中考数学压轴题解题技巧

中考数学压轴题解题技巧 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广 综合性最强的题型 综合近年来各地中 考的实际情况 压轴题多以函数和几何综合题的形式出现 压轴题考查知识点多 条件 也相当隐蔽 这就要求学生有较强的理解问题 分析问题 解决问题的能力 对数学知 识 数学方法有较强的驾驭能力 并有较强的创新意识和创新能力 当然 还必须具有 强大的心理素质 下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧 先以 2009 年河南中考数学压轴 题为例 如图 在平面直角坐标系中 已知矩形 ABCD 的三个顶点 B 4 0 C 8 0 D 8 8 抛物线 y ax2 bx 过 A C 两点 1 直接写出点 A 的坐标 并求出抛物线的解析式 2 动点 P 从点 A 出发 沿线段 AB 向终点 B 运动 同时点 Q 从点 C 出发 沿线段 CD 向终点 D 运动 速度均为每秒 1 个单 位长度 运动时间为 t 秒 过点 P 作 PE AB 交 AC 于点 E 过点 E 作 EF AD 于点 F 交抛物线于点 G 当 t 为何值 时 线段 EG 最长 连接 EQ 在点 P Q 运动的过程中 判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三角形 请 直接写出相应的 t 值 解 1 点 A 的坐标为 4 8 1 分 将 A 4 8 C 8 0 两点坐标分别代入 y ax2 bx 8 16a 4b 得 0 64a 8b 解 得 a 1 2 b 4 抛物线的解析式为 y 1 2 x2 4x 3 分 2 在 Rt APE 和 Rt ABC 中 tan PAE PE AP BC AB 即 PE AP 4 8 PE 1 2 AP 1 2 t PB 8 t 点 的坐标为 4 1 2 t 8 t 点 G 的纵坐标为 1 2 4 1 2 t 2 4 4 1 2 t 1 8 t2 8 5 分 EG 1 8 t2 8 8 t 1 8 t2 t 1 8 0 当 t 4 时 线段 EG 最长为 2 7 分 共有三个时刻 8 分 t1 16 3 t2 40 13 t3 8 5 25 11 分 压轴题的做题技巧如下 1 对自身数学学习状况做一个完整的全面的认识 根据自己的情况考试的时候重心 定位准确 防止 捡芝麻丢西瓜 所以 在心中一定要给压轴题或几个 难点 一个 时间上的限制 如果超过你设置的上限 必须要停止 回头认真检查前面的题 尽量要 保证选择 填空万无一失 前面的解答题尽可能的检查一遍 2 解数学压轴题做一问是一问 第一问对绝大多数同学来说 不是问题 如果第一 小问不会解 切忌不可轻易放弃第二小问 过程会多少写多少 因为数学解答题是按步 骤给分的 写上去的东西必须要规范 字迹要工整 布局要合理 过程会写多少写多少 但是不要说废话 计算中尽量回避非必求成分 尽量多用几何知识 少用代数计算 尽 量用三角函数 少在直角三角形中使用相似三角形的性质 3 解数学压轴题一般可以分为三个步骤 认真审题 理解题意 探究解题思路 正 确解答 审题要全面审视题目的所有条件和答题要求 在整体上把握试题的特点 结构 以利于解题方法的选择和解题步骤的设计 解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所 隐含的重要数学思想 如转化思想 数形结合思想 分类讨论思想及方程的思想等 认 识条件和结论之间的关系 图形的几何特征与数 式的数量 结构特征的关系 确定解 题的思路和方法 当思维受阻时 要及时调整思路和方法 并重新审视题意 注意挖掘 隐蔽的条件和内在联系 既要防止钻牛角尖 又要防止轻易放弃 压轴题解题技巧练习 一 对称翻折平移旋转 1 1 20102010 年南宁 年南宁 如图 12 把抛物线 虚线部分 向右平移 1 个单位长度 再 2 yx 向上平移 1 个单位长度 得到抛物线 抛物线与抛物线关于轴对称 点 1 l 2 l 1 lyAO 分别是抛物线 与轴的交点 分别是抛物线 的顶点 线段交B 1 l 2 lxDC 1 l 2 lCD 轴于点 yE 1 分别写出抛物线与的解析式 1 l 2 l 2 设是抛物线上与 两点不重合的任意一点 点是点关于轴的对称P 1 lDOQPy 点 试判断以 为顶点的四边形是什么特殊的四边形 说明你的理由 PQCD 3 在抛物线上是否存在点 使得 如果存在 求 1 