【优化方案】江苏省高考数学总复习 第6章第六节课件 理 苏教版.ppt

第六节数学归纳法 第六节数学归纳法 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 数学归纳法的适应对象数学归纳法是用来证明关于 命题的一种方法 若n0是起始值 则n0是 正整数 使命题成立的最小正整数 2 数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题 其步骤如下 1 当n 验证命题成立 2 假设n 时命题成立 推证当n 时命题也成立 从而推出对所有的 命题成立 n0 n0 n 时 k k n0 k n k 1 n n0 n n 思考感悟数学归纳法的两个步骤的作用分别是什么 提示 数学归纳法中两个步骤体现了递推思想 第一步是递推基础 也叫归纳奠基 第二步是递推的依据 也叫归纳递推 两者缺一不可 考点探究 挑战高考 用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明n k 1时命题成立 要从n k 1时待证的目标恒等式的一端 拼凑 出归纳假设的恒等式的一端 再运用归纳假设即可 同时 还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化 即用 k 1 替换恒等式中的所有 n 思路分析 按数学归纳法分两步证明 思路分析 方法技巧1 在数学归纳法中 归纳奠基和归纳递推缺一不可 在较复杂的式子中 注意由n k到n k 1时 式子中项数的变化 应仔细分析 观察通项 同时还应注意 不用假设的证法不是数学归纳法 2 对于证明等式问题 在证n k 1等式也成立时 应及时把结论和推导过程对比 以减少计算时的复杂程度 对于整除性问题 关键是凑假设 证明不等式时 一般要运用放缩法 证明几何命题时 关键在于弄清由n k到n k 1的图形变化 3 归纳 猜想 证明属于探索性问题的一种 一般经过计算 观察 归纳 然后猜想出结论 再用数学归纳法证明 由于 猜想 是 证明 的前提和 对象 务必保证猜想的正确性 同时必须注意数学归纳法步骤的书写 失误防范1 数学归纳法的第一步n n0 n0为n取的初始值 但不一定取1 要根据具体题目确定 2 数学归纳法的第二步 由假设n k到n k 1的证明 没有用到假设的结论就证明出n k 1时成立 不符合数学归纳法的思想 3 由n k到n k 1 代数式的变化增项或减项易出错 考向瞭望 把脉高考 通过分析近几年的江苏高考试题可以看出 高考不但考查用数学归纳法去证明现成的结论 还考查用数学归纳法证明新发现的结论的正确性 数学归纳法的应用主要出现在数列解答题中 一般是先根据递推公式写出数列的前几项 通过观察项与项数的 关系 猜想出数列的通项公式 再用数学归纳法进行证明 初步形成 观察 归纳 猜想 证明 的思维模式 利用数学归纳法证明不等式时 要注意放缩法的应用 放缩的方向应朝着结论的方向进行 可通过变化分子或分母 通过裂会项相消等方法达到证明的目的 预测在2012年的江苏高考中 填空题或解答题中涉及到对数学归纳法的考查 本题满分14分 2010年高考江苏卷 已知 abc的三边长都是有理数 1 求证 cosa是有理数 2 求证 对任意正整数n cosna是有理数 当n k 1时 cos k 1 a cosa coska sina sinka 10分sina sin k 1 a sina sina coska cosa sinka sina sina coska sina sinka cosa 12分由 和归纳假设 知cos k 1 a与sina sin k 1 a都是有理数 即当n k 1时 结论成立 综合 可知 对任意正整数n cosna是有理数 14分 名师点评 本题设计新颖 对推理论证能力的考查为主要目的 从第 2 问的叙述上n为正整数 暗示可以用数学归纳法 这也是使用数学归纳法证明问题的标志性符号语言 数学归纳法是 套路型 解题法 但其中的推理过程需要的能力较强 要加强对中间证明环节的训练中间环节的证明 1 设函数f x x xlnx 数列 an 满足0 a1 1 an 1 f an 1 证明 函数f x 在区间 0 1 上是增函数 2 证明 an an 1 1 证明 1 当0 x 1时 f x 1 lnx 1 lnx 0 所以函数f x 在区间 0 1 上是增函数 2 当0 x 1时 f x x xlnx x 又由 1 及f x 在x 1处连续知 当0 x 1时 f x f 1 1 因此 当0 x 1时 0 x f x 1 下面用数学归纳法证明 0 an an 1 1 由0 a1 1 a2 f a1 代入 得0 a1 a2 1 即当n 1时 不等式 成立 假设n k k 1且k n 时 不等式 成立 即0 ak ak 1 1 则由 可