高考数学总复习 10.2 排列与组合课件.ppt

10 2排列与组合要点梳理1 排列 1 排列的定义 从n个的元素中取出m m n 个元素 按照一定的排成一列 叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列 2 排列数的定义 从n个不同的元素中取出m m n 个元素的的个数叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数 用a表示 不同 顺序 所有不同排列 基础知识自主学习 3 排列数公式 a 4 全排列 n个不同的元素全部取出的 叫做n个不同元素的一个全排列 a n n 1 n 2 2 1 于是排列数公式写成阶乘的形式为 这里规定0 2 组合 1 组合的定义 从n个的元素中取出m m n 个元素叫做从n个不同的元素中取出m m n 个元素的一个组合 n n 1 n 2 n m 1 排列 n 1 不同 合成一组 2 组合数的定义 从n个不同的元素中取出m m n 个元素的的个数 叫做从n个不同的元素中取出m m n 个元素的组合数 用c表示 3 组合数的计算公式 由于0 所以c 4 组合数的性质 c c 所有不同组合 1 1 基础自测1 从1 2 3 4 5 6六个数字中 选出一个偶数和两个奇数 组成一个没有重复数字的三位数 这样的三位数共有 a 9个b 24个c 36个d 54个解析选出符合题意的三个数有 9种方法 每三个数可排成 6个三位数 共有9 6 54个符合题意的三位数 d 2 已知 1 2 x 1 2 3 4 5 满足这个关系式的集合x共有 a 2个b 6个c 4个d 8个解析由题意知集合x中的元素1 2必取 另外 从3 4 5中可以不取 取1个 取2个 取3个 故有 8 个 d 3 某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者 若男生甲和女生乙不能同时参加 则不同的选派方案共有 a 25种b 35种c 840种d 820种解析若选男生甲 则有 10种不同的选法 同理 选女生乙也有10种不同的选法 两人都不选有 5种不同的选法 所以共有25种不同的选派方案 a 4 2009 湖南理 5 从10名大学毕业生中选3人担任村长助理 则甲 乙至少有1人入选 而丙没有入选的不同选法的种数为 a 85b 56c 49d 28解析丙不入选的选法有 84 种 甲乙丙都不入选的选法有 35 种 所以甲 乙至少有一人入选 而丙不入选的选法有84 35 49种 c 5 有6个座位连成一排 现有3人就坐 则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 a 36种b 48种c 72种d 96种解析恰有两个空位相邻 相当于两个空位与第三个空位不相邻 先排三个人 然后插空 从而共 72种排法 c 题型一排列问题 例1 有3名男生 4名女生 在下列不同条件下 求不同的排列方法总数 1 选其中5人排成一排 2 排成前后两排 前排3人 后排4人 3 全体排成一排 甲不站排头也不站排尾 4 全体排成一排 女生必须站在一起 5 全体排成一排 男生互不相邻 6 全体排成一排 甲 乙两人中间恰好有3人 题型分类深度剖析 思维启迪无限制条件的排列问题 直接利用排列数公式即可 但要看清是全排列还是选排列 有限制条件的排列问题 常见类型是 在与不在 邻与不邻 问题 可分别用相应方法 解 1 从7个人中选5个人来排列 有 7 6 5 4 3 2520种 2 分两步完成 先选3人排在前排 有种方法 余下4人排在后排 有种方法 故共有 5040种 事实上 本小题即为7人排成一排的全排列 无任何限制条件 3 优先法 方法一甲为特殊元素 先排甲 有5种方法 其余6人有种方法 故共有5 3600种 方法二排头与排尾为特殊位置 排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列 有种方法 中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有种方法 共有 3600种 4 捆绑法 将女生看成一个整体 与3名男生在一起进行全排列 有种方法 再将4名女生进行全排列 也有种方法 故共有 576种 5 插空法 男生不相邻 而女生不作要求 所以应先排女生 有种方法 再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生 有种方法 故共有 1440种 6 把甲 乙及中间3人看作一个整体 第一步先排甲 乙两人有种方法 再从剩下的5人中选3人排到中间 有种方法 最后把甲 乙及中间3人看作一个整体 与剩余2人全排列 有种方法 故共有 720种 探究提高排列问题的本质就是 元素 占 位子 问题 有限制条件的排列问题的限制主要表现在 