2018-2019学年天津市滨海新区高二上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年天津市滨海新区高二上学期期末数学试题一、单选题1设为虚数单位，则复数（ ）ABCD【答案】A【解析】复数的分子分母同乘分母的共轭复数,化简复数为的形式即可.【详解】,故选:A.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,解答的关键是复数分子分母同乘分母的共轭复数,属于基础题.2命题“，”的否定是（ ）A，B，C，D，【答案】D【解析】根据命题“,”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“改为“”即可得答案【详解】命题“,”是特称命题命题的否定为：,，故选：D【点睛】本题考查的知识点是特称命题，命题的否定，熟练掌握特称命题的否定方法是解答的关键，属于基础题.3若实数、满足条件，则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据题意，结合不等式的性质，依次分析选项，即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，当，时，满足，但，故A错误；对于B，当，时，满足，但，故B错误；对于C，当，时，满足，但，故C错误；对于D，根据在不等式两边乘以个负数不等号改变，即可得成立，故D正确；故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，关键是掌握不等式的性质，属于基础题.4椭圆的焦距为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据椭圆的方程得到的值即可得出焦距.【详解】在椭圆中，即椭圆的焦距为，故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的基本性质，分清及其间的关系是解题的关键，属于基础题.5在等比数列中，若，则数列的前6项和（ ）A130B128C126D62【答案】C【解析】由题意可建立关于公比的方程，解出数列的公比，代入求和公式可得答案【详解】设等比数列的公比为，,，解得，故选：C.【点睛】本题主要考查等等比数列中公比的计算，等比数列前项和公式的应用，属于基础题6已知是虚数单位，若复数是纯虚数的充要条件是（ ）ABCD或【答案】B【解析】根据复数是纯虚数的充要条件为实部为零，虚部不为零列出关于的方程组，解出即可.【详解】复数是纯虚数，解得，故选：B【点睛】本题主要考查了纯虚数的定义，考查了学生的计算能力，属于基础题7如图，四棱锥中，平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD【答案】B【解析】以为坐标原点，分别以，为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，分别求出各点坐标进而求出向量，的坐标，代入向量夹角公式，可得结果【详解】以为坐标原点，分别以，为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，则，则，设异面直线与所成角为，则，故选：B【点睛】本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质及异面直线及其所成的角，解答的关键是建立空间坐标系将空间异面直线夹角问题转化为向量夹角问题8“”是“方程表示椭圆”的（ ）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】求出方程表示椭圆时的取值范围，根据其与的关系即可得结果.【详解】若方程表示椭圆，则满足，即且，此时成立，即必要性成立，当时，满足，但此时方程等价为为圆，不是椭圆，不满足条件即充分性不成立，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，属于中档题.9如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面，水面宽.水下降后（水足够深），水面宽为（ ）ABCD【答案】A【解析】如图所示建立直角坐标系，将点代入抛物线方程求得，得到抛物线方程，再把代入抛物线方程求得进而得到答案【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将代入，得，代入得，故水面宽为故选：A【点睛】本题主要考查抛物线的应用，考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力，属于中档题.10已知，若2是与等比中项，则的最小值为（ ）ABCD3【答案】B【解析】根据2是与的等比中项可得，的等量关系，然后直接利用基本不等式可求的最小值即可【详解】2是与的等比中项，即，结合可得，当且仅当，即，时取等号，即的最小值为，故选：B.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，以及等比中项的概念，同时考查了计算能力，属于中档题.11数列满足，若对，都有，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意将变为，然后利用累加法求出的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的前2018项和即可.【详解】根据题意，数列满足对任意的都有，则，则，则，则，故选：C【点睛】本题考查数列的递推公式和数列的求和，关键是求出数列的通项公式以及利用裂项相消法求数列的前项和，属于中档题12有一凸透镜其剖面图（如图）是由椭圆和双曲线的实线部分组成，已知两曲线有共同焦点、；、分别在左右两部分实线上运动，则周长的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用双曲线的定义可得：，利用椭圆的定义可得，可得周长，进而可得结果.【详解】由双曲线和椭圆的定义可得：，周长，因此周长的最小值为，其中A，B，M三点共线时取等号，故选：B【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题13若（，为虚数单位），则的值为_.【答案】3【解析】利用复数代数形式的加减运算化简，再由复数相等的条件列式求得，的值，则答案可求【详解】由，得，故答案为：3.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础的计算题14不等式的解集为_.【答案】或【解析】因式分解可得，求不等式的解集即可.【详解】不等式，即，解得或，不等式的解集为或，故答案为：或【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法与应用问题，属于基础题15已知，若，则的最大值为_.【答案】9【解析】根据题意，由基本不等式可得，结合题意分析可得答案【详解】根据题意，又由，则，当且仅当时等号成立，则的最大值为9，故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式的性质，关键是掌握基本不等式的变形形式，属于基础题16已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且，则实数_.