奥数：和差问题教案.doc

第四讲 和差问题 教学目标：1：学会运用画图线的方法表示倍关系中两个量，以更方便的找到解题的思路。2：更熟练掌握解答差倍问题的方法，理解差倍问题中各个量之间的关系。教学重点：更加熟练的运用画图线方法，更准确分析各量之间的关系。教学难点：能够更好的理解差倍应用题中各倍数和差倍数的量的关系。教学过程：和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。 为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。 例1： 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？ 分析与解答： 我们可以这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重1508158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8142（千克）.解法1：第二筐重多少千克？ （150-8）2=71（千克） 第一筐重多少千克？ 718=79（千克） 或 150-71=79（千克） 解法2：第一筐重多少千克？ （150+8）279（千克） 第二筐重多少千克？ 79-8=71（千克） 或150-79=71（千克） 答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。1-1学校有排球、篮球共62个，排球比篮球多12个，排球、篮球各是多少个？1-2甲、乙两人的年龄和是35岁，甲比乙小5岁，甲、乙各多少岁？例2：今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？ 分析与解答： 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。 解：爸爸的年龄： 58（35-7）2 =58282 =862 =43（岁） 小强的年龄： 58-4315（岁） 答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。2-1今年小刚和小强两人年龄和为22岁，一年前，小刚比小强大四岁，今年小刚和小强各是多少岁？例3 ： 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？ 分析与解答： 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.解：语文和数学成绩之和是多少分？942188（分） 数学得多少分？ （188+8） 21962=98（分） 语文得多少分？ （188-8）2=1802=90（分） 或 98-8=90（分） 答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.3-1小敏与妈妈今年的平均年龄为20岁，三年后，妈妈比小敏大28岁，今年妈妈和小敏各是多少岁？4-1：甲乙两个工程队共有236人，从甲工程队调14人到乙工程队，则两队的工人数正好相等，甲、乙工程队原有人数各是多少？4-2甲、乙两人共有150元钱，如果甲增加13元，而乙减少27元，那么两人的钱数就相等，甲、乙两人各有多少元钱？例5：小丽、小马和小磊三人共有课外书55本。小丽比小马多4本，小马又比小磊多6本，三人各有多少本？5-1三块布共长220米，第二块布长是第一块的3倍，第三块布长是第二块布长的2倍，三块布各长多少米？5-2甲、乙、丙三名工人一共生产零件420个，甲比乙多生产10个，乙比丙少生产17个，甲、乙、丙三人各生产零件多少个？例6： 在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。 1 2 3 4 5 6 7 8 9=5 分析与解答： 这样想：从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两部分的差是5，先要求出这两部分数字利用和差问题的方法便可以求出。 （45-5） 2=20，20+5=25 可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是25的几个数前面添上“+”号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。 例如：5+6+9=20可得到。 1+2+3+4-5-6+7+8-9=5 又如：5+7+8=20可得到。 1+2+3+4-5+6-7-8+9=5 又如：3+4+6+7=20可得到。 1+2-3-4+5-6-7+8+9=5 同学们，这道题你还有其他解法吗？试试看！