中考数学专题训练试题：相似三角形的存在性问题.doc

例 中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线yx2都经过点A(2, m) （1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线yx2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求ABC的面积；（3）在（2）的条件下，设直线yx2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标图1 动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点E在射线CB上运动，可以体验到，ACE与ACD相似，存在两种情况思路点拨1直线AD/BC，与坐标轴的夹角为452求ABC的面积，一般用割补法3讨论ACE与ACD相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答（1）将点A(2, m)代入yx2，得m4所以点A的坐标为(2, 4)将点A(2, 4)代入，得k8（2）将点B(n, 2)，代入，得n4所以点B的坐标为(4, 2)设直线BC为yxb，代入点B(4, 2)，得b2所以点C的坐标为(0,2)由A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0,2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4所以AB，BC，ABC90 图2所以SABC8 （3）由A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得AD，AC由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE所以ACE与ACD相似，分两种情况：如图3，当时，CEAD此时ACDCAE，相似比为1如图4，当时，解得CE此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算ABC的面积时，恰好ABC是直角三角形一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图5，作ABC的外接矩形HCNM，MN/y轴由S矩形HCNM24，SAHC6，SAMB2，SBCN8，得SABC8图5例 中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线ymx2mxn（m、n为常数）与y轴交于点，与x轴交于B、C两点（点C在点B左侧），且tanABC如果将抛物线ymx2mxn沿x轴向右平移4个单位，点B的对应点为E（1）求抛物线ymx2mxn的对称轴及其解析式；（2）联结AE，记平移后的抛物线的对称轴与AE的交点为D，求点D的坐标；（3）如果点F在x轴上，且ABD与EFD相似，求EF的长图1动感体验请打开几何画板文件名“14宝山24”，可以体验到，AOB与AOE是两个30角的直角三角形拖动点F运动，可以体验到，ABD与EFD相似有两种情况 思路点拨1不必画出平移后的抛物线，画出对应的点E和对称轴就好了2由点的坐标可以判断，AOB与AOE都是30角的直角三角形3探究ABD与EFD相似，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程满分解答（1）由ymx2mxn，得抛物线的对称轴为直线在RtAOB中，OA，tanABC，所以OB2，AB4，ABC30所以点B的坐标为(2, 0)将、B(2, 0)代入ymx2mxn，得解得，所以抛物线的解析式为（2）如图2，点B(2, 0)向右平移4个单位后得到的点E的坐标为(6, 0)对称轴向右平移4个单位后得到的直线为，设直线与x轴交于点H，那么在RtAOE中，OA，OE6，所以，E30，在RtDHE中，E30，所以，所以所以点D的坐标为图2（3）因为BADE30，所以ABD与EFD相似存在两种情况：当时，此时当时，此时考点伸展如果第（3）题探究ABC与EFD相似，那么EF的长又是多少？因为ABC是30底角的等腰三角形，腰长与底边的比是，因此存在两种情况：当时，EF3（如图3）当时，EF1（如图4）图3 图4例 中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线AB过点A(3,0)、B(0,m)（m0），tanBAO2 （1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数的图像与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BDBC），当AD2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数的图像于点F，联结OE、OF，当OEF与OBE相似时，请直接写出满足条件的所有k2的值图1动感体验请打开几何画板文件名“16虹口24”，拖动点F在直线EM上运动，可以体验到，OEF有两次机会可以与OBE相似思路点拨1第（2）题的关键是求点D的坐标，构造DHx轴2第（3）中，当点F在点E下方时，OEFBOE，按照对应边成比例，分两种情况求EF的长，得到点F的坐标，就可以计算k2的值了满分解答（1）由A(3,0)、tanBAO2，得OA3，OB6，B(0,6)由A(3,0)、B(0,6)，得直线AB的解析式为y2x6（2）如图2，作DHx轴于H，那么当AD2DB时，所以AH2，DH4所以D(1,4)所以，k14（3），或图2 图3 图4考点伸展第（3）题的解题思路如下：线段AB的中点为E，所以OE当点F在点E下方时，BOEOEF分两种情况讨论相似：如图3，当时，此时MFEMEF所以F，如图4，当时，EFOB6此时MF3所以F，例 中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax23axc与x轴交于A(1, 0)、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0, 