【答案】-1【解析】由直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，得到，由此能求出的值【详解】直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，解得，故答案为：【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算与求解能力，考查化归与转化思想，是基础题17已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程为，可得，即可求出双曲线的离心率【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，双曲线的离心率是，故答案为：.【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的，和基本关系，属于基础题.18已知关于的不等式的解集为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】根据不等式与对应方程的关系，利用方程的实数根，即可求出的值，代入不等式，当是否为0进行讨论，结合判别式小于0即可得结果.【详解】不等式可化为，不等式的解集为，为方程，即，解得，即对于,不等式恒成立，当时，显然成立，当时，则，解得，综上可得：实数的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的问题，含有参数的一元二次不等式在实数集上恒成立问题，属于中档题.19已知抛物线：的焦点为，是抛物线上一点，的延长线交轴的正半轴于点.交抛物线的准线于点，若为的中点，则_.【答案】【解析】根据题意画出图形，设，则，过作垂直于准线，垂足为A，交轴于点B，结合图形利用三角形相似和抛物线的定义与性质，即可求出的值【详解】抛物线:的焦点为，准线方程为：，根据题意画出图形，如图所示：设，则，过作垂直于准线，垂足为A，交轴于点B，由抛物线的定义知，由，得，即，所以，所以，又，所以，所以,故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形相似等知识的应用问题，属于中档题20给出下列命题：等比数列1，（）的前项和为；等差数列中，若，则该数列的前13项或14项之和最大；若等差数列公差为，则其前项和；若等比数列单调递增的充要条件是首项，且公比；若数列满足，则.其中正确的是_（把你认为正确的命题序号都填上）.【答案】【解析】当时可判断出；在中，由已知条件结合等差数列的性质易得，根据等差数列前项和的性质即可得出结论；在中，利用等差数列的前项和公式和通项公式即可得结果；在中，当，时，等比数列也为递增，可判断；在中，可判断出数列为等差数列，求出其通项公式并判断出其与0的关系，代入即可得结论.【详解】对于，当时，显然不成立；对于，由于,，即，又，该数列的前13项或14项之和最大，故正确；对于，由于，故正确.对于，由于等比数列的通项公式为，故当，时，等比数列也为递增数列，故错误；对于，由于,，数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可得当时，当时，故正确；故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式、性质以及其前项和，属于中档题.三、解答题21已知等差数列满足：，为其前项和，.（）求数列的通项公式、前项和；（）设数列满足，且，求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式.【答案】（），；（）证明见解析，【解析】（）设等差数列公差为，列出关于和的方程组，解出即可得通项公式以及前项和；（）易得，等式两边同时减去1，即可为等比数列，根据等比数列的通项公式可得，进而可得的通项公式.【详解】解:()设等差数列公差为,.,解得:,.()由()知,由,数列是首项为3,公比的等比数列,.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和的计算，等比数列的证明及其通项公式，属于中档题.22如图，长方体中，为棱中点.（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（）证明见解析；（）；（）【解析】依题意,可以建立以为原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向的空间直角坐标系，求出五点坐标，（）通过证明可得出结论；（）求出平面的法向量，根据即可得出结果；（）先得为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，根据即可得出结果.【详解】依题意,可以建立以为原点,分别以,的方向为轴,轴,轴的正方向的空间直角坐标系(如图).,为的中点.,.(),.(),设为平面的法向量,则,即,令,则,所以,又,设直线与平面所成的角为,则,所以直线与平面所成角的正弦值为.()由()知,是长方体,又,平面,则为平面的一个法向量.由()知为平面的一个法向量,所以.所以平面和平面所成的锐二面角的大小为.【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，解决垂直问题，求线面角以及二面角，求角中求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.23已知数列的前项和为，且，数列满足:，.()分别求数列，的通项公式;()若，求数列的前项和;()若对，恒成立，求实数的取值范围.【答案】()，;();()【解析】()根据可求出，代入中可求出;()由()知，利用错位相减法可计算出前项和;()先求出，令，通过判断单调性可得出其最小值，得出不等式，解出即可.【详解】()数列的前项和，时，时，.又时，满足上式，.又，.()由()知，数列的前项和，相减可得:，.()由()知，.不妨记数列，则，时，数列的最小值为.对，恒成立.，化为，解得.所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考差了由递推式求数列的通项公式，利用错位相减法求数列的前项和以及数列的单调性判断和利用最值解决不等式恒成立问题，属于中档题.24设椭圆:的左右焦点分别为，上顶点为.()若.(i)求椭圆的离心率;(ii)设直线与椭圆的另一个交点为，若的面积为，求椭圆的标准方程;()由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形，当时，若以为直角顶点的椭圆的内接等腰直角三角形恰有3个，求实数的取值范围.【答案】()(i);(ii);()【解析】()(i)由勾股定理化简可得，进而可得椭圆的离心率;(ii)易知，故椭圆:，求出直线方程为:，联立直线与椭圆的方程求出点坐标，计算出，则，得到，进而得出椭圆方程;()设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为，设，显然，不与坐标轴平行，且，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式求出，同理得出，化简可得出关于的方程有两个不同的正实根，且都不为1，通过数形结合思想，转化求解即可.【详解】()(i)可知，.(ii)由(i)知，椭圆:，可知直线斜率为1，则直线方程为:，由，得，得，椭圆