某些元素 排 或 不排 在哪个位子上 某些元素 相邻 或 不相邻 对于这类问题在分析时 主要按 优先 原则 即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子 知能迁移1用0 1 2 3 4 5这六个数字 可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数 1 奇数 2 偶数 3 大于3125的数 解 1 先排个位 再排首位 共有 144 个 2 以0结尾的四位偶数有个 以2或4结尾的四位偶数有 个 则共有 156 个 3 要比3125大 4 5作千位时有2个 3作千位 2 4 5作百位时有3个 3作千位 1作百位时有2个 所以共有2 162 个 题型二组合问题 例2 12分 男运动员6名 女运动员4名 其中男女队长各1人 选派5人外出比赛 在下列情形中各有多少种选派方法 1 男运动员3名 女运动员2名 2 至少有1名女运动员 3 队长中至少有1人参加 4 既要有队长 又要有女运动员 思维启迪 1 分步 2 可分类也可用间接法 3 可分类也可用间接法 4 分类 解 1 第一步 选3名男运动员 有种选法 第二步 选2名女运动员 有种选法 共有 120种选法 3分 2 方法一至少1名女运动员包括以下几种情况 1女4男 2女3男 3女2男 4女1男 由分类加法计数原理可得总选法数为 246种 6分 方法二 至少1名女运动员 的反面为 全是男运动员 可用间接法求解 从10人中任选5人有种选法 其中全是男运动员的选法有种 所以 至少有1名女运动员 的选法为 246种 6分 3 方法一可分类求解 只有男队长 的选法为 只有女队长 的选法为 男 女队长都入选 的选法为 所以共有2 196种选法 9分 方法二间接法 从10人中任选5人有种选法 其中不选队长的方法有种 所以 至少1名队长 的选法为 196种 9分 4 当有女队长时 其他人任意选 共有种选法 不选女队长时 必选男队长 共有种选法 其中不含女运动员的选法有种 所以不选女队长时的选法共有 种选法 所以既有队长又有女运动员的选法共有 191种 12分 探究提高解组合题时 常遇到 至多 至少 问题 可用直接法分类求解 也可用间接法求解以减少运算量 当限制条件较多时 要恰当分类 逐一满足 知能迁移2在7名男生5名女生中选取5人 分别求符合下列条件的选法总数有多少种 1 a b必须当选 2 a b必不当选 3 a b不全当选 4 至少有2名女生当选 5 选取3名男生和2名女生分别担任班长 体育委员等5种不同的工作 但体育委员必须由男生担任 班长必须由女生担任 解 1 由于a b必须当选 那么从剩下的10人中选取3人即可 有 120种 2 从除去的a b两人的10人中选5人即可 有 252种 3 全部选法有种 a b全当选有种 故a b不全当选有 672种 4 注意到 至少有2名女生 的反面是只有一名女生或没有女生 故可用间接法进行 有 596种选法 5 分三步进行 第一步 选1男1女分别担任两个职务为 第二步 选2男1女补足5人有 种 第三步 为这3人安排工作有 由分步乘法计数原理共有 12600种选法 题型三排列 组合的综合应用 例3 4个不同的球 4个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 恰有1个盒不放球 共有几种放法 2 恰有1个盒内有2个球 共有几种放法 3 恰有2个盒不放球 共有几种放法 把不放球的盒子先拿走 再放球到余下的盒子中并且不空 解 1 为保证 恰有1个盒不放球 先从4个盒子中任意取出去一个 问题转化为 4个球 3个盒子 每个盒子都要放入球 共有几种放法 即把4个球分成2 1 1的三组 然后再从3个盒子中选1个放2个球 其余2个球放在另外2个盒子内 由分步乘法计数原理 共有 144种 思维启迪 2 恰有1个盒内有2个球 即另外3个盒子放2个球 每个盒子至多放1个球 也即另外3个盒子中恰有一个空盒 因此 恰有1个盒内有2个球 与 恰有1个盒不放球 是同一件事 所以共有144种放法 3 确定2个空盒有种方法 4个球放进2个盒子可分成 3 1 2 2 两类 第一类有序不均匀分组有种方法 第二类有序均匀分组有种方法 故共有 84种 探究提高排列 组合综合题目 一般是将符合要求的元素取出 组合 或进行分组 再对取出的元素或分好的组进行排列 其中分组时 要注意 平均分组 与 不平均分组 的差异及分类的标准 知能迁移3已知10件不同产品中有4件是次品 现对它们进行一一测试 直至找出所有4件次品为止 1 若恰在第5次测试 才测试到第一件次品 第十次才找到最后一件次品 则这样的不同测试方法数是多少 2 若恰在第5次测试后 就找出了所有4件次品 则这样的不同测试方法数是多少 解 1 先排前4次测试 只能取正品 有种不同测试方法 