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大学生物理论文及物理科技制作竞赛 受迫振动的研究与应用郭赵元（21710131）（东南大学，南京 211189）摘 要： 振动是自然界中最常见的运动形式之一。由受迫振动引发的共振现象在日常生活和工程技术中极为普遍。共振现象在许多领域有着广泛的应用，例如，众多电声器件需要利用共振原理制作；为研究物质的微观结构，常采用磁共振方法。但是共振现象也有极大的破坏性，减震和防震是工程技术和科学研究的一项重要任务。关键词： 阻尼振动；受迫振动；共振The Research and Application of Forced VibrationGuoZhaoyuan(Southeast University, Nanjing 211189)Abstract: Vibration is the most common nature of one form of exercise. Forced vibration caused by the resonance phenomenon in daily life and engineering technology is common. Resonance phenomenon in many fields in a wide range of applications, for example, many electronic devices need to use a resonance principle make; As the research material microstructures, often using magnetic resonance method. But also have great resonance phenomenon of destructive, damping and earthquake resistance is engineering technology and scientific research of an important task.key words: Damping Vibration; Forced Vibration; Resonance 在现实生活中我们总能找到受迫振动的例子以及其应用。对于受迫振动中的特殊情况共振，更是对现实生活有诸多贡献与应用。我们既要预防其危害，也要充分利用其优点。1 受迫振动郭赵元，1992/10，男南京，东南大学交通学院G物体在周期性外力（亦称驱动力）的持续作用下进行的振动称为受迫振动。1.1 受迫振动的公式导出设一系统在弹性力 kx ,阻力 -Cv和周期性外力F Cosp t的作用下作受迫振动。周期性外力也叫驱动力，F是驱动力的最大值，叫做力幅，p是驱动力的角频率，根据牛顿第二定律，有-kx-Cv+F Cosp t=ma或md2xdt2+Cdxdt+kx=F Cosp t对一定的振动系统、一定的环境介质、一定的驱动力，m ,k ,C ,F , p分别为恒量。令k/m=02 ， C/m=2和F/m=f ,则上式可写成d2xdt2+2dxdt+02x=fcospt (1)上述微分方程的解为x=A0e-tcost+Acos(pt+)(2)1.2 受迫振动的公式分析与意义分析（2）式可以发现受迫振动是由阻尼振动A0e-tcost+和简谐运动Acos(pt+)合成的。前一项阻尼运动随着时间的推移而趋于消失，它反映了受迫振动的暂态行为，与驱动力无关。因此经过一段时间后，受迫振动变为简谐运动，有x=Acos(pt+)(3)振幅A和初相位 （是受迫振动的角位移与驱动力矩之间的相位差）既与振动系统的性质和阻尼情况有关，也与驱动力的频率 和力幅F有关，而与振动的初始条件无关（初始条件只影响达到稳定状态所需的时间）。A和 由下述两式决定：A=f（02-p2）2+42p2(4)tan=-2p02-p2(5)2 共振分析公式（4）我们可以发现，稳定状态下受迫振动的一个振幅A的大小与驱动力的角频率 p 有很大关系。当外力的角频率 p 接近于固有角频率0时，振幅A也将随之增大，当驱动力的角频率为某一定值时，受迫振动的振幅达到极大的现象我们称之于共振。2.1 共振的公式导出对式（4）求导，令其为零，有dAdp=ddpf02-p22+42p2=2pf02-p2-2202-p22+42p232=0(6)由式（6）可以解得产生共振时的角频率 p ，振幅A和相位差 分别为 p =r=02-22A=Ar=f202-2=r=tan-1-02-22(7)2.2 共振的公式分析与意义分析第（7）式我们可以发现，阻尼系数越小，共振角频率越接近于系统的固有频率，共振振幅也越大，振动的角位移的相位滞后于驱动力的相位越接近于/2。