通信原理作业详解

习题某信息源由A,B,C,D四个符号组成，这些符号分别用二进制码组

00,01,10,11表示。若每一个二进制码元用宽度为5ms的脉冲传输，试分别

求出在下列条件下的平均信息速率。

(1)这四个符号等概率浮现；(2)这四个符号浮现概率如

习题所示。

解：(1)一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持

续时间为2x5ms。传送字母的符号速率为

等概时的平均信息速率为

Rr

bblogMRlog4200bs/

(2)平均信息量为

H_log4Jlog4^_log_l_!feg_1.977比特符号/

424216231625

则平均信息速率为RR1001.977197.7bs/

bH'

习题设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为125US。试求

码元速率和信息速率。

解：R.8000Bd

BIB125*1()6

R

等概时，hRJ涔M8000*log416kb/s

设一个接收机输入电路的等效电阻等于600欧姆，输入可路的带宽等于6MHz,环境温度为

23℃,试求该电路产生的热噪声电压有效值。

解：VJkTRB4J.38IO23(23273)60061067.67106v

习题设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等

于80m,试求其最远的通信距离。

解：由D28rh,得D8rh标｝06*8063849mkm

习题设有一信号可表示为：

4exp(t),tO

X⑴{

0,t<0

试问它是功率信号还是能量信号并求出其功率谱密度或者能量谱密度。

解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：

4

X()x(t)ejdt(4eejdt4()eojxdt-j—।—

I42|16j1

则能量谱密度G⑴=「⑴2=|1_4-f2

注意：以后的作业都要求将展开为2f。

习题试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：

(1)fcos22f；(2)afa；(3)expaf2

解：根据功率谱密度P⑴的性质：①P⑴0,非负性；②P(-f)=P(f),偶函

数。可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。

习题试求X(t尸Acost的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。

解：R()lim1左丁2costeos(t)dt

TT/2

T

A

-cos

2

PR(0)-A?2

2

下面的答案有疑问，最好是用课本中的式(该公式是针对确知信号的)，而

用课本中的式(该公式是针对随机信号的)是有疑问的。

解：R(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=E[Acost*Acos((t)]

-1A2Ecoscos(公。—cosR()2

功率P=R(0)=一^

习题X(t)=xcos2txsin2t,它是一个随机过程，其中x和x是相互

I2I2

统计独立的高斯随机变量，数学期望均为0,方差均为20试求：

(l)E[X(t)],E[X2(t)]；(2)X(t)的概率分布密度;(3)R(t,t)x12

解：(1)E[X(t)]E[xcos21xsin21]

I2

E[x]cos21E[x]sin21

I2

=0

E[X2(t)]E[(xcos21xsin21)2]

12

E[X2COS2212xxcos2tsin21X2sim21]

1122

E[X2]COS22tE[X]E[Xlsin41E[x2]sinz21

I122

2(cos22tsin221)

⑵因为X和X服从高斯分布，IXt是x和x的线性组合，所以Xt也服从高

2I2

ex於一。

J222

斯分布，其概率分布函数px

R埠)EXtXtE(xcos2txsin21)xcos21xsin2t

X1/12II2II222

2cos2tcos2tsin21sin2t

12I2

2cos212tl

习题已知噪声nt的自相关函数R—(为常数。

nZ

⑴试求其功率谱密度函数Pf和功率P；(2)画lllk和Pf的曲线。n

nn

解：(l)P(i)R()eid-e^e)d21_

nnK2(2f)2

k

PR0k2

图2-2

习题设输入信号x(t),将它加到由电阻R和电容C组成的高

vz,I

通滤波器(见图2・3)上，RC=。试求其输出信号y⑴的能量谱密度。

解：高通滤波器的传输函数为

R

H(f)—

Rl-

j2fC

输入信号的傅里叶变换为

(0图2-3RC高通滤波器

X:前J21______

输出信号y⑴的能量谱密度为

G(f)Y⑴2|X⑴H(fp|

(Rj2f)

