《高考风向标》高考数学一轮复习 第十章 第3讲 数学归纳法精品课件 理.ppt

第3讲数学归纳法1 运用数学归纳法证明命题要分两步 第一步是 第二步是 两步缺一不可 2 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题 其中包括 归纳奠基 或递推基础 归纳递推 或归纳假设 恒等式 不等式 数列通项公式 整除性问题 几何问题等 1 在用数学归纳法证明多边形内角和定理时 第一步应验 证 c a n 1时成立c n 3时成立 b n 2时成立d n 4时成立 解析 多边形至少有三边 a 3 凸n边形有f n 条对角线 则凸n 1边形有对角线数f n 1 为 c a f n n 1 b f n n c f n n 1d f n n 2 解析 在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n 1条对角线 a a 1 b 3c a 1 b 2 b a 1 b 1d a 2 b 3 答案 d解析 令n 1 2 得到关于a b的方程组 解得即可 14n2 1 5 考点1 对数学归纳法的两个步骤的认识 例1 已知n是正偶数 用数学归纳法证明时 若已假设n k k 2且为偶数 时命题为真 则还需证明 a n k 1时命题成立c n 2k 2时命题成立 b n k 2时命题成立d n 2 k 2 时命题成立 解题思路 从数学归纳法的两个步骤切入 k的下一个偶数 是k 2 解析 因n是正偶数 故只需证等式对所有偶数都成立 因k的下一个偶数是k 2 故选b 用数学归纳法证明时 要注意观察下列 几个方面 1 n的范围以及递推的起点 2 观察首末两项的次数 或其他 确定n k时命题的形式f k 3 从f k 1 和f k 的差异 寻找由k到k 1递推中 左边要加 乘 上的式子 n n24 互动探究 b 2 用数学归纳法证明不等式 1n 1 1n 2 113 的 过程中 由k推导到k 1时 不等式左边增加的式子是 1 2k 1 2k 2 k 1 k 1 即 2k 2k 1 2k 1 2k 2 解析 求f k 1 f k 即可 当n k时 左边 11k 1k 2 1k k n k 1时 左边 1k 2 1k 3 1 故左边增加的式子是 12k 1 111 考点2 用数学归纳法证明恒等式命题 例2 是否存在常数a b c 使等式1 22 2 32 n n n都成立 证明你的 1 2 n n 1 an2 bn c 对一切正整数12结论 3k2 11k 10 3k2 11k 10 k 1 k 2 2 3k 5 k 2 k 1 k 2 2 下面用数学归纳法证明 1 当n 1时 由上面可知等式成立 2 假设n k时等式成立 即1 22 2 32 k k 1 2 k k 1 12 则1 22 2 32 k k 1 2 k 1 k 2 2 k k 1 12 k k 1 12 k 3k 5 12 k 2 3 k 1 2 11 k 1 10 2n 1 k 1 k 2 12 k 1 k 2 12 当n k 1时 等式也成立 综合 1 2 对n n 等式都成立 11 3 13 5 2 用数学归纳法证明 n n 时 n1 2n 1 2n 1 互动探究 左边 右边 所以等式成立 k1k 2k 3 1 证明 1 当n 1时 左边 111 33 右边 12 1 1 13 2 假设当n k k n 时等式成立 即有 11 3 13 5 1 2k 1 2k 1 k2k 1 则当n k 1时 11 3 13 5 1 2k 1 2k 1 1 2k 1 2k 3 2k 1 2k 1 2k 3 2k 1 2k 3 2k2 3k 1k 1k 1 2k 1 2k 3 2k 32 k 1 1 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对一切n n 等式都成立 考点3 用数学归纳法证明不等式命题 当n k 1时 不等式成立 由 1 2 知 等式对所有正整数都成立 1 用数学归纳法证明命题 格式严谨 必须严格按步骤进行 2 归纳递推是证明的难点 应看准 目标 进行变形 3 由k推导到k 1时 有时可以 套 用其他证明方法 如 比较法 分析法等 表现出数学归纳法 灵活 的一面 8 k 1 9 9 32k 2 8k 9 9 8k 9 9 考点4 用数学归纳法证明整除性命题 例4 试证 当n为正整数时 f n 32n 2 8n 9能被64整除 由于32 k 1 2 即f k 1 9f k 64 k 1 解析 方法一 1 当n 1时 f 1 34 8 9 64 命题显然成立 2 假设当n k k 1 k n 时 f k 32k 2 8k 9能被64整除 互动探究 3 求证 二项式x2n y2n n n 能被x y整除 错源 由n k变化到n k 1时理解不透彻 纠错反思 数列中的不等式常用的放缩方法有 利用分式的性质 利用根式的性质 利用不等式的性质 利用二项展开式 利用函数的性质等进行放缩 互动探究 归纳 猜想 证明 是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式 对于探索命题特别有效 要求善于发现规律 敢于提出更一般的结论 最后进行严密的论证 1 用数学归纳法证明问题时应注意 第一步验证n n0时 n0并不一定是1 第二步证明的关键是要运用归纳假设 特别要弄清由k 到k 1时命题的变化 由假设n k时命题成立 证n k 1时命题也成立 要 充分利用归纳假设 要恰当地 凑 出目标 2 用数学归纳