高三数学一轮复习 函数的奇偶性课件 新人教B版.ppt

重点难点重点 奇偶函数的定义及其图象的对称特征 难点 函数奇 偶性的应用 知识归纳1 函数奇偶性的定义设函数y f x 的定义域为d 若对d内的任意一个x 都有 x d 且f x 或f x 成立 则称f x 为奇函数 或偶函数 f x f x 2 关于函数奇偶性的注意事项 1 函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质 在函数的定义域的真子集内讨论函数的奇偶性是没有意义的 显然 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 2 函数按奇偶性分类可分为 是奇函数不是偶函数 是偶函数不是奇函数 既是奇函数也是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数 3 如果一个奇函数f x 在x 0处有定义 那么f 0 如果一个函数既是奇函数又是偶函数 则其值域为 但逆命题不成立 若f x 为偶函数 则恒有f x f x 0 0 4 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称 5 两个奇 偶 函数之和 差为奇 偶 函数 两个奇 偶 函数之积 商是偶函数 一个奇函数与一个偶函数之积或商是奇函数 以上函数都不包括值恒为0的函数 3 判别函数奇偶性的方法 1 定义法 第一步先看函数f x 的定义域是否关于原点对称 若不对称 则为非奇非偶函数 第二步直接或间接利用奇偶函数的定义来判断 即若有 f x f x f x f x 0 f x f x 1 则f x 为奇函数 若有f x f x f x f x 0 f x f x 1 则f x 为偶函数 2 图象法 利用奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于y轴对称来判断 3 复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成 则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定 概括为 同奇为奇 一偶则偶 一般地 我们只讨论两个基本初等函数复合的情形 4 性质法偶函数的和 差 积 商 分母不为零 仍为偶函数 奇函数的和 差仍为奇函数 奇 偶 数个奇函数的积 商 分母不为零 为奇 偶 函数 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 利用上述结论时要注意函数的定义域是各个函数定义域的交集 4 函数奇偶性的应用 1 已知函数的奇偶性求函数的解析式 抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式 或充分利用奇偶性产生关于f x 的方程 从而可得f x 的解析式 2 已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性 求参数 常常采用待定系数法利用判断式f x f x 0产生关于x的恒等式 利用对应项系数相等求得字母的值 误区警示判断函数奇偶性时首先要看其定义域是否关于原点对称 如函数y x2 x 1 1 并不具备奇偶性 因此 一个函数是奇函数或偶函数 其定义域必须关于原点对称 一 方程的思想运用方程观点看待问题 就是将问题转化为方程问题来解决 或者通过构造方程来达到解题的目的 分析 奇偶性讨论的就是f x 与f x 的关系 如果题目中涉及x与 x的函数值之间的关系 一般考虑用奇偶性解决 如果告诉了函数的奇偶性 应从f x f x 入手 二 恒等式f x 为奇 偶 函数是说对函数f x 定义域内的任意x的值都有f x f x f x f x 这是关于x的一个恒等式 f x 是周期为t的周期函数是说 对于f x 定义域内的任意x 都有f x t f x 成立 这也是关于x的恒等式 处理恒等式问题关键是利用x取值的任意性 常用比较系数法和赋值法求解 分析 判断函数奇偶性时 第一 求函数定义域 看函数的定义域是否关于原点对称 若不对称 则该函数为非奇非偶函数 第二 若定义域关于原点对称 函数表达式能化简的 则对函数进行适当的化简 以便于判断 化简时要保持定义域不改变 第三 利用定义进行等价变形判断 第四 分段函数应分段讨论 要注意据x的范围取相应的函数表达式或利用图象判断 2 x1 f x x 2 x 2 f x x 1时 x 1 f x x 2 f x 1 x 1时 f x 0 1 x 1 f x 0 f x 点评 分段函数 2 判断奇偶性画图判断更方便直观 3 中到 后 验证f x f x 0更方便些 2010 广东理 3 若函数f x 3x 3 x与g x 3x 3 x的定义域均为r 则 a f x 与g x 均为偶函数b f x 为偶函数 g x 为奇函数c f x 与g x 均为奇函数d f x 为奇函数 g x 为偶函数解析 f x 3 x 3x f x f x 为偶函数 而g x 3 x 3x 3x 3 x g x g