Gronwall不等式的推广及其应用.docx

Gronwall不等式的推广及其应用摘要：本文主要研究了Gronwall不等式的性质,将Gronwall积分不等式中的非负常数推广为非负变量函数;利用Gronwall积分不等式建立了函数矩阵中的一个Gronwall型积分不等式,并由此证明了一阶微分方程及一类函数矩阵微分方程解的唯一性.关键词：Gronwall不等式;一阶微分方程;函数矩阵微分方程.The Promotion and Application of Gronwall InequalityAbstract：In this paper，we study the property of Gronwall inequality, and get a new inequality about Gronwall inequality instead with . Furth more, we get another Gronwall inequality in functional matrix. Finally, we get the uniqueness of solution in some First order differential equation and Function matrix differential equation.Key word: Gronwall inequality; First order differential equation; Function matrix differential equation目 录1. 前 言 12. Gronwall不等式证明 13. Gronwall不等式的推广 23.1非负变量下的Gronwall不等式23.2函数矩阵范数的Gronwall不等式34. Gronwall不等式的应用 44.1一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性问题 54.2函数矩阵微分方程解的唯一性6Gronwall不等式的推广及其应用1. 前言在数学中,Gronwall不等式说明了对于满足一定的微分方程或积分方程的函数,有相应的关于此微分方程或积分方程的不等式.Gronwall不等式常常被用来估计常微分方程解的取值范围.比如,它可以用来证明初值问题的解的唯一性. Gronwall不等式的微分形式首先由Gronwall在1919年证明.而积分形式则是由Richard Bellman在1943年证明.Gronwall是一位瑞典的数学家,后来移居美国.由于本文只介绍Gronwall不等式的积分形式,故其微分形式再不做介绍.本文用两种不同的方法证明了Gronwall不等式,并给出两个相关的结论.最后给出Gronwall不等式在常微分方程中的应用.2Gronwall不等式的证明定理 2.1(Gronwall不等式) 设为非负常数,和为在上的连续非负函数,且满足不等式+ ,则有 ,证明 方法一:设,则.用乘不等式的两边得 ,即 ,再用乘上式两边,得, ,两边从到积分,并由,得 ,所以 .方法二:当时,由条件不等式得,两边从到积分,得 .由上式和条件不等式知 当时,这时条件不等式变为,结论变为.事实上,对,成立,从而由可知, 而由得任意性可知 .综合、可知 推论 若,和为在上的连续非负函数,且满足不等式 ,则有 .3Gronwall不等式的推广3.1 非负变量下的Gronwall不等式在上述讨论中,“非负常数”这个条件可以放宽,下将改为非负函数,可得如下结果：定理3.1 设为上的连续非负函数,满足 且小于无穷.则：.证明：由题意可知： , (1) 令,给(1)两边乘以可得 ,所以有 . 从而上述命题得证 . 3.2 函数矩阵范数的Gronwall积分不等式 设 ,定义3.2.1 矩阵上称为连续的,如果都是在区间上的连续函数.定义3.2.2 矩阵上称为可微的,如果都是在区间上是可微的.定义3.2.3 矩阵上称为可积的,如果都是在区间上可积的.定义3.2.4 对于和n维向量,我们定义范数: ; , 设 ; . ; .由上面不难可以得到函数矩阵范数的Gronwall型不等式.定理3.2 设为非负常数,是闭区间上的连续、可微、可积函数矩阵,且满足不等式 ,则 特别当时,有 ,推出,推出 证明: 因 ,由已知和范数的性质有 ,由定理2.1推出： .当时,有 ,推出 推出,推出. 4.Gronwall不等式在常微分方程中的应用4.1 利用定理2.1证明一阶微分方程Lipschitz存在唯一性定理中的唯一性问题定义4.1 函数满足Lipschitz条件,如果存在常数,使得不等式 ,对于所有都成立.L称为Lipschitz常数. 定理4.1已知初值问题有解,则其解是唯一的.证明：初值问题的等价积分方程是 . 设是初值问题的解,假若还另有一解为,则因为 , . 有 | .其中为Lipschitz常数.由定理2.1和推论2.1有 |, 即 |, 则 .同理可证 . 4.2 用