lM ABMAOED SS 四边形 出点的坐标 如果不存在 请说明理由 M 2 福建 福建 2009 年宁德市 年宁德市 如图 已知抛物线C1 的顶点为 P 与 x 轴 52 2 xay 相交于 A B 两点 点 A 在点 B 的左边 点 B 的横坐标是 1 1 求P点坐标及a的值 4分 2 如图 1 抛物线C2与抛物线C1关于 x 轴对称 将抛物线C2向右平移 平 移后的抛物线记为C3 C3的顶点为 M 当点 P M 关于点 B 成中心对称时 求C3的解 析式 4 分 A CDE B O 2 l 1 l 12 题 题 图 12 y x y x A O B P M 图 1 C1 C2 C3 2 1 y x A O B P N 图 2 C1 C4 Q EF 2 2 A PO B E C x y 3 如图 2 点 Q 是 x 轴正半轴上一点 将抛物线C1绕点 Q 旋转 180 后得到 抛物线C4 抛物线C4的顶点为 N 与 x 轴相交于 E F 两点 点 E 在点 F 的左边 当 以点 P N F 为顶点的三角形是直角三角形时 求点 Q 的坐标 5 分 二 动态 动点 动线 3 3 20102010 年辽宁省锦州年辽宁省锦州 如图 抛物线与x轴交于A x1 0 B x2 0 两点 且x1 x2 与y轴交于点C 0 4 其中x1 x2是方程x2 2x 8 0 的两个根 1 求这条抛物线的解析式 2 点P是线段AB上的动点 过点P作 PE AC 交BC于点E 连接CP 当 CPE 的面积最大时 求点P的坐标 3 探究 若点Q是抛物线对称轴上的点 是否存在这样的点Q 使 QBC成为等腰三 角形 若存在 请直接写出所有符合条件的 点Q的坐标 若不存在 请说明理由 4 4 20082008 年山东省青岛市 年山东省青岛市 已知 如图 在 Rt ACB 中 C 90 AC 4cm BC 3cm 点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动 速度为 1cm s 点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动 速度为 2cm s 连接 PQ 若设运动的时间为 t s 0 t 2 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PQ BC 2 设 AQP 的面积为 y 求 y 与 t 之间的函数关系式 2 cm 3 是否存在某一时刻 t 使线段 PQ 恰好把 Rt ACB 的周长和面积同时平分 若存在 求出此时 t 的值 若不存在 说明理由 4 如图 连接 PC 并把 PQC 沿 QC 翻折 得到四边形 PQP C 那么是否存在某一 时刻 t 使四边形 PQP C 为菱形 若存在 求出此时菱形的边长 若不存在 说明理 由 P 图 AQ C P B 图 A Q C P B D BA Q C P C xx yy A O B E D ACB C D G 图 1图 2 5 09 年吉林省 年吉林省 如图所示 菱形 ABCD 的边长为 6 厘米 B 60 从初始时刻开始 点 P Q 同时从 A 点出发 点 P 以 1 厘米 秒的速度沿 A C B 的方向运动 点 Q 以 2 厘米 秒的速度沿 A B C D 的方向运动 当点 Q 运动到 D 点时 P Q 两点同时停 止运动 设 P Q 运动的时间为 x 秒时 APQ 与 ABC 重叠部分的面积为y平方厘米 这里规定 点和线段是面积为 0 的三角形 解答下列问题 1 点 P Q 从出发到相遇所用时间是 秒 2 点 P Q 从开始运动到停止的过程中 当 APQ 是等边三角形时 x 的值是 秒 3 求y与 x 之间的函数关系式 6 2009 年浙江省嘉兴市年浙江省嘉兴市 如图 已知 A B 是线段 MN 上的两点 4 MN 1 MA 1 MB 以 A 为中心顺时针旋转点 M 以 B 为中心逆时针旋转点 N 使 M N 两点 重合成一点 C 构成 ABC 设xAB 1 求 x 的取值范围 2 若 ABC 为直角三角形 求 x 的值 3 探究 ABC 的最大面积 三 圆 7 7 20102010 青海 青海 如图 10 已知点 A 3 0 以 A 为圆心作 A 与 Y 轴切于原点 与 x 轴的另一个交点为 B 过 B 作 A 的切线 l 1 以直线 l 为对称轴的抛物线过点 A 及点 C 0 9 求此抛物线的解析式 2 抛物线与 x 轴的另一个交点为 D 过 D 作 A 的切线 DE E 为切点 求此切线长 3 