练习：1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？ 2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？ 3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元， 今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？和差问题和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式.有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的铅笔拿出3支后，姐姐、弟弟的铅笔支数就同样多.”这说明姐姐的铅笔比弟弟多3支，也说明姐姐和弟弟铅笔相差3支。再例：“把姐姐的铅笔给弟弟3支后，两人铅笔支数就同样多.”如果认为姐姐的铅笔比弟弟多3支（差是3），那就错了.实际上姐姐比弟弟多2个3支.姐姐给弟弟3支后，自己留下3支，再加上他们原有的铅笔数，他们的铅笔支数才可能一样多.这里32=6支，就是暗差。“把姐姐的铅笔给弟弟3支后还比弟弟多1支”，这就说明姐姐的铅笔支数比弟弟多3217（支）。例1 两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？分析 这样想：假设第二筐和第一筐重量相等时，两筐共重1508158（千克）；假设第一筐重量和第二筐相等时，两筐共重150-8142（千克）.解法1：第二筐重多少千克？（150-8）2=71（千克）第一筐重多少千克？718=79（千克）或 150-71=79（千克）解法2：第一筐重多少千克？（150+8）279（千克）第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。例2 今年小强7岁，爸爸35岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？分析 题中没有给出小强和爸爸年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么今年两人的年龄差是35-7=28（岁）.不论过多少年，两人的年龄差是保持不变的.所以，当两人年龄和为58岁时他们年龄差仍是28岁.根据和差问题的解题思路就能解此题。解：爸爸的年龄：58（35-7）2=58282=862=43（岁）小强的年龄：58-4315（岁）答：当父子两人的年龄和是58岁时，小强15岁，他爸爸43岁。例3 小明期末考试时语文和数学的平均分数是94分，数学比语文多8分，问语文和数学各得了几分？分析 解和差问题的关键就是求得和与差，这道题中数学与语文成绩之差是8分，但是数学和语文成绩之和没有直接告诉我们.可是，条件中给出了两科的平均成绩是94分，这就可以求得这两科的总成绩.解：语文和数学成绩之和是多少分？942188（分）数学得多少分？（188+8） 21962=98（分） 语文得多少分？（188-8）2=1802=90（分）或 98-8=90（分）答：小明期末考试语文得90分，数学得98分.例4 甲乙两校共有学生864人，为了照顾学生就近入学，从甲校调入乙校32名同学，这样甲校学生还比乙校多48人，问甲、乙两校原来各有学生多少人？分析 这样想：甲、乙两校学生人数的和是864人，根据由甲校调入乙校32人，这样甲校比乙校还多48人可以知道，甲校比乙校多 322+48112（人）. 112是两校人数差。解：乙校原有的学生：（864-322-48）2376（人）甲校原有学生：864-376=488（人）答：甲校原有学生488人，乙校原有学生376人。小结：从以上4个例题可以看出题目给的条件虽然不同，但是解题思路和解题方法是一致的.和差问题的一般解题规律是：（和+差）2=较大数 较大数-差=较小数或（和-差）2=较小数 较小数+差=较大数也可以求出一个数后，用和减去这个数得到另一个数.下面我们用和差问题的思路来解答一个数学问题。例5 在每两个数字之间填上适当的加或减符号使算式成立。1 2 3 4 5 6 7 8 9=5分析 这样想：从1至9这几个数字相加是不会得到5的，只能从一部分数字相加再减去一部分字后差是5，也就是说1到9的和是45，而两部分的差是5，先要求出这两部分数字，利用和差问题的方法便可以求出。（45-5） 2=20，20+5=25可求出其中几个数的和是25，而另外几个数的和是20.在组成和是25的几个数前面添上“+”号，而在组成和是20的几个数前面添上“-”号，此题就算出来了。例如：5+6+9=20可得到。1+2+3+4-5-6+7+8-9=5又如：5+7+8=20可得到。1+2+3+4-5+6-7-8+9=5又如：3+4+6+7=20可得到。