高二数学下学期期中试卷 文（含解析）1.doc

2015-2016学年北京市清华附中等三校联考高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。）1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，4，则U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D42下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|3用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A假设a，b，c不都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至多有两个是偶数4“a2”是“对数函数f（x）=logax为增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5函数f（x）=的值域为（）A（e，+）B（，e）C（，e）D（e，+）6设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）AbacBcabCcbaDacb7若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A1B1C7D78函数y=f（x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到n（n2）个不同的数x1，x2，xn，使得=，则n的取值范围为（）A2，3B2，3，4C3，4D3，4，59已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x0，2时，则函数y=f（x）在2，4上的大致图象是（）ABCD10加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11 =_12已知函数f（x）=4x+（x0，a0）在x=3时取得最小值，则a=_13观察下列不等式：=1，=，=，=3， =，依此规律，第n个等式为_14若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是_15已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=x24x，那么当x0时，f（x）=_，不等式f（x+2）5的解集是_16在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，对称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N边界上的格点数记为L例如图中ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4（1）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是_（2）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N=17，L=10，则S=_（用数值作答）三、解答题（共4小题，满分50分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B（1）求集合A，B；（2）若AB，求实数a的取值范围18已知函数f（x）=x2bx+c，f（x）的对称轴为x=1且f（0）=1（1）求b，c的值；（2）当x0，3时，求f（x）的取值范围（3）若不等式f（log2k）f（2）成立，求实数k的取值范围19已知函数f（x）=x3（aR）（）若a=1，求函数f（x）在0，2上的最大值；（）若对任意x（0，+），有f（x）0恒成立，求a的取值范围20已知函数f（x）=x+lnx，aR（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若f（x）在区间（1，4）内单调递增，求a的取值范围；（3）讨论函数g（x）=f（x）x的零点个数2015-2016学年北京市清华附中等三校联考高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。）1已知全集U=1，2，3，4，集合A=1，2，B=2，4，则U（AB）=（）A1，3，4B3，4C3D4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】由A与B求出两集合的并集，根据全集U，求出并集的补集即可【解答】解：A=1，2，B=2，4，AB=1，2，4，全集U=1，2，3，4，U（AB）=3故选：C2下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ay=By=exCy=x2+1Dy=lg|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，可得结论【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+）上单调递减，D在区间（0，+）上单调递增，故选：C3用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A假设a，b，c不都是偶数B假设a，b，c都不是偶数C假设a，b，c至多有一个是偶数D假设a，b，c至多有两个是偶数【考点】反证法与放缩法【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B4“a2”是“对数函数f（x）=logax为增函数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据对数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可【解答】解：若对数函数f（x）=logax为增函数，则a1，则a2是a1的充分不必要条件，故选：A5函数f（x）=的值域为（）A（e，+）B（，e）C（，e）D（e，+）【考点】分段函数的应用【分析】分段求出函数值得范围，即可得到函数的值域【解答】解：x1时，0；x1是，0exe，函数f（x）=的值域为（，e）故选：B6设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（）AbacBcabCcbaDacb【考点】对数值大小的比较【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小【解答】解：1log372，b=21.12，c=0.83.11，则cab，故选：B7若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A1B1C7D7【考点】简单线性规划【分析】先画出满足条件的平面区域，由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线y=2x+z过A时z最大，得到关于k的不等式，解出即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（k，k+3），由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线y=2x+z过A（k，k+3）时，z最大，故2k+k+3=6，解得：k=1，故选：B8函数y=f（x）的图象如图所示，在区间a，b上可找到n（n2）个不同的数x1，x2，xn，使得=，则n的取值范围为（）A2，3B2，3，4C3，4D3，4，5【考点】直线的斜率【分析】由表示（x，f（x）点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案【解答】解：令y=f（x），y=kx，作直线y=kx，可以得出2，3，4个交点，故k=（x0）可分别有2，3，4个解故n的取值范围为2，3，4故选B9已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x0，2时，则函数y=f（x）在2，4上的大致图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由题意求出函数f（x）在2，4上的解析式，问题得以解决【解答】解：f（x+2）=2f（x），f（x）=2f（x2），设x2，4，则x20，2，f（x）=，当x2，3），f（x）=2x4，图象为过（2，0），（3，2）的直线的一部分，当x（3，4，f（x）=2x2+12x16，图象过点（3，2），（4，0）的抛物线的一部分，故选：A10加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A3.50分钟B3.75分钟C4.00分钟D4.25分钟【考点】二次函数的性质【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，解得a=0.2，b=1.5，c=2，p=0.2t2+1.5t2，对称轴为t=3.75故选：B二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11 =【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =故答案为：1+12已知函数f（x）=4x+（x0，a0）在x=3时取得最小值，则a=36【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】由题设函数在x=3时取得最小值，可得 f（3）=0，解此方程即可得出a的值【解答】解：由题设函数在x=3时取得最小值，x（0，+），得x=3必定是函数的极值点，f（3）=0，f（x）=4，即4=0，解得a=36故答案为：3613观察下列不等式：=1，=，=，=3， =，依此规律，第n个等式为=【考点】进行简单的合情推理【分析】由条件利用归纳推理，得出一般性的结论【解答】解：观察下列不等式： =1=， =， =， =3=， =，依此规律，可得第n个等式为=，故答案为： =14若变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是6【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大由，得，即A（2，2），此时z的最大值为z=2+22=6，故答案为：615已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=x24x，那么当x0时，f（x）=x2+4x，不等式f（x+2）5的解集是（7，3）【考点】函数单调性的性质【分析】根据函数偶函数的性质，利用对称性即可得到结论【解答】解：若x0，则x0，当x0时，f（x）=x24x，当x0时，f（x）=x2+4x，f（x）是定义域为R的偶函数，f（x）=x2+4x=f（x），即当x0时，f（x）=x2+4x，当x0时，由f（x）=x24x=5，解得x=5或x=1（舍去），则根据对称性可得，当x0时，f（5）=5，作出函数f（x）的图象如图：则不等式f（x+2）5等价为5x+25，即7x3，则不等式的解集为（7，3），故答案为：x2+4x，（7，3），16在平面直角坐标系中，若点P（x，y）的坐标x，y均为整数，对称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N边界上的格点数记为L例如图中ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4（1）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是3，1，6（2）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数，若某格点多边形对应的N=17，L=10，则S=79（用数值作答）【考点】向量的物理背景与概念；平面向量的基本定理及其意义【分析】（1）利用新定义，观察图形，即可求得结论；（2）根据格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG，建立方程组，求出a，b，c即可求得对应S值【解答】解：（1）观察图形，可得四边形的面积为S=21+22=3，四边形内的点为N=1，边界上的点为L=6；（2）不妨设某个格点四边形由两个小正方形组成，此时S=2，N=0，L=6；格点多边形的面积S=aN+bL+c，结合图中的格点三角形ABC及格点四边形DEFG可得，解得，S=N+L1；将N=71，L=18代入可得S=71+181=79故答案为：（1）3，1，6；（2）79三、解答题（共4小题，满分50分.解答时需写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17已知函数f（x）=lg的定义域为集合A，函数g（x）=的定义域为集合B（1）求集合A，B；（2）若AB，求实数a的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法【分析】（1）根据对数、二次根式有意义的条件求集合A，B；（2）若AB，建立不等式求实数a的取值范围【解答】解：（1）由0，可得1x2，A=x|1x2；由2xa0，可得x，B=x|x；（2）AB，1，a218已知函数f（x）=x2bx+c，f（x）的对称轴为x=1且f（0）=1（1）求b，c的值；（2）当x0，3时，求f（x）的取值范围（3）若不等式f（log2k）f（2）成立，求实数k的取值范围【考点】二次函数的性质【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可；（2）求出二次函数的表达式，配方，根据函数的单调性求出函数的值域；（3）利用二次函数的图象可得出log2k2或log2k0，根据对数函数求解【解答】解：（1）f（x）的对称轴为x=1且f（0）=1，=1，f（0）=c=1，b=2，c=1；（2）由（1）得：f（x）=x22x1=（x1）22，x0，3时，最小值为2，最大值为f（3）=2，f（x）的取值范围为2，2；（3）f（log2k）f（2）=1，log2k2或log2k0，k4或0k119已知函数f（x）=x3（aR）（）若a=1，求函数f（x）在0，2上的最大值；（）若对任意x（0，+），有f（x）0恒成立，求a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）a=1时写出f（x），求出f（x），解方程f（x）=0，列出当x变化时f（x）、f（x）的变化表，由表格可得函数在0，2上的最大值；（）对任意x（0，+），有f（x）0恒成立，等价于f（x）min0，分a0，a=0，a0三种情况进行讨论，利用导数即可求得f（x）在（0，+）上的最小值，然后解不等式f（x）min0可得a的范围；【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x+，f（x）=x21，令f（x）=0，得x1=1，x2=1，列表：x0（0，1）1（1，2）2f（x）10+3f（x）当x0，2时，f（x）最大值为f（2）=（）f（x）=x2a2=（xa）（x+a），令f（x）=0，得x1=a，x2=a，若a0，在（0，a）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（a，+）上，f（x）0，f（x）单调递增所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）=a（），因为a0，0，所以f（a）=a（）0所以当a0时，对任意x（0，+），f（x）0不成立；若a=0，f（x）=x20，所以f（x）在（0，+）上是增函数，所以当a=0时，有f（x）f（0）=0；若a0，在（0，a）上，f（x）0，f（x）单调递减，在（a，+）上，f（x）0，f（x）单调递增所以，f（x）在x=a时取得最小值f（a）=a（），令f（a）=a（）0，由a0，得0，0a， 所以当0a时，对任意x0，f（x）0都成立综上，a的取值范围是0，20已知函数f（x）=x+lnx，aR（1）当a=1