八年级数学角平分线的性质(二)与全章复习

顺德大良家教一对一上门辅导 罗村家教 上门辅导 角平分线的性质角平分线的性质 二二 与全章复习与全章复习 一 角平分线的性质一 角平分线的性质 二二 1 角平分线的判定定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 2 剖析概念 1 这个结论是角平分线的判定 它与角平分线的性质是互逆的 2 这个结论的条件是指在角的内部有点 满足到角的两边的距离相等 那么过角的顶点和 该点的射线必然平分这个角 3 证明 1 将文字语言转化为符号语言 即 已知 如图 过 AOB 顶点 O 作射线 OC P 为 OC 上一点 PM OA 于点 M PN OB 于点 N 且 PM ON 求证 OP 为 AOB 的平分线 2 证明 PM OA 于 M OMP 90 同理 ONP 90 在 Rt OMP 与 Rt ONP 中 OMP ONP HL MOP NOP 全等三角形对应角相等 顺德大良家教一对一上门辅导 罗村家教 上门辅导 OP 为 AOB 平分线 即点 P 在 AOB 平分线上 4 应用 例 1 实际问题 如图 要在 S 区建一个集贸市场 使它到公路 铁路的距离相等 离公路和 铁路的交叉处 500m 这个集贸市场应建于何处 在图上标出它的位置 比例尺为 1 20000 解析 这是教材中的一个问题但需要注意的问题不少 1 注意 在作图时 我们经常会利用比例尺作图 1 20000 的含义是图上 1cm 表示实际 距离 20000cm 即 200m 的意思 如图上不加说明 那么我们默认比例尺的单位是厘米 因此 在本题中注意单位换算 2 作图原理 应用角平分线的第二个性质 3 作图方法 第一步 尺规作图法作出 AOB 的平分线 OP 第二 在射线上截取 OC 2 5cm 确定 C 点 C 点即为所求 例 2 已知 如图 BE 平分 ABC CE 平分 ACD 且交 BE 于点 E 求证 AE 平分 FAC 分析 要证 AE 平分 FAC 只需要证明 E 点到 FAC 两边的距离相等即可 而已知条件 中有角平分线 BE CE 因此应该考虑用角平分线的性质来证明点 E 到 FAC 两边的距离相等 证明 过点 E 作 EM BF 于点 M EN AC 于点 N EO BD 于点 O BE 平分 ABC EM BF 于点 M EO BD 于点 O 顺德大良家教一对一上门辅导 罗村家教 上门辅导 EM EO 角平分线上的点到角两边距离相等 同理可证 EN EO EM EN 点 E 在 FAC 平分线上 即 AE 平分 FAC 小结 1 证明角的平分线除前面遇到过的一些方法之外 现在又学习了角平分线的判定定理 也 可以作为证明角的平分线的一种方法 2 证明点在角的平分线上 关键是要证明这个点到角两边的距离相等 即证明线段相等 常方法有 使用全等三角形 角平分线的性质和利用面积相等 但特别要注意点到角两边的距 离 例 3 重要结论 三角形的三条角平分线相交于一点 且这点到三角形三边的距离相等 分析 这个命题应分为两部分 首先须说明 三角形的三条角平分线交于一点 再证明该 交点在第三条角平分线上 接下来须说明 此点到三角形三边距离相等 证明方法是 从每条 角平分线出发 利用角平分线判定定理 得到此点到两边距离相等 再利用等量代换即可 在此我们仅说明第一部分 已知 如图 ABC 中 BAC 的平分线与 ABC 的平分线交于点 O 求证 点 O 在 ACB 的平分线上 顺德大良家教一对一上门辅导 罗村家教 上门辅导 证明 过点 O 作 OM AC 于点 M ON BC 于点 N OP AB 于点 P OA 平分 BAC OM AC 于点 M OP AB 于点 P OM OP 角平分线上的点到角两边的距离相等 同理 ON OP OM ON 等量代换 又 OM AC 于点 M ON BC 于点 N 点 O 在 ACB 平分线上 到角两边距离相等的点在角平分线上 补充 由此也可看出 ON ON OP 练习 已知 如图 AP 为 ABC 的外角平分线 M 为 AP 上一个动点 不在 A 点上 求证 MC MB AC AB 证明 在 BA 延长线上截取 AC AC 连结 C M AP 为 ABC 的外角平分线 CAM C AM 在 CAM 与 C AM 中 CAM C AM SAS 顺德大良家教一对一上门辅导 罗村家教 上门辅导 CM C M 则 AC AB AC AB C B MC MB MC MB 在 MC B 中 MC MB C B 三角形两边之和大于第三边 MC MB AC AB 等量代换 二二 本章小结与复习本章小结与复习 一 知识点体系 二 解法体系 全等三角形是几何的一个基础内容 解决这类几何问题关键有二 一是把已知标在图上 往下推 二是由所求证的问题寻求解决的需要条件 即 两头凑 三 积累 1 基本图 2 辅助线基本作法 关键是形成基本图 四 例题 例 1 如图 已知在 Rt ABC 中 ACB 90 AC BC D 是 AB 的中点 E F 分别在 AC BC 上 且 ED FD 求证 分析 由 D 点为 AB 的中点可知 ACD BCD 的面积均为 ABC 面积一半 可采用割 补法 证明 连结 CD 顺德大良家教一对一上门辅导 罗村家教 上门辅导 D 为 AB 中点 AD BD 在 ACD 与 BCD 中 ACD BCD SSS AD BD CD 又 ED FD CDE CDF 90 ADE CDE 90 ADE CDF 在 ADE 与 CDF 中 ADE CDF S ADE S CDF 同理 S CDE S BDF 顺德大良家教一对一上门辅导 罗村家教 上门辅导 例 2 AD 为 ABC 的角平分线 求证 1 2 设 D 为 BC 上一点 连结 AD 若 则 AD 为角平分线 分析 由三角形面积及底边考虑作三角形的高 证明 1 过