1+2-3-4+5-6-7+8+9=5同学们，这道题你还有其他解法吗？试试看！课后作业1.果园里有桃树和梨树共150棵，桃树比梨树多20棵，两种果树各有多少棵？2.甲、乙两桶油共重30千克，如果把甲桶中6千克油倒入乙桶，那么两桶油重量相等，问甲、乙两桶原有多少油？3.用锡和铝制成500千克的合金，铝的重量比锡多100千克，锡和铝各是多少千克？4.某工厂去年与今年的平均产值为96万元，今年比去年多10万元，今年与去年的产值各是多少万元？5.甲、乙两个学校共有学生1245人，如果从甲校调20人去乙校后，甲校比乙校还多5人，两校原有学生各多少人？6.三个物体平均重量是31千克，甲物体比乙、丙两个物体重量之和轻1千克，乙物体比丙物体重量的2倍还重2千克，三个物体各重多少千克？7.甲、乙两个工程队共有1980人，甲队为了支援乙队，抽出285人加入乙队，这时乙队人数还比甲队少24人，求甲、乙两队原有工人多少人？8.四年级有3个班，如果把甲班的1名学生调整到乙班，两班人数相等；如果把乙班1名学生调到丙班，丙班比乙班多2人，问甲班和丙班哪班人数多？多几人？课后作业答案1.桃树的棵树：（150+ 20）2= 85（棵）梨树的棵树：150- 85= 65（棵）答：有桃树85棵，梨树65棵。2.甲桶油重：（30+ 62）2= 21（千克）乙桶油重：30-21=9（千克）答：甲桶油重21千克，乙桶油重9千克。3.锡的重量：（500-100）2= 200（千克）铝的重量：500- 200= 300（千克）答：锡重量是300千克，铝的重量是200千克。4.今年的产值：（962+10）2=101（万元）去年的产值：101-10=91（万元）答：今年的产值是101万元，去年的产值是91万元。5.乙校原有人数：1245-（202+5）2=600（人）甲校原有人数：1245-600645（人）答：甲校原有学生645人，乙校原有学生600人。6.三个物体的总重量：313=93（千克）甲物体的重量：（93-1）2=46（千克）丙物体的重量：（93-46-2）（2+1）=15（千克）乙物体的重量： 93-46-15=32（千克）答：甲、乙、丙三个物体的重量分别为46千克、32千克、15千克。7.甲队原有人数：（2852+ 24+198O） 2=1287（人）乙队原有人数：1287-594= 693（人）答：甲队原有1287人，乙队原有693人。8.解（略），答：甲班比丙班人数多，多2名学生.第八讲 差倍问题前面讲了应用线段图分析“和倍”应用题， 这种方法使分析的问题具体、形象，使我们能比较顺利地解答此类应用题.下面我们再来研究与“和倍”问题有相似之处的“差倍”应用题。“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系， 求这两个数。 差倍问题的解题思路与和倍问题一样，先要在题目中找到1倍量，再画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量，然后求出另一个数，最后再写出验算和答题。例1 甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？分析 上图把乙班的图书本数看作1倍，甲班的图书本数是乙班的3倍， 那么甲班的图书本数比乙班多2倍.又知“甲班图书比乙班多80本”，即2倍与80本相对应，可以理解为2是80本，这样可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、班各有图书多少本。 解：乙班的本数： 80（3-1）=40（本） 甲班的本数： 403=120（本） 或4080=120（本）。 验算：120-4080（本） 12040=3（倍） 答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。例2 菜站运来的白菜是萝卜的3倍，卖出白菜1800千克，萝卜300千克，剩下的两种蔬菜的重量相等，菜站运来的白菜和萝卜各是多少千克？分析 这样想： 根据“菜站运来的白莱是萝卜的3倍”应把运来的萝卜的重量看作1倍；“卖出白菜1800千克，萝卜300千克后，剩下两种蔬菜的重量正好相等”，说明运来的白菜比萝卜多1800-300=1500（千克）.从上图中清楚地看到这个重量相当于萝卜重量的3-1=2（倍），这样就可以先求出运来的萝卜是多少千克，再求运来的白菜是多少千克。 解：运来萝卜：（1800-300）（3-1）=750（千克） 运来白菜： 7503=2250（千克） 验算： 2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分） 750-300=450（千克）（萝卜剩下部分） 答：菜站运来白菜2250千克，萝卜750千克。例3 有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？