42f24

182f22164f44

习题设有一个LR低通滤波器如图24所示。若输入信号是一个均值为0、

双边功率谱密度为加高斯白噪声时，试求

(1)输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。

解：(1)LR低通滤波器的传输函数为

=----犷图2-4LR低通漉波器

输出噪声的功率谱密度为

匕⑷加0吟吟』

对功率谱密度做傅立叶反变换，可得m相关函数为

心⑺-I[匕(7)]=中”丁

4A

(2)输出亦是高斯过程，因此

〃R

。？=〃忖(0)一/\,(8)="2(0)一0=笠

4L

习题设一个载波的表达式为c(t)5cos1000t,基带调制信号的表达式

为：m(t)=l+cos200to试求出振幅调制时己调信号的频谱，并画出此频谱图。

解：stmtct1cos20015cos10001

5cosl000t5cos200tcoslOOOt

5cos1000t—Wos1200tcos800t2

由傅里叶变换得

Sf-I500f5005.f600f600

24

”400f400

已调信号的频谱如图3-1所示。

-S⑴

平

-600-500-40000

图3-1习题图

习题试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之

和最大等于载波功率的一半。

证明：设基带调制信号为m(t),载波为c⑴=Acos3则经调幅后，有

0

s(t)1m(t)Acosto

AM

---1m(t)2A2cos2to

已调信号的功率P”噌D

=A2cos2Im2⑴A2cos212m(t)A2cos2t

000

因为调制信号为余弦波且其振幅小于等于1,设调制信号振幅为A且A1,

故

m'(t)0,m2(t)ln2

则：载波功率为PAicos2t

Co2

----------------A2A2A2

边带功率为Pm、⑴A2cos20t——

因此工io即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波功率的一半。

2

习题设角度调制信号的表达式为s(t)10cos(2*106t10cos2*103t)o试

求：

(1)已调信号的最大频移；(2)已调信号的最大相移；(3)已调信号的带

宽。

解：(1)已调信号的瞬时相位为

(02106110cos2000t

瞬时角频率为

d(t)

(t)2106102000sin2000t

故最大频移fIO*2000—1()kH2

2

(2)已调信号的瞬时相位为

(t)2106t10cos2000t

故已调信号的最大相移10rad

(3)因为调制指数m]0，=4上1。01ff

m

所以已调信号带宽B2(ff)2(10103103)22kHz

m

习题若语音信号的带宽在300~3400Hz之间，试按照奈奎斯特准则计算理

论上信号不失真的最小抽样频率。

解：由题意，f=34OOHz,f=300Hz，故语音信号的带宽为

HL

B=3400-3003100Hz

f=3400Hz=y1OCu--3100=nBkB

B|Jn=l,k=3/31o

根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为

f=2B(l-)^23100(12—)=6800Hz

sn31

习题若信号s(t)sin(314t)/314t。试问：

(1)最小抽样频率为多少才干保证其无失真地恢复

(2)在用最小抽样频率对其抽样时，为保存3min的抽样，需

要保存多少个抽样值

(a)(b)

图4-1习题图

解：s⑴sin(314t)/314t,其对应的傅里叶变换为

S()八阂一

0,其他

信号s(t)和对应的频谱S()如图4-1所示。所以

%H/2314/250Hz

根据低通信号的抽样定理，最小频率为f2f250100Hz,即每秒采

sH

100个抽样点，所以3mm共有：100360=18000个抽样值。

习题设有一个均匀量化器，它具有256个量化电平，试问其输出信号量噪比

等于多少分贝

解：由题意M=256,根据均匀量化的信号量噪比公式得

SN201gM20lg25648.16dB

q/MdB

习题在A律PCM语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等于时,

输出的二进制码组。

解：信号抽样值等于，所以极性码c=l。

1

查表可得(I3哭，11.9砂所以的段号为7,段落码为110,故ccc=119w4

第7段内的动态范围为：("99为上内量化码为n，则

n—―=,可求得n,所以量化值取3。故cccc=0011。

643.935678

所以输出的二进制码组为。

习题若消息码序列为，试求出AMI和HDB码的相应序列。

3

解：AMI码为1101001000001

HDB码为1101001000101

3

习题设一个二进制单极性基带信号序列中的T和笺'分别用脉冲g⑴现图5-2]

的有无表示，并且它们浮现的概率相等，码元持续时间等于T0试求：

(I)该序列的功率谱密度的表达式，并画出其曲线；

(2)该序列中有没有概率f1/T的离散分量若有，试计算其功率。

解:

