面四个命题 直线a 直线b 的充要条件是 a平行于b所在的平面 直线l 平面 内所有直线 的充要条件是 l 平面 直线a b为异面直线 的充分不必要条件是 直线a b不相交 平面 平面 的必要不充分条件是 内存在不共线三点到 的距离相等 其中正确命题的序号是 a b c d 解析a b推不出a平行于b所在的平面 反之也不成立 不正确 由线面垂直的定义知 正确 a b不相交时 a b可能平行 此时a b共面 不正确 当 时 内一定有三个不共线的点到平面 的距离相等 反之 设a b c是 内三个不共线的点 当 过 abc的中位线时 a b c三点到 的距离相等 但此时 相交 正确 答案c 6 2009 浙江理 5 在三棱柱abc a1b1c1中 各棱长相等 侧棱垂直于底面 点d是侧面bb1c1c的中心 则ad与平面bb1c1c所成角的大小是 a 30 b 45 c 60 d 90 解析取bc中点e 连结ae 则ae 平面bcc1b1 故 ade为直线ad与平面bb1c1c所成的角 设各棱长为a 则 ade 60 c 二 填空题7 2008 全国 文 16 已知菱形abcd中 ab 2 a 120 沿对角线bd将 abd折起 使二面角a bd c为120 则点a到 bcd所在平面的距离等于 解析如图所示 取bd中点e 连接ae ce abd bcd均为等腰三角形 ae bd ce bd bd 平面aec aec为二面角a bd c的平面角 aec 120 在平面aec内过a作ce的垂线ah 垂足为h 则h在ce的延长线上 bd 平面aec bd ah 又ah ce ah 平面bcd bad 120 bae 60 又 aeh 60 即点a到 bcd所在平面的距离为 答案 8 将正方形abcd沿对角线bd折起 使平面abd 平面cbd e是cd的中点 则异面直线ae bc所成角的正切值为 解析如图所示 取bd中点o 连结ao oe 则ao bd 平面abd 平面cbd ao 平面bcd oe bc aeo即为ae bc所成的角 设正方形的边长为2 则oe 1 ao tan aeo 9 a b表示直线 表示平面 若 a b a b 则 若a a垂直于 内任意一条直线 则 若 a b 则a b 若a不垂直于平面 则a不可能垂直于平面 内无数条直线 若a b a b 则 上述五个命题中 正确命题的序号是 解析对 可举反例如图 需b 才能推出 对 可举反例说明 当 不与 的交线垂直时 即可得到a b不垂直 对 a只需垂直于 内一条直线便可以垂直 内无数条与之平行的直线 所以只有 是正确的 答案 三 解答题10 四面体abcd中 ac bd e f分别是ad bc的中点 且 bdc 90 求证 bd 平面acd 证明如图所示 取cd的中点g 连接eg fg ef e f分别为ad bc的中点 egac fgbd 又ac bd 在 efg中 eg2 fg2 ac2 ef2 eg fg bd ac 又 bdc 90 即bd cd ac cd c bd 平面acd 11 如图所示 已知 abc是等边三角形 ec 平面abc bd 平面abc 且ec db在平面abc的同侧 m为ea的中点 ce 2bd 求证 1 de da 2 平面bdm 平面eca 3 平面dea 平面eca 证明如图所示 取ac中点n 连