分析 上图，两根绳子原来的长度一样长，但是从第一根截去12米，第二根绳子又接上14米后，第二根的长度是第一根的3倍.应该把变化后的第一根长度看作1倍，而12+14=26（米），正好相当于第一根绳子剩下的长度的2倍.所以，当从第一根截去12米后剩下的长度可以求出来了，那么第一根、第二根原有长度也就可以求出来了。 解：第一根截去12米剩下的长度： （12+14）（3-1）13（米） 两根绳子原来的长度：131225（米） 答：两根绳子原来各长25米。 自己进行验算，看答案是否正确.另外还可以想想，有无其他方法求两根绳子原来各有多长. 小结：解答这类题的关键是要找出两个数量的差与两个数量的倍数的差的对应关系.用除法求出1倍数， 也就是较小的数，再求几倍数。 解题规律： 差倍数的差=1倍数（较小数） 1倍数几倍=几倍的数（较大的数） 或：较小的数+差=较大的数。例4 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？例4 三（1）班与三（2）班原有图书数一样多.后来，三（1）班又买来新书74本，三（2）班从本班原书中拿出96本送给一年级小同学，这时，三（1）班图书是三（2）班的3倍，求两班原有图书各多少本？分析 两个班原有图书一样多.后来三（1）班又买新书74本，即增加了74本；三（2）班从本班原有图书中取出96本送给一年级同学，则图书减少了96本.结果是一个班增加，另一个班减少，这样两个班图书就相差96+74170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本图书.又知三（1）班现有图书是三（2）班图书的3倍，可见这170本图书就相当于三（2）班所剩图书的3-1=2倍，三（2）班所剩图书本数就可以求出来了，随之原有图书本数也就求出来了（见上图）。 解：后来三（1）班比三（2）班图书多多少本？ 7496=170（本） 三（2）班剩下的图书是多少本？ 170（3-1）=85（本） 三（2）班原有图书多少本？8596=181（本）（两个班原有图书一样多） 综合算式： （7496）（3-1）96 1702+96 8596 181（本） 验算：181+74=255（本） 181-96=85（本） 25585=3（倍） 答：两班原来各有图书181本。例5 两块同样长的花布，第一块卖出31米，第二块卖出19米后，第二块是第一块的4倍，求每块花布原有多少米？分析 已知两块花布同样长，由于第一块卖出的多，第二块卖出的少，因此第一块剩下的少，第二块剩下的多.所剩的布第二块比第一块多31-19=12（米）.又知第二块所剩下的布是第一块的4倍，那么第二块比第一块多出的12米正好相当于所剩布的（4-1）倍，这样，第一块所剩布的长度即可求出（见上图）。 解：第二块布比第一块布多剩多少米？ 31-1912（米） 第一块布剩下多少米？ 12（4-1）=4（米） 第一块布原有多少米？ 4+31=35（米）（两块布原有长度相等） 综合列式： （31-19）（4-1）+31 =123+31 =431 =35（米） 验算：35-31=4（米） 35-1916（米） 1644（倍） 答：每块布原有35米长。习题八 1.一只大象的体重比一头牛重4500千克， 又知大象的重量是一头牛的10倍，一只大象和一头牛的重量各是多少千克？ 2.果园里的桃树比杏树多90棵，桃树的棵数是杏树的3倍，桃树和杏树各有多少棵？ 3.有两块布，第一块长74米，第二块长50米，两块布各剪去同样长的一块布后，剩下的第一块米数是第二块的3倍，问每块布各剪去多少米？ 4.甲、乙两校教师的人数相等，由于工作需要，从甲校调30人到乙校去，这时乙校教师人数正好是甲校教师人数的3倍，求甲、乙两校原有教师各多少人？5.两筐重量相同的苹果，从甲筐取出7千克，乙筐加入19千克，这时乙筐是甲筐苹果的3倍，问两筐原有苹果多少千克？ 6.甲、乙两个数，如果甲数加上320就等于乙数了.如果乙数加上460就等于甲数的3倍，两个数各是多少？ 7.有两块同样长的布，第一块卖出25米，第二块卖出14米，剩下的布第二块是第一块的2倍，求每块布原有多少米？奥数中的“年龄问题”年龄问题的三大规律：1两人的年龄差是不变的；2两人年龄的倍数关系是变化的量；3随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量年龄问题的类型：转化为和差问题的年龄问题；转化为和倍问题的年龄问题；转化为差倍问题的年龄问题有关年龄问题的例题解析在一些数学问题中要讨论年龄的变化和几个人的年龄的关系，我们知道随着时间的往后或往前推移，人的年龄就会增加或减少，如果有几个人，时间往后推移，几个人年龄的和随着年数增加而增加年数的几（按人数）倍，但这几个人年龄间的差却是不变的。