x 为奇函数 答案 b 分析 f x 为奇函数 定义域 x x r且x 0 对任意不为零的实数x 都有f x f x 从而当x取某个特殊值x0时 f x0 f x0 成立 即可解出a的值 本题中注意到分子含x 1 故取x0 1 解析 f x 为奇函数 f 1 f 1 a 1 答案 1点评 已知奇偶性求参数的值或取值范围时 可以用赋值法 也可以用比较系数法或利用性质等 2010 江苏 设函数f x x ex ae x x r 是偶函数 则实数a 解析 令g x x h x ex ae x 因为函数g x x是奇函数 则由题意知 函数h x ex ae x为奇函数 又函数f x 的定义域为r h 0 0 解得a 1 答案 1 例3 已知定义在r上的奇函数f x 的图象关于直线x 1对称 并且当x 0 1 时 f x x2 1 则f 462 的值为 a 2b 0c 1d 1 解析 f x 为奇函数 f x f x f x 图象关于直线x 1对称 f 2 x f x f 2 x f x f x f 4 x f 2 2 x f 2 x f x f x 是周期为4的周期函数 f 462 f 115 4 2 f 2 f 2 x f x 成立 f 2 f 0 又f x 是r上奇函数 f 0 0 f 462 0 故选b 答案 b 2010 杭州模拟 若函数f x 是定义在r上的偶函数 在 0 上是减函数 且f 2 0 则使得f x 0的x的取值范围是 a 2 b 2 2 c 2 2 d 2 解析 由题意知 f x 在 0 上是减函数 在 0 上是增函数 f 2 f 2 0 2 x 2时 f x 0 答案 b 分析 1 证明f x 为奇函数 须证f x f x 0 只须令y x即可产生表达式f x f x 需再证f 0 0 于是令x y 0可获证 2 欲求f x 在 2 6 上的最值 结合条件知需讨论f x 在 2 6 上的单调性 考虑给出的条件 x 0时 f x x2 2即可 解析 1 证明 函数定义域为r 在f x y f x f y 中令y x得 f 0 f x f x 令x 0 f 0 f 0 f 0 f 0 0 f x f x f x 为奇函数 2 解 设x10 f x2 x1 0 f x2 f x1 0 f x 是定义在r上的以3为周期的奇函数 f 2 0 则函数y f x 在区间 0 6 内的零点至少有 a 2个b 3个c 4个d 5个解析 f x 为奇函数 f 2 0 f 2 0 f x 以3为周期 f 1 f 2 0 f 1 f 2 0 f 4 f 1 0 f 5 f 2 0 另外 f 0 0 f 3 0 在区间 0 6 内至少有5个零点 故选d 答案 d 总结评述 解答本题易出现如下思维障碍 1 无从下手 不知如何脱掉 f 解决办法 含函数记号 f 的不等式 一般都是利用函数的单调性 2 无法得到另一个不等式 解决办法 关于原点对称的两个区间上 奇函数的单调性相同 偶函数的单调性相反 提到奇偶性 通常要分类讨论 已知y f x 是定义在r上的偶函数 且f x 在 0 上是增函数 如果x10 且 x1 0b f x1 f x2 0d f x1 f x2 0 x1 x2 0 x1 x2又f x 是 0 上的增函数 f x1 f x2 又f x 为定义在r上的偶函数 f x1 f x2 f x1 f x2 0 选d 答案 d 一 选择题1 函数y f x 是r上的偶函数 且在 0 上是增函数 若f a f 2 则实数a的取值范围是 a a 2b a 2c 2 a 2d a 2或a 2 答案 d 解析 函数y f x 是偶函数 且在 0 上是增函数 函数y f x 在 0 上是减函数 由f a f 2 得f a f 2 a 2 故选d 2 文 定义在r上的函数f x 是偶函数 且f x f 2 x 若f x 在区间 1 2 上是减函数 则f x a 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是增函数b 在区间 2 1 上是增函数 在区间 3 4 上是减函数c 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是增函数d 在区间 2 1 上是减函数 在区间 3 4 上是减函数 答案 b 解析 f x 为偶函数 在 1 2 上为减函数 f x 在 2 1 上为增函数 f x 为偶函数 f x f 2 x x r f x f 2 x x r f x 的一个周期为2 f x 在 1 2 上为减函数 f x 在 3 4 上为减函数 答案 c 解析 当 1 x 0时 3 x 4 4 f x 4 x 2 又f x 2 f x f x 4 f x f x x 2 1 x 0 又f x 是偶函数 0 x 1时 f x f x x 2 因此f x 在 0 1 上单调递减 0f sin1 答案 a 答案 b 答案 c 5 09 江西 已知函数f x 是 上的偶函数 若对于任意x 0 都有f x 2 f x 且当x 0 2 时 f x log2 x 1 则f 2008 f 2009 的值为 a 2b 1c 1d 2 答案 c 解析 f x