高三数学 4.1《复数的概念》课件 人教版.ppt

第四章数系的扩充 复数 4 1复数的概念 教学目的 1 了解引进复数的必要性 理解并掌握虚数的单位i 2 理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3 理解并掌握复数的有关概念 复数集 代数形式 虚数 纯虚数 实部 虚部 4 理解并掌握复数相等的有关概念 教学重点 复数的概念 虚数单位i 复数的分类 实数 虚数 纯虚数 和复数相等等概念是本节课的教学重点 复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用 教学难点 虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点 复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后 自然地得出的 在规定i的第二条性质时 原有的加 乘运算律仍然成立 授课类型 新授课 一 复数的概念 数的概念是从实践中产生和发展起来的 随着生产和科学的发展 数的概念也不断的被扩大和充实 从自然数集 整数集 有理数集到实数集的每一次扩充 推动了生产的进一步发展 也使数的理论逐步深化和发展 复数最初是由于解方程的需要产生的 后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展 我们知道 对于实系数一元二次方程ax2 bx c 0 当b2 4ac 0时 没有实数根 那么我们能否将实数集进行扩充 使得在新的数集中 该问题可以得到圆满的解决呢 回答是肯定的 实际上最根本的问题就是要解决 1的开平方问题 即怎样的一个数 它的平方会等于 1 现在我们就引入这样一个数i 把i叫做虚数单位 并且规定 1 i2 1 2 实数可以与i进行四则运算 在进行四则运算时 原有的加法与乘法的运算率 包括交换率 结合率和分配率 仍然成立 这样就解决了前面所提出的问题 即 1可以开平方 且 1的平方根为 i 形如a bi a b r 的数叫做复数 二 复数集 复数a bi a b r 由两部分组成 实数a与b分别称为复数a bi的实部与虚部 1与i分别是实数单位和虚数单位 当b 0时 a bi就是实数 当b 0时 a bi是虚数 其中a 0且b 0时称为纯虚数 全体复数所成的集合叫做复数集 这样实数集就是复数集的一个子集 它们的关系如下 三 复数相等的定义 根据两个复数相等的定义 设a b c d r 两个复数a bi和c di相等规定为a bi c di 由这个定义得到a bi 0 两个复数不能比较大小 只能由定义判断它们相等或不相等 如果两个复数的实部和虚部分别相等 我们就说这两个复数相等 例1 实数m取什么数值时 复数z m 1 m 1 i是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 解 复数z m 1 m 1 i中 因为m r 所以m 1 m 1都是实数 它们分别是z的实部和虚部 1 m 1时 z是实数 2 m 1时 z是虚数 3 当时 即m 1时 z是纯虚数 例2 已知 2x 1 i y 3 y i 其中x y r 求x y 解 根据复数相等的意义 两个复数相等则实部等于实部 虚部等于虚部 得方程组 解得x y 4 x o 1 你能否找到用来表示复数的几何模型吗 实数可以用数轴上的点来表示 一一对应 规定了正方向 直线 数轴 原点 单位长度 实数 数轴上的点 形 数 几何模型 复数z a bi 有序实数对 a b 直角坐标系中的点z a b x y o b a z a b 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴 实轴 y轴 虚轴 数 形 复数平面 简称复平面 一一对应 z a bi 概念辨析 例题 复数z a bi 有序实数对 a b 直角坐标系中的点z a b x y o b a z a b 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面 x轴 实轴 y轴 虚轴 数 形 复数平面 简称复平面 一一对应 z a bi 概念辨析 例题 实数绝对值的几何意义 能否把绝对值概念推广到复数范围呢 x o a a a oa 实数a在数轴上所对应的点a到原点o的距离 x o z a bi y z oz 复数的绝对值 复数z a bi在复平面上对应的点z a b 到原点的距离 复数的模 的几何意义 z a b 例3求下列复数的模 1 z1 5i 2 z2 3 4i 3 z3 5 5i 3 满足 z 5 z c 的z值有几个 思考 2 满足 z 5 z r 的z值有几个 4 z4 1 mi m r 5 z5 4a 3ai a 0 1 复数的模能否比较大小 这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形 图示 课堂小结 一 数学知识 二 数学思想 1 复数相等 2 复平面 3 复数的模 3 类比思想 2 数形结合思想 1 转化思想 课题 复数的有关概念 a 在复平面内 对应于实数的点都在实轴上 b 在复平面内 对应于纯虚数的点都在虚轴上 c 在复平面内 实轴上的点所对应的复数都是实数 d 在复平面内 虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数 辨析 1 下列命题中的假命题是 d 2 a 0 是 复数a bi a b r 所对应的点在虚轴上 的 a 必要不充分条件 b 充分不必要条件 c 充要条件 d 不充分不必要条件 c 例2已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点位于第二象限 求实数m允许的取值范围 表示复数的点所在象限的问题 复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题 转化 几何问题 代数问题 一种重要的数学思想 数形结合思想 例2已知复数z m2 m 6 m2 m 2 i在复平面内所对应的点位于第二象限 求实数m允许的取值范围 变式 证明对一切m 此复数所对应的