高中数学 11.3.1二项式定理精品课件同步导学 新人教A版选修23.ppt

1 3二项式定理 1 3 1二项式定理 1 会证明二项式定理 2 掌握二项式定理及其展开式的通项公式 3 能解决与二项展开式有关的简单问题 1 二项式定理的证明 难点 2 利用通项公式求特定项或其系数 重点 3 二项式系数与二项展开式中某项的系数 易混点 牛顿善于在日常生活中思考 他取得了科学史上一个个重要的发现 有一次 他在向一位姑娘求婚时思想又开了小差 他脑海中只剩下了无穷量的二项式定理 他抓住姑娘的手指 错误地把它当成通烟斗的通条 硬往烟斗里塞 痛得姑娘大叫 离他而去 牛顿也因此终生未娶 那么 什么是二项式定理 二项式定理的无穷魅力在哪里 二项式定理 a b n cn0an cn1an 1b cnr an rbr cnn bn r 1 1 cn1x cn2x2 cnrxr cnnxn 1 1 x 10展开式中x3项的系数为 a 720b 720c 120d 120解析 tr 1 c10r x r 令r 3 则t4 c103x3 120 x3 答案 c 答案 d 答案 20 4 已知 1 2x 5展开式中第2项大于第1项而不小于第3项 求x的取值范围 题后感悟 方法二较为简单 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行适当变形 可使展开多项式的过程简化 记准 记熟二项式 a b n的展开式 是解答好与二项式定理有关问题的前提 对较复杂的二项式 有时可先化简再展开 会更简便 解析 1 a 2b 4 c40a4 c41a3 2b c42a2 2b 2 c43a 2b 3 c44 2b 4 a4 8a3b 24a2b2 32ab3 16b4 化简 cn0 x 1 n cn1 x 1 n 1 1 kcnk x 1 n k 1 ncnn 由题目可获取以下主要信息 展开式是关于x 1的单项式 x 1的指数最高次为n 依次递减至0 且每项的指数等于对应的组合数的下标与上标的差 解答本题可先把x 1看成一个整体 分析结构形式 逆用二项式定理求解 解题过程 原式 cn0 x 1 n cn1 x 1 n 1 1 cn2 x 1 n 2 1 2 cnk x 1 n k 1 k cnn 1 n x 1 1 n xn 题后感悟 本题是二项式定理的逆用 需要熟悉二项展开式的每个单项式的结构 若对公式还不很熟悉 可先把x 1换元为a 再分析结构形式 则变得简单些 2 1 设n为自然数 化简cn0 2n cn1 2n 1 1 k cnk 2n k 1 n cnn 2 设s x 1 4 4 x 1 3 6 x 1 2 4 x 1 1 它等于 a x 2 4b x 1 4c x4d x 1 4 解析 1 原式 cn0 2n 10 cn12n 1 11 1 k cnk 2n k 1 n cnn 20 2 1 n 1 2 s x 1 1 4 x4 答案 2 c 答案 d 2 2011 福建高考 1 2x 5的展开式中 x2的系数等于 a 80b 40c 20d 10解析 1 2x 5的第r 1项为tr 1 c5r 2x r 2rc5rxr 令r 2 得x2的系数为22 c52 40 答案 b 答案 17 先根据二项式系数比求出n 写出通项公式 再根据指定项的特点求解 规范解答 1 依题意有cn4 cn2 14 3 化简得 n 2 n 3 56 解之得n 10或n 5 不合题意 舍去 n的值为10 4分 题后感悟 求二项展开式特定项的一般步骤 1 用二项式定理证明 34n 2 52n 1能被14整除 2 求9192除以100的余数 策略点睛 解题过程 1 证明 对被除式进行合理变形 把它写成恰当的二项式形式 使其展开后的每一项都含有除式的因式 即可证得整除 34n 2 52n 1 92n 1 52n 1 9 5 5 2n 1 52n 1 14 5 2n 1 52n 1 142n 1 c2n 11 142n 5 c2n 12 142n 1 52 c2n 12n 14 52n c2n 12n 1 52n 1 52n 1 14 142n c2n 11 142n 1 5 c2n 12 142n 2 52 c2n 12n 52n 上式是14的倍数 能被14整除 所以34n 2 52n 1能被14整除 2 方法一 9192 100 9 92 10092 c921 10091 9 c922 10090 92 c9291 100 991 992 前面各项均能被100整除 只有末项992不能被100整除 于是求992除以100的余数 992 10 1 92 1092 c921 1091 c922 1090 c9290 102 c9291 10 1 92 1092 c921 1091 c922 1090 c9290 102 920 1 1092 c921 1091 c922 1090 c9290 102 1000 81 被100除的余数为81 即9192除以100的余数为81 方法二 由9192 90 1 92 c920 9092 c921 9091 c9290 902 c9291 90 1 可知前面各项均能被100整除 只有末尾两项不能被100整除 由于c9291 90 1 8281 8200 81 故9192除以100的余数为81 题后感悟 1 整除性问题或求余数问题的处理方法 解决这类问题 必须构造一个与题目条件有关的二项式 用二项式定理处理这类问题 通常把被除数的底数写成除数 或与除数密切关联的数 与某数的和或差的形式 再用二项式定理展开 只考虑后面 或者是前面 的几项就可以了 要注意余数的范围 a c r b这式子中b为余数 b 0 r r是除数 利用二项式定理展开式变形后 若剩余部分是负数要注意转换 2 利用二项式证明多项式的整除问题关键是将被除式变形为二项式的形式 使其展开后每一项均含有除式的因式 若f x g x h x r x 均为多项式 则 f x g x h x f x 被g x 整除 f x g x h x r x r x 为g x 除f x 后得的余式 4 求证 1 3 32 33n 1能被26整除 n为大于1的偶数 1 正确理解二项式定理 1 系数注意二项式系数cnk与展开式中对应项的系数不一定相等 二项式系数一定为正 而项的系数有时可能为负 2 通项通项tk 1 cnkan kbk 它是 a b n的展开式的第k 1项 这里k 0 1 n 它反映出展开式在指数 项数 系数等方面的内在联系 因此能运用二项展开式的通项公式求特定项 特定项系数 3 二项式定理是一恒等式对任意的a b 该等式均成立 通过对a b取不同的特值 常可得到一些给解决某些问题带来方便的特殊等式 特别提醒 二项式 a b n与 b a n的展开式的第k 1项是不同的 在解题时题中给出的二项式的两项是不能随便交换的 否则会出错误 2 二项展开式的结构特征 1 它有n 1