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3.3.2 利用导数研究函数的极值课堂导学三点剖析一、求函数极值【例1】 确定函数f(x)=在区间-2,2上的单调性并求f(x)在区间-2,2上的极大值、极小值、最大值和最小值.解析：由已知得f(x)=,令f(x)=0,解得x=-1或x=1.列出下表：x-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,2)2f(x)-0+0-f(x)极小值极大值由表可知：f(x)的极小值是f(-1)=;极大值是f(1)=.又f(-2)=-,f(2)=,f(x)在区间-2,2上的最大值是，最小值是-.温馨提示即函数f(x)=的定义域为R.又=0,f(x)在R上的最大值与最小值还分别为和-.又f(0)=0,函数f(x)= 在R上的值域为-,.二、极值的应用【例2】 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值，并求出f(x)的极值.思路分析：先利用极值点是导函数对应方程的根，以及极值点的两个坐标满足函数关系式列出方程组，即可求出a、b的值，再求函数f(x)的单调区间.解：由已知，得f(1)=1-3a+2b=-1,又f(x)=3x2-6ax+2bf(1)=3-6a+2b=0由得a=,b=-.故函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.由此得f(x)=3x2-2x-1,由二次函数的性质，当x1时，f(x)0；当-x1时，f(x)0,得x;由f(x)0,得-1x0，解得a2.变式提升2如果函数f(x)=ax3+bx2+cx+d满足b2-3ac0时，=4b2-12ac0恒成立，f(x)在(-,+)内单调递增.f(x)无极值.当a0时，=4b2-12ac0f(x)0恒成立，f(x)在(-,+)内单调递减，f(x)无极值.类题演练3设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.试确定常数a和b的值.解：f(x)=+2b+1f(1)=f(2)=0解得f(x)=-lnx-x2+x变式提升3设a0,方程式有两个不相等的实根，记为x1、x2，不妨设x1x2,则有f(x)=a(x-x1)(x-x2),f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(-,x1)x1(x1,x2)x
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