高中数学 11.2.2第2课时组合的综合应用精品课件同步导学 新人教A版选修23.ppt

第2课时组合的综合应用 1 掌握组合的有关性质 2 能解决有关组合的简单实际问题 3 能解决不限制条件的组合问题 1 实际问题的转化 难点 2 常见的解决组合问题的解题策略 重点 3 分类讨论在解题中的应用 易错点 2011 大纲全国卷 某同学有同样的画册2本 同样的集邮册3本 从中取出4本赠送给4位朋友 每位朋友1本 则不同的赠送方法共有 a 4种b 10种c 18种d 20种 解析 分两种情况 选2本画册 2本集邮册送给4位朋友有c42 6种方法 选1本画册 3本集邮册送给4位朋友有c41 4种方法 所以不同的赠送方法共有6 4 10 种 故选b 答案 b 某人决定投资于8种股票和4种债券 经纪人向他推荐了12种股票和7种债券 问 此人有多少种不同的投资方式 选出的8种股票无顺序之分 选出的4种债券也无顺序之分 因此该题是一个分步完成的组合问题 解题过程 需分两步 第1步 根据经纪人的推荐在12种股票中选8种 共有c128种选法 第2步 根据经纪人的推荐在7种债券中选4种 共有c74种选法 根据分步乘法计数原理 此人有c128 c74 17325种不同的投资方式 题后感悟 解简单的组合应用题时 首先要判断它是不是组合问题 组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关 而组合问题与取出元素的顺序无关 只要元素相同即可 只有当它能构成组合模型 才能运用组合数公式求出其种数 其次要注意两个基本原理的运用 即分类与分步的灵活运用 在分类和分步时 一定注意有无重复或遗漏 1 现有10名大学生 其中男生6名 女生4名 1 现要从中选2名参加会议 有多少种不同的选法 2 现要从中选出男 女大学生各2名去参加会议 有多少种不同的选法 2011 北京高考 用数字2 3组成四位数 且数字2 3至少都出现一次 这样的四位数共有 个 用数字作答 解析 数字2 3至少都出现一次 包括以下情况 2 出现1次 3 出现3次 共可组成c41 4 个 四位数 2 出现2次 3 出现2次 共可组成c42 6 个 四位数 2 出现3次 3 出现1次 共可组成c43 4 个 四位数 综上所述 共可组成14个这样的四位数 答案 14 抗震救灾 众志成城 在我国甘肃舟曲的抗震救灾中 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾 其中这10名医疗专家中有4名是外科专家 问 1 抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种 2 至少有2名外科专家的抽调方法有多少种 3 至多有2名外科专家的抽调方法有多少种 由题目可获取以下主要信息 10人中有4人是外科专家 从10人中选取6人合成一组 恰有 至少 至多 含义不同 本题是组合问题 解答本题应首先分清 恰有 至少 至多 的含义 正确地分类或分步解决 规范解答 1 分步 首先从4名外科专家中任选2名 有c42种选法 再从除外科专家的6人中选取4人 有c64种选法 所以共有c42 c64 90种抽调方法 4分 2 至少 的含义是不低于 有两种解答方法 方法一 直接法 按选取的外科专家的人数分类 选2名外科专家 共有c42 c64种选法 5分 选3名外科专家 共有c43 c63种选法 6分 选4名外科专家 共有c44 c62种选法 7分根据分类加法计数原理 共有c42 c64 c43 c63 c44 c62 185种抽调方法 8分 方法二 间接法 不考虑是否有外科专家 共有c106种选法 考虑选取1名外科专家参加 有c41 c65种选法 没有外科专家参加 有c66种选法 所以共有 c106 c41 c65 c66 185种抽调方法 8分 3 至多2名 包括 没有 有1名 有2名 三种情况 分类解答 没有外科专家参加 有c66种选法 9分 有1名外科专家参加 有c41 c65种选法 有2名外科专家参加 有c42 c64种选法 11分所以共有c66 c41 c65 c42 c64 115种抽调方法 12分 题后感悟 解答有限制条件的组合问题的基本方法 2 某市工商局对35种商品进行抽样检查 鉴定结果有15种假货 现从35种商品中选取3种 试求 1 其中某一种假货必须在内 不同的取法有多少种 2 其中某一种假货不能在内 不同的取法有多少种 3 恰有2种假货在内 不同的取法有多少种 4 至少有2种假货在内 不同的取法有多少种 5 至多有2种假货在内 不同的取法有多少种 4 至少有2种假货 直接法为c152c201 c153 2555种 间接法为c353 c203 c151c202 2555种 5 至多有2种假货 直接法为c203 c202c151 c201c152 6090 种 间接法 c353 c153 6090 种 2011 湖北高考 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色 当n 4时 在所有不同的着色方案中 黑色正方形互不相邻的着色方案如图所示 由此推断 当n 6时 黑色正方形互不相邻的着色方案共有 种 至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有 种 结果用数值表示 解析 1 以黑色正方形的个数分类 若有3个黑色正方形 