在解答有关年龄变化的问题时这是必须牢记的。例1：小华今年12岁，他妈妈今年48岁，多少年以前妈妈的年龄是小华的5倍？多少年以后妈妈的年龄是小华的3倍？解：首先，不管是今年或今年前、今年后的若干年，小华和他妈妈年龄的差都是相同的，妈妈的年龄比小华大4812=36（岁）。当妈妈的年龄是小华的5倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的5份，比小华多51=4（份），所以那时小华是：364=9（岁），是在今年前129=3（年）。当妈妈的年龄是小华的3倍时，把那时小华的年龄作为1份，妈妈的年龄是这样的3份，比小华31=2（份），所以那时小华是：362=18（岁），是在今年后1812=6（年）。答：3年以前，妈妈的年龄是小华的5倍，6年以后，妈妈的年龄是小华的3倍。例2：小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大4岁，今年全家年龄的和是72岁，10年前这一家全家年龄的和是44岁。今年三人各是多少岁？解：一家人年龄的和今年与10年前比较增加了7244=28（岁），而如果按照三人计算10年后应增加310=30（岁），只能是小芬少了2岁，即小芬8年前出生，今年是8岁，今年父亲是（7284）2=34（岁），今年母亲是344=30（岁）。答：今年父亲34岁，母亲30岁，小芬8岁。例3：父亲今年38岁，母亲今年36岁，儿子今年11岁，多少年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍？解：今年父母年龄之和为3836=74（岁），儿子年龄的4倍是44岁，今年父母年龄之和比儿子年龄的4倍多7444=30（岁），而每过一年父母年龄增加2岁，过一年儿子年龄增加数的4倍为4岁，就是说每过一年父母年龄的增加比儿子年龄增加数的4倍少42=2（岁），当父母年龄之和为儿子年龄的4倍时，要过302=15（年）。答：15年后，父母亲的年龄之和是儿子的年龄的4倍。例4：今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，过8年，张老师的年龄是小华年龄的3倍，小华今年多少岁？解：今年张老师的年龄是小华年龄的5倍，是把今年小华年龄的作为1份，今年张老师的年龄是这样的5份，张老师今年的年龄比小华多51=4（份），过8年，张老师的年龄是小华年龄的3倍，是把那时小华的年龄作为1份，张老师那时的年龄是这样的3份，张老师那时的年龄比小华多31=2（份）。今年和过8年后张老师与小华年龄差的岁数是相同的，因此过8年的1份是今年的42=2（份），那么，今年的1份的岁数是8（21）=8（岁），就是今年小华8岁。答：今年小华8岁。例5：今年大华20岁，大明18岁，小芬12岁，小玲8岁，多少年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍？解：今年大华、大明年龄的和的2倍是（2018）2=76（岁），小芬、小玲年龄的和的3倍是（128）3=60（岁），大华、大明年龄的和的2倍比小芬、小玲年龄的和的3倍多7660=16（岁），而每过一年，大华、大明增加年龄的和的2倍比小芬、小玲增加年龄的和的3倍少2322=2（岁），使大华、大明年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍，过的年数是162=8（年）。答：8年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍。*例6：小云问刘老师今年多少岁。刘老师说：“当我像你这么大的时候，你只有3岁，当你像我这么大的时候，我已经39岁了。”刘老师今年多少岁？解：把小云和刘老师年龄的变化情况画成下面的线段图：刘老师比小云大的岁数用1个“”所指的线段表示，当刘老师的年龄往回推移到小云今年的年龄时，推移了这样的一段，小云的年龄也同样往回推移这样的一段，这样小云只有3岁；当小云的年龄往后推移这样一段到刘老师今年的年龄时，刘老师的年龄也往后推移这样的一段，这样，刘老师就有39岁。从图中看到39岁比3岁多了3个这样的一段，每段（就是两人的年龄差）是（393）3=12（岁），刘老师今年的年龄是3912=27（岁）。答：刘老师今年27岁。学而思奥数网奥数专题 (应用题) 1、 三年级应用题问题：年龄问题难度：高难度甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你才5岁”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数的时候，你将50岁”问：甲、乙二人现在各多少岁？答：2、三年级应用题问题：年龄问题难度：高难度甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？