(1)由图5-2得

0其他

g(t)的频谱函数为：G(w)—^Sa2

由题意，POP1P1/2,且有g(t)=O,g|(t)=gf)，所以

GJf)0(f)G(f),将其代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度函数的表达式

中，可得

P⑴一P11P)p(f)G⑴2[，P工(1P)G」*f工

1

$Tr121TmT2TT

।1

7P(,P中⑴2|-(1P)G『f罕

曲线如图5・3所示。

图习题图2

(2)二进制数字基带信号的离散谱分量为

P(w)gSa，*f罕

v1621

m

当1!1=±1时，f=±i/r,dp」一式得

。(“)[7"与4_fV朱Sa；_fJ

v162T162T

因为该二进制数字基带信号中存在f=l"的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提

取码元同步需要的仁1"的频率分量。该频率分量的功率为

习题设一个基带传输系统接收滤波器的输出码元波形h(t)如图5-6所示。

(1)试求该基带传输系统的传输函数H(f)；

(2)若其信道传输函数C⑴1,且发送滤波器和接收滤波器的传

输函数相同，即G⑴G(f),试求此时G⑴和G⑴的表达式。

TRTR

图5-6习题图

解：⑴令g⑴"刍层6可得hd，因为g⑴

UR2

0其他

的频谱函数G(f)-Ia2I2L,所以，系统的传输函数为

24

.2fr_T_T2f.2fT

H⑴=G(%J2Sa2eJ

242

(2)系统的传输函数H(f)由发送滤波器G(。、信道C⑴和接收滤波器G⑴三T

部份组成，即H(f)=C(f)G(f)G(f)o因为C⑴I,G(f)G(f),则

TRT

H(f)=G2(f)=G2(f)

TR

2fj21T

所以G*f)=q(f)=H(e

习题设一个基带传输系统的传输函数H⑴如图5-7所示。

(1)试求该系统接收滤波器输出码元波形的表达式：

(2)若其中基带信号的码元传输速率R2f,试用奈奎斯特准则Bo

衡量该系统能否保证无码间串扰传输。

囱5-7习趣图

解：(2)当R2f时，需要以fR/2f为间隔对Hif)进行分段叠加，即分

B0B0

析在区间［ff］叠加函数的特性。由于在［ff］区间，H⑴不是一个常数，且又不

0.00.0

以f=f处奇对称，所以存在码间干扰。

0

习题设一个二进制基带传输系统的传输函数为

(1cos2f),f|l/p

H(f)00110

0，其他

试确定该系统最高的码元传输速率R及相应的码元存续时间To

B

图5-8习题图

解：H⑴的波形如图5-8所示。由图可知，H⑴为升余弦传输特性，根据奈奎斯特

准则：曲线以f=W处奇对称，H(f)的最大值为2,最大值的一半为，当H(f尸时,

I000

f=W=l/4。所以，系统的传输函数可等效为理想低通(矩形)特性(如图中虚线所示)。

I0

等效矩形带宽为

最高码元传输速率

相应的码元间隔

习题设有一个2PSK信号，其码元传输速率为lOOOBaud,载波波形为

Acos4lOto

(1)试问每一个码元中包含多少个载波周期

(2)若发送“0”和的概率分别是和，试求此

信号的功率谱密度的表达式。

解：(1)由载波波形为Acos4lOl可得，载波频率为2lO^Hz,因此每

个码元中包含2(XX)个载波周期。

(2)2PSK信号的功率谱密度为

pf1pfPff

2PSK4s

式中，f2106Hz,为载波频率；P为双极性矩形脉冲基带信号的功率谱

cS

密度：

出由1Ppff1fs2P1Gmfpfmf

Gf丁sinf兀

*fT

式中，f1000。由上面三式可得

PffPlPpff2।|Gff2

2P121Gopff,f

2

f2106,f22106

sinioo(rsin______

2401000

t21U6

f2106

10-2f2106f2106

习题设有一个4DPSK信号，其信息速率为2400b/s,载波频率为1800Hz,试

问每一个码元中包含多少个载波周期

解：4DPSK信号的码元速率为

RRlog4240021200Baud

Bb7/

所以每一个码元中包含180015个载波周期。

1200

习题设有一个2DPSK传输系统对信号采用A方式编码，其码元速率为2400

Baud,载波频率为1800Hz。若输入码元序列为011010,试画出此2DPSK信号序

列的波形图。

解：如图&7所不。

图6-7习题图

习题设一个2FSK传输系统的两个载频分别等于10MHz和MHz,码元传输

速率为0.2106Baud,接收端解调器输入信号的峰值振幅A40V,加性高

斯白噪声的单边功率谱密度n610isW/Hzo试求：

0

(1)采用非相干解调(包络检波)时的误码率;

(2)采用相干解调时的误码率。

解：(1)2FSK信号采用非相干解调时的误码率Pte出

c2

信号带宽为B|ff0.410620.21()60.8106Hz

A2401()6216001012

「八’八…166.67