再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试 有 种测法 再排余下4件的测试位置 有种测法 所以共有不同排法 103680种 2 第5次测试恰为最后一件次品 另3件在前4次中出现 从而前4次有一件正品出现 所以不同测试方法共有 576种 方法与技巧1 解排列 组合混合题一般是先选元素 后排元素 或充分利用元素的性质进行分类 分步 再利用两个基本原理作最后处理 2 对于较难直接解决的问题则可用间接法 但应做到不重不漏 3 对于选择题要谨慎处理 注意等价答案的不同形式 处理这类选择题可采用排除法分析答案的形式 错误的答案都是犯有重复或遗漏的错误 思想方法感悟提高 4 对于分配问题 解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关 对于平均分组问题更要注意顺序 避免计数的重复或遗漏 失误与防范要注意均匀分组与不均匀分组的区别 均匀分组不要重复计数 一 选择题1 2009 辽宁理 5 从5名男医生 4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队 要求其中男 女医生都有 则不同的组队方案共有 a 70种b 80种c 100种d 140种解析对此问题可分类 男2女1和男1女2 故总共有 70种不同的组队方案 a 定时检测 2 2009 北京理 7 用0到9这10个数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 a 324b 328c 360d 648解析若组成没有重复数字的三位偶数 可分为两种情况 当个位上是0时 共有9 8 72种情况 当个位上是不为0的偶数时 共有4 8 8 256种情况 综上 共有72 256 328种情况 b 3 高三 一 班学生要安排元旦晚会的4个音乐节目 2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序 要求两个舞蹈节目不连排 则不同排法的种数是 a 1800b 3600c 4320d 5040解析4个音乐节目和1个曲艺节目的排列共种 两个舞蹈节目不连排 用插空法 不同的排法种数是 3600 b 4 摄影师要为5名学生和2位老师拍照 要求排成一排 2位老师相邻且不排在两端 不同的排法共有 a 1440种b 960种c 720种d 480种解析2位老师作为一个整体与5名学生排队 相当于6个元素排在6个位置 且老师不排两端 先安排老师 有种排法 5名学生排在剩下的5个位置 有种 所以共有 960种排法 b 5 2009 广东理 7 2010年广州亚运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 a 36种b 12种c 18种d 48种解析小张和小赵选派一人参加有 24种方案 小张和小赵都参加有 12种方案 共有不同的选派方案24 12 36种 a 6 2008年北京奥运会期间 计划将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作 每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为 a 540b 300c 150d 180解析每个场馆至少一名志愿者 相当于将5人分成三组 然后排列 三组的人数分别为3 1 1或2 2 1 这样 分组方法共有种 然后三组进行排列 有种 所以共有 150种方案 c 二 填空题7 某商店要求甲 乙 丙 丁 戊五种不同的商品在货架上排成一排 其中甲 乙两种必须排在一起 而丙 丁两种不能排在一起 不同的排法共有种 解析甲 乙排在一起 用 捆绑 排列 丙丁不排在一起 用插空法 不同的排法共有 24种 24 8 宿舍楼内的走廊一排有8盏灯 为节约用电又不影响照明 要同时熄掉其中3盏 但这3盏灯不能相邻 则不同的熄灯方法种数为 用数字作答 解析可以先将五盏灯排列 然后将3盏将要熄灭的灯分成三组插空 共有20种不同的熄灯方法 20 9 2009 浙江理 16 甲 乙 丙3人站到共有7级的台阶上 若每级台阶最多站2人 同一级台阶上的人不区分站的位置 则不同的站法种数是 用数字作答 解析当每个台阶上各站1人时有种站法 当两个人站在同一个台阶上时有种站法 因此不同的站法种数有 210 126 336 种 336 三 解答题10 某医院有内科医生12名 外科医生8名 现选派5名参加赈灾医疗队 其中 1 某内科医生甲与某外科医生乙必须参加 共有多少种不同选法 2 甲 乙均不能参加 有多少种选法 3 甲 乙两人至少有一人参加 有多少种选法 4 队中至少有一名内科医生和一名外科医生 有几种选法 解 1 只需从其他18人中选3人即可 共有 816 种 2 只需从其他18人中选5人即可 共有 8568 种 3