答：3、 三年级应用题问题：年龄问题难度：高难度已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人个多少岁？答：4、 三年级应用题问题：年龄问题难度：高难度三名男青年王强、张胜、李明和三名女青年芳芳、丽丽、蓉蓉这六个人中三对兄妹，哥哥比妹妹都大5岁，王强比芳芳大1岁，王强与丽丽的年龄和为48岁，张胜与丽丽的年龄和为52，他们六人中各对兄弟妹分别是谁和谁？(只写出答案，不列式)答：5、三年级应用题问题：年龄问题难度：高难度今年姐姐13岁，弟弟今年10岁，当姐弟年龄之和达101岁时，姐弟各是多少岁？答：星海学校3L个性化数学辅导年龄问题学生：江雨露教师：许老师指点迷津年龄问题的一个重要关键之处是：两人的年龄差不变。根据这一特点，可以将年龄问题转化为“和差”“和倍”“差倍”等问题来解答。第 13 页，共 48 页Abc暑期奥数班课程安排经典例题 哥哥今年15岁，弟弟今年10岁。当两人的年龄和是51岁时，两人各应该是多少岁？【解析】哥哥和弟弟的年龄差是15-10=5(岁)，随着时间推移，两人的年龄差仍为5岁。这样原题就转化为“已知哥哥和弟弟的年龄和是51岁，年龄差是5岁，求哥哥和弟弟各是多少岁？”这是一个和差问题，根据和差问题的计算公式，我们很容易得知哥哥和弟弟的年龄。15-10=5（岁） 哥哥：（51+5）2=28（岁）弟弟：（51-5）2=23（岁）。变式训练 (1)姐姐几年10岁，妹妹今年6岁。试问当两人的年龄和是36岁时，两人各应该多少岁？(2)爸爸和妈妈现在的年龄和是72岁，5年后爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸和妈妈各多少岁？经典例题 云云2岁时，妈妈27岁，今年妈妈的年龄正好是云云的6倍，妈妈今年多少岁？【解析】无论哪一年，妈妈和云云的年龄差总是不变的，即27-2=25（岁）。根据“今年妈妈的年龄正好是云云的6倍”，把今年云云的年龄看作1份，妈妈的年龄就是6份，妈妈与云云的年龄差就是6-1=5（份），所以，今年云云是255=5（岁），妈妈是56=30（岁）。变式训练 (1)小红5岁时，奶奶55岁，今年奶奶的年龄正好是小红的6倍，奶奶今年多少岁？(2)弟弟5岁时，哥哥13岁，今年哥哥的年龄正好比弟弟大1倍，哥哥今年多少岁？经典例题 今年云儿的妈妈比云儿大32岁，3年后云儿妈妈的年龄又正好是云儿年龄的3倍。云儿今年多少岁？【解析】根据题意可知云儿与妈妈的年龄差是32岁，3年后，妈妈年龄比云儿大5-1=4（岁）所以云儿今年：32（5-1）-3=5（岁）变式训练 (1)今年爸爸的年龄比儿子大36岁，3年后，爸爸的年龄正好是儿子的5倍，儿子今年多少岁？(2)今年爸爸比小兰大27岁，3年后，爸爸的年龄正好是小兰的4倍。小兰今年多少岁？经典例题 晓辉5年前的年龄等于萌萌7年后的年龄，晓辉4年后的年龄与萌萌3年前的年龄和是45岁，问晓辉和萌萌今年各多少岁？【解析】由“晓辉5年前的年龄等于萌萌7年后的年龄”可知晓辉比萌萌大5+7=12（岁），今年他的年龄是45+3-4=44（岁），根据和差问题的计算公式，可知，晓辉今年：（44+12）2=28（岁），萌萌今年28-12=16（岁）。变式训练 (1)安安4年前的年龄等于明明3年后的年龄，安安6年后与明明7年前的年龄和是28岁，安安和明明今年各多少岁？(2)小红14年后的年龄等于妈妈12年前的年龄，小红18年后与妈妈8年前的年龄和是50岁。小红和妈妈今年各多少岁？经典例题 今年妈妈和女儿的年龄和是66岁，妈妈的年龄比女儿的3倍小10岁，那么多少年前妈妈的年龄为女儿的5倍？【解析】根据题意可知这是一个和倍问题，可以求出母女今年的年龄。女儿今年的年龄是：（66+10）（3+1）=764=19（岁）妈妈今年的年龄是：193-10=47（岁）无论到哪一年母女的年龄差都是不变的，即47-19=28（岁）当妈妈的年龄是 女儿的5倍时，女儿的年龄为：（47-19）（5-1）=7（岁）19-7=12（年） 即12年前妈妈的年龄为女儿的5倍。变式训练 (1)爸爸和儿子今年的年龄和是37岁，爸爸的年龄比儿子的6倍多2岁，那么多少年后，爸爸的年龄是儿子的4倍？(2)小明和小兰今年的年龄和是18岁，小明的年龄比小兰的3倍少2岁，那么多少年前，小明的年龄是小兰的9倍？经典例题 4年前妈妈的年龄是小华的4倍，小华今年11岁，妈妈今年多少岁？【解析】小华今年11岁，四年前小华的年龄应该是11-4=7（岁），那么妈妈4年前的年龄是74=28（岁），再经过四年妈妈的年龄应该再加4岁，即28+4=32（岁）。变式训练 (1)5年前小兰的年龄是小明的3倍，小明今年10岁，小兰今年多少岁？(2)4年前哥哥的年龄是弟弟的2倍，弟弟今年14岁，哥哥今年多少岁？