点 F 是切线 DE 上的一个动点 当 BFD 与 EAD 相似时 求出 BF 的长 8 8 2009 2009 年中考天水年中考天水 如图 1 在平面直角坐标系xOy 二次函数y ax2 bx c a 0 C ABNM 第 24 题 的图象顶点为D 与y轴交于点C 与x轴交于点A B 点A在原点的左侧 点B 的坐标为 3 0 OB OC tan ACO 1 3 1 求这个二次函数的解析式 2 若平行于x轴的直线与该抛物线交于点M N 且以MN为直径的圆与x轴相切 求该圆的半径长度 3 如图 2 若点G 2 y 是该抛物线上一点 点P是直线AG下方的抛物线上的一动 点 当点P运动到什么位置时 AGP的面积最大 求此时点P的坐标和 AGP 的最大面积 9 09 年湖南省张家界市 年湖南省张家界市 在平面直角坐标系中 已知 A 4 0 B 1 0 且以 AB 为直径的圆交y轴的正半轴于点 C 过点 C 作圆的切线交 x 轴于点 D 1 求点 C 的坐标和过 A B C 三点的抛物线的解析式 2 求点 D 的坐标 3 设平行于 x 轴的直线交抛物线于 E F 两点 问 是否存在以线段 EF 为直径的圆 恰好与 x 轴相切 若存在 求出该圆的半径 若不存在 请说明理由 10 2009 年潍坊市 年潍坊市 如图 在平面直角坐标系中 半径为 1 的圆的圆心在坐标xOyO 原点 且与两坐标轴分别交于四点 抛物线与轴交于ABCD 2 yaxbxc y 点 与直线交于点 且分别与圆相切于点和点 Dyx MN MANC OAC 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴交轴于点 连结 并延长交圆于 求的xEDEDEOFEF 长 3 过点作圆的切线交的延长线于点 判断点是否在抛物线上 说明BODCPP 理由 四 比例比值取值范围 1111 20102010 年怀化 年怀化 图 9 是二次函数的图象 其顶点坐标为 M 1 4 kmxy 2 1 求出图象与轴的交点 A B 的坐标 x O x y N C D E F B M A y xO C DBA 1 4 2 在二次函数的图象上是否存在点 P 使 若存在 求出 P 点的坐 MABPAB SS 4 5 标 若不存在 请说明理由 3 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折 图象的其余部分保持不变 得xx 到一个新的图象 请你结合这个新的图象回答 当直线与此图象有两个 1 bbxy 公共点时 的取值范围 b 1212 湖南省长沙市湖南省长沙市 20102010 年年 如图 在平面直角坐标系 中 矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上 8 2OA cm OC 8cm 现有两动点P Q分别从O C同时出发 P在线段OA上沿OA方向以 每秒 cm 的速度匀速运动 Q在线段CO上沿CO方向以每秒 1 cm 的速度匀速运2 动 设运动时间为t秒 1 用t的式子表示 OPQ的面积S 2 求证 四边形OPBQ的面积是一个定值 并求出这个定值 3 当 OPQ与 PAB和 QPB相似时 抛物线经过B P两点 过 2 1 4 yxbxc 线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N 当线段MN的长取最大值时 求y 直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比 图 9 图 1 B APx C Q O y 第 26 题图 1313 成都市 成都市 20102010 年 年 在平面直角坐标系中 抛物线与轴交xOy 2 yaxbxc x 于两点 点在点的左侧 与轴交于点 点的坐标为 若将经AB AByCA 3 0 过两点的直线沿轴向下平移 3 个单位后恰好经过原点 且抛物线的AC ykxb y 对称轴是直线 2x 1 求直线及抛物线的函数表达式 AC 2 如果P是线段上一点 设 的面积分别为 ACABP BPC ABP S BPC S 且 求点P的坐标 2 3 ABPBPC SS 3 设的半径为 l 圆心在抛物线上运动 则在运动过程中是否存在与QAQQA 坐标轴相切的情况 若存在 求出圆心的坐标 若不存在 请说明理由 并探究 若Q 设 Q的半径为 圆心在抛物线上运动 则当取何值时 Q与两坐轴同时相切 rQr 五 探究型 1414 内江市 内江市 20102010 如图 抛物线与轴交于 