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第二讲点 直线和平面的投影 2 3点的投影 2 4直线的投影 2 5平面的投影 1 一 点在三投影面体系中的投影 2 3点的投影 返回 二 点的三面投影和直角坐标的关系 三 两点的相对位置 2 a a a A ax az ay 点的正面投影 a b c 点的水平投影 a b c 点的侧面投影 a b c 一 点在三投影面体系中的投影 1 点的三面投影 与坐标轴交点 ax ay az bx by bz 表示方法 3 H a a a V W X O Z YW YH 2 点的三面投影的展开 4 1 点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴 aa OX 2 点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴 aa OZ 3 点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离 aax a az 3 点的投影规律 5 Z YH X YW O a a a 已知点A的正面投影a 和水平投影a 求其侧面投影a 例 1 a a OX 2 a a OZ 3 aax a az 返回 6 二 点的三面投影与直角坐标的关系对照下图试分析点的每一个投影能反映该点三个坐标中的几个坐标 结论 任给点的两个投影 均能反映点的三个坐标 两个坐标 7 xA zA xA yA yA zA 1 点的坐标 XA Oax Aa A点到W投影面的距离YA Oay Aa A点到V投影面的距离ZA Oaz Aa A点到H投影面的距离 2 点的投影 点的坐标还表示了点到投影面的距离 8 例 已知点的两个投影 求第三投影 a a ax az az 解法一 通过作45 线使a az aax 解法二 用分规直接量取a az aax 9 例1 已知点A 30 15 25 求作A点的三面投影 1 在X Y Z轴上量取30 15和25 得ax ayh ayw和az点 作图步骤 2 过ax ayh ayw和az点作A点投影的连线 3 各连线的交点即为所求 10 思考 点A 30 15 0 B 30 0 25 C 0 15 25 的位置 结论 点的三个坐标中有一个为0说明点在投影面上 在V面上 Y坐标为0在H面上 Z坐标为0在W面上 X坐标为0 11 例2 已知B 40 30 0 作出B点的三面投影 注意 B点的侧面投影b 应在Yw轴上 而不应画在Yh轴上 练习 12 思考 点A 30 0 0 B 0 0 25 C 0 15 0 的位置 结论 点的三个坐标中有2个为0说明点在投影轴上 在x轴上x坐标为0 z坐标为0在y轴上x坐标为0 y坐标为0在z轴上y坐标为0 z坐标为0 思考 点A 0 0 0 的位置 与坐标原点重合 13 一般位置点 特殊位置点 返回 14 两点间的相对位置是指空间两点之间的上下 左右和前后的位置关系 试判别图中A B两点的相对位置 三 两点的相对位置 位置关系演示 A点在B点之上方 后方 右方 15 结论 两点中X值大的点 在左两点中Y值大的点 在前两点中Z值大的点 在上 上 下 左 右 后 前 后 前 后 前 返回 16 对H面的重影点 对V面的重影点 当空间两点在某一投影面上的投影重合成一点时称为对该投影面的重影点 重影点及其可见性 思考 重影的两点其坐标有何特点 哪两个坐标相等 重影点坐标中有两个相等 如何判断点的可见性 演示 17 判别重影点的可见性 可通过两重影点的不相等的坐标来判别 一定是坐标大的点挡住坐标小的点 坐标大的可见 表示方法 判别后要将不可见投影用括号括住表示该点投影的字母 返回 18 已知A点在B点之前5毫米 之上9毫米 之右8毫米 求A点的投影 5 8 9 例 19 例 已知点A 40 15 30 求作A点的直观图 作图步骤 20 小结 1 a a OX 2 a a OZ 3 aax a az 1 点的投影规律 3 两点的相对位置 两点中X值大的点 在左两点中Y值大的点 在前两点中Z值大的点 在上 判断点的可见性 坐标大的可见 不可见投影用 括住 返回 21 2 4直线的投影 一 直线的投影 二 各种位置直线的投影特性 三 直线上的点的投影 四 两直线的相对位置 22 直线的投影一般情况下仍为直线 特殊情况下为一点 一 直线的投影 23 一 直线的投影 直线上两点同面投影的连线可确定直线的投影 24 特殊位置直线 一 投影面平行线 二 投影面垂直线 水平线 水平面 正平线 正平面 侧平线 侧平面 铅垂线 水平面 正垂线 正平面 侧垂线 侧平面 直线对投影面的相对位置分类 三 一般位置直线 与三个投影面均倾斜的直线 25 一 投影面平行线 水平线 投影特性 1 a b OX a b OY2 ab AB 26 一 投影面平行线 正平线 投影特性 1 ab OX a b OZ2 a b AB 27 一 投影面平行线 侧平线 投影特性 1 a b OZ ab OY2 a b AB 28 投影面平行线的投影特性 1 在与其平行的投影面上的投影反映实长 2 另两投影长度缩短 且分别平行与相应的投影轴 小结 29 怎样判断平行线的名称 看反映实长的投影在哪个面上 水平线 正平线 侧平线 30 a b 投影特性 1 ab积聚成一点2 a b OX a b OY3 a b a b AB 二 投影面垂直线 铅垂线 31 二 投影面垂直线 正垂线 投影特性 1 a b 积聚成一点2 ab OX a b OZ3 ab a