经典例题 小明今年3岁，父亲今年27岁，几年后父亲的年龄正好是小明的4倍？【解析】父亲与小明的年龄差是27-3=24（岁），这是一个不变的量，当父亲的年龄是小明的4倍，小明的年龄是24（4-1）=8（岁），8-3=5（年）。变式训练 (1)欢欢今年18岁，迎迎今年2岁，几年后欢欢的年龄正好是迎迎的5倍？(2)哥哥今年16岁，弟弟今年12岁，几年前哥哥的年龄刚好是弟弟的3倍？经典例题 父亲今年35岁，儿子今年13岁，几年后父亲和儿子的年龄和是62岁？【解析】父亲和儿子的年龄差是不变的量，即35-13=22（岁），当父亲与儿子年龄和为62岁时，儿子的年龄是（62-22）2=20（岁），20-13=7（年）。小学奥数年龄问题练习题及答案（上） 一、填空题1.甲、乙两人的年龄和是33岁,甲比乙大3岁,那么甲 岁,乙 岁.2.父亲今年47岁,儿子21岁, 年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍.3.今年叔叔21岁,小强5岁, 年后叔叔的年龄是小强的3倍.4.小明今年9岁,妈妈今年39岁,再过 年妈妈年龄正好是小明年龄的3倍.5.明明比爸爸小28岁,爸爸今年的年龄是明明年龄的5倍,明明今年 岁,爸爸今年 岁.6.爸爸比小强大30岁,明年爸爸的年龄是小强的3倍,今年小强 岁.7.父亲比儿子大27岁,4年后父亲的年龄是儿子的4倍,那么儿子今年 岁.8.现在母女年龄和是48岁,3年后母亲年龄是女儿年龄的5倍,那么母亲今年 岁,女儿今年 岁.9.叔叔比红红大19岁,叔叔的年龄比红红的年龄的3倍多1岁,叔叔 岁,红红 岁.10.弟弟今年8岁,哥哥今年14岁,当二人年龄之和是50岁时,弟弟 岁,哥哥 岁.二、解答题11小刚4年前的年龄与小明7年后的年龄之和是39岁,小刚5年后的年龄等于小明3前的年龄,求小刚、小明今年的年龄是多少?12.哥哥5年前的年龄等于7年后弟弟的年龄,哥哥4年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是35岁,求兄弟二人今年的年龄?13.10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍,15年后父亲的年龄是他儿子的2倍,问今年父子二人各多少岁?14.今年小刚的年龄是明明年龄的5倍,25年后, 小刚的年龄比明明的年龄的2倍少16岁,今年小刚、明明各多少岁?答 案一、填空题1. 从年龄和中减去3岁就是2个乙的年龄.乙的年龄:(33-3)2=15(岁)甲的年龄:15+3=18(岁)2. 父亲与儿子的年龄差是(47-21)岁,几年前两人的倍数差为(3-1)倍,可求出儿子几年前的年龄.儿子几年前年龄:(47-21)2=13(岁)几年前:21-13=8(年)3. 先求出叔叔与小强年龄差,几年后的倍数差,算出几年后小强的年龄.小强几年后的年龄:(21-5)(3-1)=8(岁)几年后:8-5=3(年)4. 可先计算出二人的年龄差,再过几年折倍数差,由此可算出几年后小明的年龄.小明几年后的年龄:(39-9)(3-1)=15(岁)再过几年:15-9=6(年)5. 由题意可知爸爸与明明的倍数差是(5-1)倍,而二人年龄差是28岁,由此可算出明明与爸爸的年龄.明明年龄:28(5-1)=7(岁)爸爸年龄:28+7=35(岁)6. 可知两人年龄差是30岁,明年二人的倍数差是(3-1)倍,可得明年小强的年龄,由此算出今年小强的年龄.小强明年年龄:30(3-1)=15(岁)小强今年年龄:15-1=14(岁)7. 由题可知二人的年龄差,4年后的倍数差,那么4年后儿子年龄可求,今年儿子的年龄也可求.4年后儿子年龄:27(4-1)=9(岁)儿子今年年龄:9-4=5(岁)8. 现在母女年龄和是48岁,3年后年龄和增加(32)岁,可得母女的3年后年龄和,又知母亲3年后年龄是女儿年龄5倍,可得出女儿3年后的年龄,由此可得今年母女的年龄.3年后母女年龄和:48+(32)=54(岁)3年后女儿年龄:54(5+1)=9(岁)今年女儿年龄:9-3=6(岁)今年母亲年龄:48-6=42(岁)9. 用叔叔与红红的年龄差减去1岁就是红红的年龄的2倍,可得出红红的年龄,由此叔叔的年龄可得.红红的年龄:(19-1)(3-1)=9(岁)叔叔的年龄:9+19=28(岁)10. 哥哥与弟弟二人年龄和为50岁时,相对于现在二人的增长岁数是一样多,由此可得二人的增长岁数,可以算出二人的年龄. 增长的岁数:(50-8-14)2=282=14(岁) 哥哥的年龄:14+14=28(岁) 弟弟的年龄:14+8=22(岁)小刚:5年今年3年小明:今年4年? 岁? 岁39岁7年二、解答题11.根据题意看图,我们可以知道39岁为粗线表示的部分.如果我们以小刚5年后的年龄,也就是小明3年前的年龄为1倍量的话,只要我们能找到2倍对应的数据就可以了.