若阻尼系数趋近于零，则振幅将趋于无穷大。3 受迫振动的应用我们可以发现，共振是一种受迫振动的特殊情况。当驱动力的频率接近物体的固有频率时,就会产生这种现象。在现实生活中，共振的利用与防治也是受迫振动最为明显和最为人熟知的应用。下面重点分析共振的利用与危害。3.1 共振的危害与避免说到共振的危害时，人们最为熟知和引用得最多的，便是下面这个例子：1831年，一队骑兵通过曼彻斯特附近的一座便桥时，由于马蹄运动节奏比较一致，使桥发生共振而断裂。对于桥梁来说，不光是大队人马厚重整齐的脚步能使之断裂，那些看似无物的风儿同样也能对之造成威胁。下面具体分析2个事实：3.1.1 振动源对人体的有害影响人们在生活和生产中会接触到各种振动源。这些振动都可能会对人体产生危害，由科学测试知道人体各部位有不同的固有频率。如眼球的固有频率最大约为60赫兹，颅骨的固有频率最大约为200赫兹等。把人体作为一个整体来看，如水平方向的固有频率为36赫兹，竖直方向的固有频率约为48赫兹。因此，跟振动源十分接近的操作人员。如拖拉机驾驶员。风镐、风铲、电锯的操作工，在工作时应尽量避免这些振动源的频率与人体有关部位的固有频率产生共振。3.1.2 魁北克大桥的失事1907年8月29日, 在加拿大圣劳伦斯河上, 魁北克大桥正在施工。这是一座钢悬臂桥, 主跨长达1800英尺(548. 6m ) , 是当时世界上最长的桥跨。当时正是下午五点半, 收工哨声已响过, 工人们正在桁架上向岸边走去。突然一声巨响, 犹如放炮一般, 南端锚跨的两根下弦杆突然被压屈, 并牵动了整个南端的结构。其结果是南端的整个锚跨及悬臂跨, 以及已部分完工的中间悬吊跨, 共重一万九千吨的钢材垮了下来。由于那里的河水很深, 可以行驶远洋邮轮, 落入河中的桥身迅即无影无踪, 只留下靠近岸边的已被扭曲的部分锚跨桥身和水中漂浮着的一些木板说明刚刚出了大事故。当时在桥上工作的86个人中只有11人获救。这个事故在桥梁史上是场影响深远的灾难。图1魁北克大桥南臂在倒塌前的施工情景图2大桥倒塌后的情景3.1.3 小结实际上，共振的危害程度和范围还远远不止于此。持续发出的某种频率的声音会使玻璃杯破碎。机器的运转可以因共振而损坏机座。高山上的一声大喊，可引起山顶的积雪的共振，顷刻之间造成一场大雪崩。行驶着的汽车，如果轮转周期正好与弹簧的固有节奏同步, 所产生的共振就能导致汽车失去控制，从而造成车毁人亡。3.2 共振的合理利用尽管共振有着如此多的危害，然而合理的对其进行防治与运用，也会有效的改善我们的生活。中国人对于共振的运用，还可以追溯到很久远的年代。 早在战国初期，当时的人就发明了各种各样的共鸣器,用来侦探敌情。到了现代，随着科技的发展和对共振研究的更加深入，共振在我们的社会和生活中“震荡”得更为频繁和紧密了。3.2.1 共振在实际生产生活中的应用弦乐器中的共鸣箱、无线电中的电谐振等，就是使系统固有频率与驱动力的频率相同，发生共振。 我们在建筑工地经常可以看到，建筑工人在浇灌混凝土的墙壁或地板时，为了提高质量，总是一面灌混凝土，一面用振荡器进行振荡，使混凝土之间由于振荡的作用而变得更紧密、更结实。此外，粉碎机、测振仪、电振泵、测速仪等，也都是利用共振现象进行工作的。3.2.2 共振对在心理调节方面的应用人的一生中, 离不开音乐的“沐浴”和“滋润”。而优美曼妙的音乐里也无不蕴藏着共振的“精灵”。专家研究认为，音乐的频率、节奏和有规律的声波振动，是一种物理能量，而适度的物理能量会引起人体组织细胞发生和谐共振现象，这种声波引起的共振现象，会直接影响人们的脑电波、心率、呼吸节奏等，使细胞体产生轻度共振，使人有一种舒适、安逸感，音律的变化使人的身体有一种充实、流畅的感觉。它活化了体内的细胞，加快了血液的流动， 激活了人的物理层次的生命潜能。所以，人们已经开始运用音乐产生的共振，来缓解人们由于各种因素造成的紧张、焦虑、忧郁等不良心理状态，而且还能用于治疗人的一些心理和生理上的疾病。3.2.3 小结简而言之，共振技术普遍应用于机械、化学、力学、电磁学、光学及分子、原子物理学、工程技术等几乎所有的科技领域。如音响设备中扬声器纸盆的振动，各种弦乐器中音腔在共鸣中的振动等利用了“力学共振”，电磁波的接收和发射利用了“电磁共振”，激光的产生利用了“光学共振”，医疗技术中则有已经非常普及的“核磁共振”等。在蓬勃发展的信息技术、基因科学、纳米材料、航天高科学技术大发展的浪潮中，更是大量运用到共振技术。而且随着科学的发展，可以预见，共振将会对我们这个社会产生更加巨大的影响与效益！参考文献：1