2 230ymxmxm m x 两点 与轴交于点 AB yC 1 请求出抛物线顶点的坐标 用含的代数式表示 两点的坐标 MmAB 2 经探究可知 与的面积比不变 试求出这个比值 BCM ABC 3 是否存在使为直角三角形的抛物线 若存在 请求出 如果不存在 请说BCM 明 理由 A B C E D x y o 题图26 1515 重庆市潼南县 重庆市潼南县 20102010 年年 如图 已知抛物线与y轴相交于 C 与cbxxy 2 2 1 x轴相交于 A B 点 A 的坐标为 2 0 点 C 的坐标为 0 1 1 求抛物线的解析式 2 点 E 是线段 AC 上一动点 过点 E 作 DE x 轴于点 D 连结 DC 当 DCE 的面积 最大时 求点 D 的坐标 3 在直线 BC 上是否存在一点 P 使 ACP 为等腰三角形 若存在 求点 P 的坐标 若不存在 说明理由 1616 20082008 年年福建龙岩 福建龙岩 如图 抛物线经过的三个顶点 已知 2 54yaxax ABC 轴 点在轴上 点在轴上 且 BCx AxCyACBC 1 求抛物线的对称轴 2 写出三点的坐标并求抛物线的解析式 ABC 3 探究 若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点 是否存在是等PxPAB 腰三角形 若存在 求出所有符合条件的点坐标 不存在 请说明理由 P 17 09 年广西钦州 年广西钦州 26 本题满分 10 分 如图 已知抛物线 y 3 4 x2 bx c 与坐标轴交于 A B C 三点 A 点的坐 标为 1 0 过点 C 的直线 y 3 4t x 3 与 x 轴交于点 Q 点 P 是线段 BC 上的一个 动点 过 P 作 PH OB 于点 H 若 PB 5t 且 0 t 1 1 填空 点 C 的坐标是 b c 2 求线段 QH 的长 用含 t 的式子表示 3 依点 P 的变化 是否存在 t 的值 使以 P H Q 为顶点的三角形与 COQ 相 似 若存在 求出所有 t 的值 若不存在 说明理由 18 09 年重庆市 年重庆市 已知 如图 在平面直角坐标系 xOy中 矩形 OABC 的边 OA 在 AB x y O Q H P C A CB y x 0 1 1 轴的正半轴上 OC 在轴的正半轴上 OA 2 OC 3 过原点 O 作 AOC 的平分yx 线交 AB 于点 D 连接 DC 过点 D 作 DE DC 交 OA 于点 E 1 求过点 E D C 的抛物线的解析式 2 将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后 角的一边与轴的正半轴交于点 F 另y 一边与线段 OC 交于点 G 如果 DF 与 1 中的抛物线交于另一点 M 点 M 的 横坐标为 那么 EF 2GO 是否成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说 5 6 明理由 3 对于 2 中的点 G 在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q 使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C G 构成的 PCG 是等腰三角形 若存在 请求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 19 09 年湖南省长沙市 年湖南省长沙市 如图 抛物线y ax 2 bx c a 0 与 x 轴交于 A 3 0 B 两点 与y轴相交于点 C 0 当 x 4 和 x 2 时 二次函数y ax 3 2 bx c a 0 的函数值 y相等 连结 AC BC 1 求实数 a b c 的值 2 若点 M N 同时从 B 点出发 均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA BC 边运动 其中一个点到达终点时 另一点也随之停止运动 当运动时间为 t 秒时 连结 MN 将 BMN 沿 MN 翻折 B 点恰好落在 AC 边上的 P 处 求 t 的值及点 P 的坐标 3 在 2 的条件下 抛物线的对称轴上是否存在点 Q 使得以 B N Q 为顶点的三 角形与 ABC 相似 若存在 请求出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 2020 0808 江苏徐州 江苏徐州 如