b AB H W 32 二 投影面垂直线 侧垂线 投影特性 1 a b 积聚成一点2 ab OY a b OZ3 ab a b AB H W 33 投影面垂直线的投影特性 在与其垂直的投影面上的投影积聚成一点 另两投影显实长 且分别垂直于相应的投影轴 H W 小结 34 怎样判断垂直线的名称 看聚成点的投影在哪个面上 铅垂线 正垂线 侧垂线 35 例 判断图中各直线的空间位置 36 例 试分析立体表面上各线段的空间位置 37 三 一般位置直线的投影特性 直线的三个投影均为长度缩短的直线 38 1 点在线上 则点的投影必在直线的同面投影上 AC CB ac cb a c c b a c c b 2 点分线段成定比 其空间比等于投影比 四 直线上点的投影 39 AC CB ac cb a c c b 2 1 例1已知线段AB的投影图 试将AB分成AC CB 2 1两段 求分点C的投影 40 例2已知点C在线段AB上 求点C的正面投影 41 一 平行两直线 二 相交两直线 三 交叉两直线 异面直线 两直线相对位置的投影规律 两直线相对位置的判别方法 五 两直线的相对位置 42 1 平行两直线的同面投影仍然平行 2 平行两直线在投影后 长度比保持不变 一 平行两直线 平行两直线投影特性 43 若两直线的各同面投影均互相平行 则它们空间平行 若为一般位置直线 由两面投影互相平行即可判断两直线空间平行 判别 44 相交两直线的同面投影必相交 且交点的投影符合点的投影规律 k k K 二 相交两直线 45 若两直线的各同面投影均相交 且交点的投影符合点的投影规律 则两直线空间相交 若两直线均为一般位置直线 且两面投影满足上述条件 即可判断两直线空间相交 判别 若两直线的同面投影相交 但交点的投影不符合点的投影规律 则不是相交的空间两直线 46 交叉两直线的同面投影中 可能有一组或两组同面投影互相平行 但它们的第三组同面投影是不平行的 同理 交叉两直线的同面投影中 可能有一组 两组或三组同面投影相交 但它们的交点不符合点的投影规律 三 交叉两直线 47 结论 空间直线AB和CD是两交叉直线 例1 判断空间两直线AB CD的相对位置 48 例2判断空间两直线AB CD的相对位置 1 1 d 1 c 结论 直线AB CD是两交叉直线 49 判断两直线重影点的可见性 3 4 3 4 1 2 12 例 50 空间两直线互相垂直 若其中有一条直线平行于某投影面 则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直 若两直线的某面投影互相垂直 且其中一条平行于该投影面 则两直线空间互相垂直 六 垂直相交两直线的投影 直角投影定理 51 交叉垂直的两直线的投影 52 X a b c b c d d 例1已知长方形ABCD中BC边的两投影 AB边的正面投影 a b OX 求作长方形的两投影 53 f f e e 例2求直线AB和CD间的最短距离 54 e e L f ZFE c c 例3已知菱形ABCD的对角线AB的两投影 另一对角线CD长为2L 且知其正面投影的方向 求作菱形的两投影 55 一 平面的投影二 各种位置平面的投影特性三 平面上的点和直线 2 5平面的投影 返回 56 平面的表示法 各种形式可相互转换 一 平面的投影 1 2 3 4 5 57 投影面平行面 投影面垂直面 特殊位置平面 水平面 H面 正平面 V面 侧平面 W面 铅垂面 H面 正垂面 V面 侧垂面 W面 一般位置平面 二 各种位置面的投影 58 PH 投影特性 1 abc积聚为一条线 2 a b c a b c 为 ABC的类似形 3 abc与OX OYH的夹角反映 角的真实大小 一 投影面垂直面 铅垂面 59 QV 投影特性 1 a b c 积聚为一条线 2 abc a b c 为 ABC的类似形 3 a b c 与OX OZ的夹角反映 角的真实大小 一 投影面垂直面 正垂面 60 一 投影面垂直面 侧垂面 投影特性 1 a b c 积聚为一条线 2 abc a b c 为 ABC的类似形 3 a b c 与OZ OYw的夹角反映 角的实大小 61 投影面垂直面的投影特性 QV 在所垂直的投影面上的投影积聚为直线 其积聚性投影与投影轴的夹角反映了平面对另两投影面的真实倾角 2 另两投影为缩小的类似形 62 二 投影面平行面 水平面 投影特性 1 水平投影abc反映 ABC实形 2 a b c a b c 积聚为直线 且分别平行于OX和OYW轴 63 二 投影面平行面 正平面 投影特性 1 正面投影a b c 反映 ABC实形 2 abc a b c 积聚为直线 且分别平行于OX和OZ轴 64 二 投影面平行面 侧平面 投影特性 1 侧面投影a b c 反映 ABC实形 2 abc a b c 积聚为直线 且分别平行于OYH和OZ轴 65 投影面平行面的投影特性 1 在所平行的投影面上的投影反映实形 2 另两投影积聚为直线 且分别平行于相应的投影轴 66 三 一般位置平面 投影特性 1 三个投影均为缩小的类似形 2 各投影都不反映实形与倾角 67 例1过点A作铅垂面 使 30 b c 例2过直线AB作正垂面 c c 68 P 1 直线和点在平面上的几何条件 1 直线过平面上两点 2 直线过平面上一点且平行于平面内任意直线 3 点在平面内的任意直线上 三 平面上的点和直线 69 2 在平面上取点和直线 已知平面的投影和其上点或直线的一个投影 根据它们的从属关系 求出点或直线的未知投影 Q 70 例1已知 ABC给定一平面 试判断点D是否属于该平面 e e 71 例2已知点