则有c43 4种 若有2个黑色正方形 则有c52 10 种 若有1个黑色正方形 则有c61 6 种 若无黑色正方形 则有1种 共4 10 6 1 21 种 2 方法一 至少有2个黑色正方形相邻包括有2个黑色正方形相邻 有3个黑色正方形相邻 有4个黑色正方形相邻 有5个黑色正方形相邻 有6个黑色正方形相邻 只有2个黑色正方形相邻 有a32 a42 c51 23 种 只有3个黑色正方形相邻 有c21 a32 c41 12 种 只有4个黑色正方形相邻 有c21 c31 5 种 只有5个黑色正方形相邻 有c21 2 种 有6个黑色正方形相邻 有1 种 共23 12 5 2 1 43 种 方法二 所有着色情况共有26 64种 又由上知互不相邻的着色方案有21种 故至少有两个相邻的着色方案共有64 21 43种 答案 2143 1 以正方体的顶点为顶点 可以确定多少个四面体 2 以正方体的顶点为顶点 可以确定多少个四棱锥 因为四面体的任一个面都可以作三棱锥的底面 所以第 1 题应采用间接法求解 计算共面四点组的个数时要考虑周密 第 2 题应先确定底面 再选顶点 关键仍在于确定共面四点组的个数 解题过程 1 正方体8个顶点可构成c84个四点组 其中共面的四点组是正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点 故可确定四面体c84 12 58 个 2 由 1 知 正方体共面的四点组有12个 以这每一个四点组构成的四边形为底面 以其余的四个点中任一点为顶点都可以确定一个四棱锥 故可以确定四棱锥12c41 48 个 题后感悟 解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样 只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可 计算时可用直接法 也可用间接法 要注意在限制条件较多的情况下 需要分类计算符合题意的组合数 3 1 四面体的一个顶点为a 从其他顶点和各棱中点中取3个点 使它们和点a在同一平面上 有多少种不同的取法 2 四面体的顶点和各棱中点共10个点 在其中取4个不共面的点 有多少种不同的取法 解析 1 直接法 如图 含顶点a的四面体的3个面上 除点a外都有5个点 从中取出3点必与点a共面共有3c53种取法 含顶点a的三条棱上各有三个点 它们与所对的棱的中点共面 共有3种取法 根据分类计数原理 与顶点a共面三点的取法有3c53 3 33种 2 间接法 如图 从10个点中取4个点的取法有c104种 除去4点共面的取法种数可以得到结果 从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面 有4c64 60 种 四面体的每一棱上3点与相对棱中点共面 共有6种共面情况 从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形 对棱中点连线两两相交且互相平分 故4点不共面的取法为 c104 60 6 3 141 种 1 解组合应用题的总体思路 1 考查顺序区别排列与组合的重要标志是 有序 与 无序 无序问题用组合解答 有序问题属排列问题 2 整体分类对事件进行整体分类 从集合的意义讲 分类要做到各类的并集等于全集 计算结果时 使用分类计数原理 3 局部分步整体分类以后 对每一类进行局部分步 分步要做到步骤连续且独立 计算每一类相应结果时使用分步计数原理 4 辨证地看待 元素 与 位置 排列 组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准 哪些事件看成元素或位置 随解题者的思维方式的变化而变化 要视具体情况而定 有时 元素选位置 问题解决得简捷 有时 位置选元素 效果会更好 2 组合常见问题及对策 1 无条件限制的组合应用题 其解题步骤 判断 转化 求值 作答 2 有限制条件的组合应用题 含 与 不含 问题 其解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置 一般来讲 特殊要先满足 其余则 一视同仁 若正面入手不易 则从反面入手 寻找问题的突破口 即采用排除法 解题时要注意分清 有且仅有 至多 至少 全是 都不是 不都是 等词语的确切含义 准确把握分类标准 至多 与 至少 问题这类问题通常采用排除法 也可以用直接法 几何中的计算问题在处理几何问题中的组合应用问题时 应先明确几何中的点 线 面及构型 明确平面图形和立体图形中的点 线 面之间的关系 将几何问题抽象成组合问题来解决 数学研究学习小组共有13名学生 其中男生8人 女生5人 从这13人里选出3个人准备做报告 在选出的3个人中 至少要有1名女生 一共有多少种选法 错解 先选1名女生 有c51种方法 再从剩下的12个人中选出2名 有c122种方法 共有c51 c122 330种不同的选法 错因 错因是上述解法中有重复计数 不妨设g1 g2 g5表示5名女生 b1 b2 b8表示8名男生 1 先选1名女生是g1 然后任选的2人是g2 b1 2 先选1名女生是g2 然后任选的2人是g1 b1 显然这是与 1 相同的选法 对元素有 至少 或 至多 限制的组合应用题用直接法和间接法都可以 直接法根据条件分类列举 有时会分类过多 间接法用 没有限定条件 的总数减去 不符合条件 的种数 以免造成重复