从图中可知,如果小刚4年前的年龄加4加5就是5年后的年龄,如果小明7年后的年龄减7减3就是3年前的年龄,总数变为39+4+5-3-7=38(岁)相当于2倍量,这样,问题就可以解决了.39+4+5-3-7=38(岁)382=19(岁)19-5=14(岁)19+3=22(岁)答:小明今年22岁,小刚今年14岁.弟弟:7年今年5年哥哥:今年3年35岁4年12.根据题意看图,我们可以知道35岁为粗线表示的部分.如果我们把弟弟7年后的年龄作为1倍量,那么哥哥5年前的年龄也是1倍量.只要我们找到这两倍量所对应的数量,就可以先求出1倍量,使问题得解.35+3+7-5-4=36(岁)362=18(岁)18-7=11(岁)14+5=23(岁)答:哥哥今年23岁,弟弟今年11岁.父亲:儿子:10年今年10年今年15年? 岁? 岁“1”15年（“1”）7倍（2倍）13.因为15年后父亲的年龄是他儿子年龄的2倍,所以父子当时的年龄差为儿子当时的年龄,即10+15+儿子10年前的年龄.因为10年前父亲的年龄是儿子年龄的7倍,父子的年龄差为儿子当时年龄的6倍,由于年龄差不变,25+儿子10年前年龄=儿子10年前年龄的6倍.所以25相当于儿子10年前年龄的5倍,可求出儿子10年前的年龄,使问题得解.7-1-1=510+15=25(岁)255=5(岁)5+10=15(岁)57=35(岁)35+10=45(岁)答:儿子今年15岁,父亲今年45岁.小刚:明明:16年25年? 岁? 岁“1”25年（“1”）5倍（2倍）14.小刚:明明:16年25年“1”“1”25年（“1”）5倍25年看图,25年后,小刚的年龄是明明的2倍,如果明明的年龄乘2就和小刚的年龄相等,如下图:从上图可以清楚地看出,当两人年龄相等时,明明今年年龄的3倍对应的是:252-25-16=9(年),由此可以求出明明今年的年龄,使问题得解.252-25-16=9(年)5-12=393=3(岁)35=15(岁)答:明明今年3岁,小刚今年15岁.小学奥数年龄问题练习题及答案（下） 一、填空题1.兄弟二人的年龄之和是25岁,四年后,哥哥比弟弟大5岁,今年哥哥 岁,弟弟 岁.2.今年甲的年龄是乙的年龄的3倍,三年后甲比乙大4岁,今年甲 岁,乙 岁.3.哥哥与弟弟三年后年龄之和是27岁,弟弟今年的年龄等于两人的年龄差,问兄 岁,弟 岁.4.小红今年10岁,她爸爸今年36岁,小红 岁,爸爸的年龄正好是小红的3倍.5.小刚今年12岁,妈妈今年40岁, 年后妈妈的年龄正好是小刚的3倍.6.父亲今年49岁,儿子今年21岁, 年前父亲的年龄是儿子的5倍.7.小明今年14岁,奶奶今年74岁,奶奶 岁时,正好是小明的7倍.8.奶奶今年66岁,孙女今年10岁, 年后奶奶的年龄是孙女的5倍.9.小红、小丽2年前年龄和是23岁,小红今年的年龄等于两人的年龄差,今年小红 岁,小丽 岁.10.小刚5年前的年龄等于小红5年后的年龄,小刚今年是小红年龄的3倍,小刚与小红今年的年龄分别是 岁和 岁.二、解答题11.1992年,妈妈52岁,儿子25岁,哪一年妈妈的年龄是儿子的4倍.12.爸爸和女儿两人岁数加起来是91岁,当爸爸岁数是女儿现在岁数两倍的时候,女儿岁数是爸爸现在岁数的,那么爸爸现在的年龄是多少岁,女儿现在年龄是多少岁.13.甲、乙两人共63岁,当甲是乙现在年龄一半时,乙当时的年龄是甲现在的岁数,那么甲多少岁,乙多少岁.14.父亲与儿子的年龄和是66岁,父亲的年龄比儿子的年龄的3倍少10岁,那么多少年前父亲的年龄是儿子的5倍.答 案1. 在年龄问题中,两人的年龄差是不变的量,在这道题中,兄弟两人相差5岁是不变的量,如果哥哥小5岁就和弟弟一样大,总数变为25-5=20(岁)相当于弟弟年龄的2倍,可以先求出弟弟的,相应再求哥哥的,或者弟弟大5岁就和哥哥相同,总数变为25+5=30(岁)相当于哥哥年龄的2倍,可以求出哥哥的,再求弟弟的.解法一:25-5=20(岁) 202=10(岁) 10+5=15(岁) 答:弟弟10岁,哥哥15岁.解法二:25+5=30(岁) 302=15(岁) 15-5=10(岁) 答:弟弟10岁,哥哥15岁.2. 甲乙的年龄差4岁是不变的量,三年后相差4岁,今年也相差4岁,甲的年龄是乙的3倍,即4岁相当于乙的年龄的2倍,这样可以先求出乙的年龄,使问题得解.4(3-1)=2(岁)23=6(岁)答:甲今年6岁,乙今年2岁.3. “弟弟今年的年龄等于两人的年龄差”实际上就是哥哥的年龄是弟弟年龄的2倍,又知三年后的年龄和是27岁,每年每人长一岁,三年二人就长23=6(岁),所以今年二人的年龄和是27-6=21(岁)知道了年龄和,又知道了倍数关系,题目就可以解答了.27-23=21(岁)21(2+1)=7(岁)72=14(岁)答:哥哥今年14岁,弟弟今年7岁.4. 根据两人的年龄,可以确定出年龄差为36-10=26(岁),当爸爸的年龄是小红的3倍时,多出的26岁相当于小红年龄的2倍,这样可求出当