排队论 排队规则与系统数量指标；马尔科夫排队模型.doc

10 排队论1、简答（1） 排队规则与系统数量指标；（2）马尔科夫排队模型；（3）稳定状态流平衡原则。答：（1）排队规则,当顾客到达时，如所有服务台都被占用且又允许排队，则该顾客进入队列等待。服务台对顾客进行的服务所遵循的规则通常有：先到先服务（FIFO）、后到先服务（LIFO）、有优先权的服务（SWPy）和随机服务（SIRO）系统数量指标包括：1系统中顾客数量的概率分布（Pn）2系统中顾客数量期望值（系统状态，L）3队列中顾客数量期望值（队长，Lq）4顾客在系统中的平均逗留时间（W）5顾客的平均等待时间（Wq）（2）马尔科夫排队模型即为具有唯一性、独立性、平稳性的最简单流。就是指在这一时间段里有个顾客到达服务系统的概率服从泊松分布，而系统的概率分布处于负指数分布。 （3）所谓稳定状态流平衡原则就是在稳定状态下，流入任意一个结点的流量等于流出该结点的流量。 2、绘制各排队系统的状态转移图（1）；（2）；（3）。解：（1）此系统模型有2个服务台，系统容量为4，其状态转移图为34021（2）此系统模型有3个服务台，系统容量为3，其状态转移图为3021（3）此系统模型有1个服务台，系统容量为3，顾客总体为3，其状态转移图为30213、服务亭只有一名服务员，顾客按泊松分布到达，平均每小时4人；服务时间服从负指数分布，平均每人6分钟。求：（1）系统空闲的概率；（2）有3名顾客的概率；（3）至少有1名顾客的概率；（4）平均的顾客数； （5）平均逗留的时间； （6）平均等待的顾客数；（7）平均的等待时间；（8）顾客逗留15分钟以上的概率。解：将此系统抽象为M/M/1模型 ：=4 =60/6=10(1) 繁忙率 故系统空闲的概率 （2） =0.096 有3名顾客的概率为0.0384（3）至少有1名顾客的概率（4）平均的顾客数（人） （5）平均逗留的时间（小时）=10分钟（6）平均等待的顾客数=0.40.67=0.268(人)（7）平均的等待时间=0.41/6=0.067(小时)（8）顾客逗留15分钟以上的概率4、一个美发厅有两把椅子和两名美发师，没有顾客等待的位置。顾客的到达服从泊松分布，平均每小时6人。当顾客到达时，如果有空位置就进入，如果没有空位置就离开。美发时间服从负指数分布，平均每人15分钟。试回答下列各问：（2） 建立状态转移图和稳定状态流平衡方程；（3） 求解稳定状态流平衡方程，确定系统概率分布；（4） 计算美发师平均繁忙率；（5） 计算平均每小时丢失的顾客数；（6） 如果增加2个顾客等待的位置，上述各问将发生怎样的变化。解：该系统可记为M/M/2/2,其中 状态转移图如下 ： 021稳定状态流平衡方程：（2）由稳定状态流平衡方程解的： 在这里 得：=0.2759所以=0.4138 =0.3103(3)美发师平均繁忙率:=0.7241(4)平均每小时丢失的顾客数 =0.3103(5)如果增加2个顾客等待的位置,则系统可记为M/M/2/4状态转移图： 34021稳定状态流平衡方程：由稳定状态流平衡方程解的： 有正规方程知：=0.19所以：=0.285 =0.214 =0.16 =0.12美发师平均繁忙率:=0.81平均每小时丢失的顾客数 =0.125、级市场的停车场有100个停车位，假设汽车的到达服从泊松分布，平均每小时辆，到达的汽车如果没有停车位将自动离开。人们采购的时间服从负指数分布，平均小时，试回答下列各问：a) 代表此问题的排队模型；b) 求解稳定状态流平衡方程，确定系统概率分布；c) 以此问题为背景解释、。6、一个美发厅有一名美发师，顾客的到达服从泊松分布，平均每小时4人。当系统中已有（）名顾客时，新到达的顾客将有一部分不愿意等待而离开，离开的概率为。美发时间服从负指数分布，平均每人15分钟。试回答下列各问：d) 建立状态转移图和稳定状态流平衡方程；e) 求解稳定状态流平衡方程，确定系统概率分布；f) 计算顾客在系统中的平均逗留时间。7、一名机工负责5台机器的维修，已知每台机器的平均故障率为每小时0.5次，服从泊松分布。机器的维修时间服从负指数分布，平均每台20分钟。试回答下列各问：g) 全部机器均处于运行状态的概率；h) 平均等待维修的机器数量；i) 若希望机器至少有50%以上的时间处于运转状态，该机工最多负责维修的机器数量；j) 若机工每小时的工资为8元，每台机器每小时的停工损失为40元，试确定该机工最佳负责维修的机器数量。解：该系统可记为M/M/1/5/5,其中 043215由上图建立稳定状态流平衡方程： 求解这些方程：又 故： 又由正规方程知：故（1）全部机器均处于运行状态的概率为=0.0056(2) 平均等待维修的机器数量 =1.4612-1+0.36=0.82128、办理某项业务需要经过4道手续，每一道手续所需的时间服从负指数分布，平均为1小时；顾客按泊松分布到达，平均到达率为每小时0.15人。试问顾客办理该项业务的期望时间是多少小时？解：设为平均服务率，那么就是每个顾客的平均服务时间，而即是平均每道手续所需要的时间。依题意可知：，（即） 于是：（人）（小时）即顾客办理该项业务的期望时间是7.75小时.9、某排队系统的顾客分为三个不同的优先级，当具有较高优先级的顾客到达时，服务台将停止对较低优先级顾客的服务转向对高优先级顾客的服务。同一优先级的顾客按先到先服务的规则接受服务。已知各优先级顾客的到达均服从泊松分布，第一优先级顾客的到达率为每小时0.25人，第二优先级顾客的到达率为每小时0.50人，第三优先级顾客的到达率为每小时0.75人；服务台对各优先级顾客的服务时间均服从负指数分布，其平均时间分别为0.8小时、0.3小时和0.2小时。试求各类顾客在系统中的平均数量和平均逗留时间。10某工作室使用10台相同的设备，当设备运行时每台每小时可获纯利40元。每台设备平均8小时出现