高中数学 （学习导航+题型探究+备选例题+方法感悟） 4.2实际问题的函数建模精品课件 北师大版必修1.ppt

2实际问题的函数建模 学习导航学习目标 重点难点重点 将实际问题抽象为数学问题 并利用函数模型解决 难点 选择合适的函数模型 并正确地运用函数性质解决问题 1 实际问题的函数刻画在现实世界里 事物之间存在着广泛的联系 许多联系可以用函数刻画 用 的观点看实际问题 是学习函数的重要内容 函数 做一做1 一辆匀速行驶的火车90min行驶了180km 则这辆火车行驶的路程y km 与时间t h 之间的函数关系式为 a y 2tb y 120tc y 2t t 0 d y 120t t 0 答案 d 2 用函数建模解决实际问题用数学思想 方法 知识解决实际问题的过程叫作数学建模 可以用图表示数学建模的过程 做一做2 某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整 调整后初期利润增长迅速 后期增长越来越慢 若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系 可选用 a 一次函数b 二次函数c 指数型函数d 对数型函数解析 选d 根据利润增长趋势 符合对数型函数 题型一指数函数型应用题2011年11月28日 世界气候大会在南非德班开幕 报道了 全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5 如果按此速度 设2011年的冬季冰雪覆盖面积为m 从2011年起 经过x年后 北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是 答案 a 名师点睛 本题用指数型函数来揭示了冰雪面积与年限的函数关系 变式训练 题型二分段函数模型应用题有一批单放机原价为每台80元 甲 乙两个商场均有销售 甲商场的优惠办法是 买1台每台少收4元 买2台每台少收8元 买3台每台少收12元 以此类推 直到减到半价为止 乙商场的优惠办法是 一律按原价的70 销售 某公司要为每位员工买1台单放机 问到哪个商场购买比较合算 2 当x 10时 y z 16x 0 即y z 所以公司员工少于6人时 到乙商场购买合算 恰为6人时 到甲 乙两商场一样 超过6人时 到甲商场购买合算 名师点评 充分理解题意 列出函数关系式 然后分类加以比较 最后下结论 变式训练2 某旅游公司有客房300间 每间日房租为20元 每天都客满 公司欲提高档次 并提高租金 如果每间客房增加2元 客房出租就会减少10间 若不考虑其他因素 公司将房间租金提高多少时 每天客房的租金总收入最高 解 设客房租金每间提高2x元时 客房租金总收入为y元 由题意得y 20 2x 300 10 x 20 x2 400 x 6000 20 x 10 2 8000 0 x 150 x n 则当x 10时 y有最大值为8000 即将客房租金提高到20 2 10 40 元 间 时 每天客房租金总收入最高为8000元 题型三函数模型的拟合 本题满分12分 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响 在山上建立了一个观察站 测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y 现有连续10年的实测资料 如下表所示 1 描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像 2 建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y f x 并画出图像 3 根据所建立的函数模型 若今年最大积雪深度为25cm 则可以灌溉土地多少公顷 思路点拨 首先根据表中数据作出散点图 然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型 解 1 描点作图如下 4分 2 从图 中可以看到 数据点大致落在一条直线附近 由此 我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y a bx 取其中的两组数据 10 4 21 1 24 0 45 8 代入y a bx 得 可以发现 这个函数模型与已知数据的拟合程度较好 这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系 9分 3 由y 2 4 1 8 25 求得y 47 4 即当积雪深度为25cm时 可以灌溉土地47 4公顷 12分 名师微博以积雪深度为横坐标 以灌溉面积为纵坐标描点 思维总结 对于此类实际应用问题 关键是建立适当的函数关系式 再解决数学问题 最后验证并结合问题的实际意义作出回答 这个过程就是先拟合函数再利用函数解题 变式训练3 画出散点图 写出一个近似函数关系式 1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图 1 求图中阴影部分的面积 并说明所求面积的实际意义 2 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2012km 试将汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s表示为时间t的函数 2 学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌 已知制作一张课桌与制作一把椅子所用工时数之比为10 7 则这30名工人应当如何分组 一组制课桌 另一组制椅子 能最快完成全部任务 解 完成全部任务的时间 就是两组中需要时间较多的那组所用的时间 因此要想最快完成任务 两组所用的时间之差为零或最小 设x名工人制作课桌 30 x 名工人制作椅子 因为一个工人制作一张课桌所用时间与制作一把椅子所用时间之比为10 7 所以一个工人制作7张桌子和制作10把椅子所用的时间相等 方法技巧1 函数应用题的解题步骤是 仔细阅读 审清题意 引进数学符号 建立数学模型 利用数学的方法将得到的常规函数问题 即数学模型 予以解答 求得结果 再将所得结论转译成具体问题的解答 2 函数拟合与预测的一般步骤是 1 能够根据原始数据 表格 绘出散点图 2 通过考察散点图 画出 最贴近 的直线或曲线 即拟合直线或拟合曲线 如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上 滴 点 不漏 那么这将是个十分完美的事情 但在实际应用中 这种情况一般不会发生 因此 使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧 使两侧的点大体相等 得出的拟合直线或拟合曲线就是 最贴近 的