2)（1）求抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）求证：CAOBCO；（3）点D是射线BC上一点（不与B、C重合），联结OD，过点B作BEOD，垂足为BOD外一点E，若BDE与ABC相似，求点D的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“16黄浦一模24”，拖动点D在射线BC上运动，可以体验到，当点E在BOD外时，有两个时刻，RtBDE的两条直角边的比为12满分解答（1）由yax23axc，得抛物线的对称轴为直线因此点A(1, 0)关于直线的对称点B的坐标为(4, 0)（2）如图2，因为tanCAO，tanBCO，所以CAOBCO（3）由B(4, 0)、C(0, 2)，得直线BC的解析式为设D以ABC（OBC）为分类标准，分两种情况讨论：如图3，当OBCDBE时，由于OBC与OCB互余，DBE与ODC互余，所以OCBODC此时ODOC2根据OD24，列方程解得x0，或此时D如图4，当OBCEDB时，ODOB4根据OD216，列方程解得x4，或此时D图2 图3 图4 例 中考一模第24题如图1，抛物线yax22axc（a0）与x轴交于A(3,0)、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点为M（1）求a、c的值；（2）求tanMAC的值；（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 图1动感体验请打开几何画板文件名“16浦东一模24”，拖动点P在线段AC上运动，可以体验到，COP与ABC相似存在两种情况 满分解答（1）将A(3,0)、C(0,3)分别代入yax22axc，得解得a1，c3（2）由yx22x3(x1)24，得顶点M的坐标为(1,4)如图2，作MNy轴于N由A(3,0)、C(0,3)、M(1,4)，可得OAOC3，NCNM1所以ACOMCN45，AC，MC所以ACM90因此tanMAC（3）由yx22x3(x3)(x1)，得B(1, 0)所以AB4如图3，在COP与ABC中，OCPBAC45，分两种情况讨论它们相似：当时，解得此时点P的坐标为(2,1)当时，解得此时点P的坐标为图2 图3例 中考一模第24题如图1，已知二次函数的图像经过A(0, 8)、B(6, 2)、C(9, m)三点，延长AC交x轴于点D（1）求这个二次函数的解析式及m的值；（2）求ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与MDQ相似，求此时点P的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“16普陀一模24”，拖动点Q在线段AD上运动，可以体验到，APQ与MDQ相似只存在一种情况 满分解答（1）将A(0, 8)、B(6, 2)分别代入，得解得，c8所以二次函数的解析式为所以（2）由A(0, 8)、C(9, 5)，可得直线AC的解析式为所以D(24, 0)因此cotADO3（3）如图2，如果APQ与MDQ相似，由于AQPMQD，PAQ与DMQ是钝角，因此只存在一种情况，APQMDQ因此APQD作BNy轴于N，那么BPND因此cotBPNcotD3所以PN3BN18此时点P的坐标为(0, 20)图2 例 中考模拟第24题如图1，平面直角坐标系中，已知B(1, 0)，一次函数yx5的图像与x轴、y轴分别交于A、C两点二次函数yx2bxc的图像经过A、B两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图像的顶点，求APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且ABC与AOQ相似，求点Q的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江24”，拖动点Q在AC上运动，可以体验到，AOQ与ABC有两次机会可以相似思路点拨1用A、B两点的坐标可以直接写出抛物线的交点式2抛物线的对称轴把APC分割为共底的两个三角形，高的和等于A、C两点间的水平距离3按照对应角相等，对应边成比例，分两种情况讨论ABC与AOQ相似满分解答（1）由yx5，得A(5, 0)、C(0, 5)因为抛物线yx2bxc与x轴交于A(5, 0)、B(1, 0)两点，所以y(x5)(x1)x24x5（2）由yx24x5(x2)29，得顶点P的坐标为(2, 9)如图2，设抛物线的对称轴与AC交于点D，与x轴交于点F，那么D(2, 3)作CEPD于E所以SAPCSAPDSCPD15（3）因为AOQ与ABC由公共角A，所以它们相似存在两种情况：如图3，当时，解得AQ作QHx轴于H，那么AHQH3此时点Q的坐标为(2, 3)如图4，当时，解得AQ此时AHQH此时点Q的坐标为图2 图3 图4考点伸展第（2）题也可以这样来“割补”求APC的面积：如图5，联结PO所以SAPCSPOASPOCSAOC15图5例 中考一模第24题如图1，已知抛物线yax2bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是(3, 0)，tanOAC3（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且PABCAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上的一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与ABC相似，求出符合条件的点D的坐标 图1动感体验请打开几何画板文件名“16松江一模24”，拖动点D在y轴正半轴上运动，可以体验到，BCD与ABC相似存在两种情况 满分解答（1）由yax2bx3，得C(0,3)，OC3由tanOAC3，得OA1，A(1, 0)因为抛物线与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)代入点C(0,3)，得a1所以y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，作PHx轴于H设P(x, (x1)(x3)由tanPABtanCAB，得所以解得x6所以点P的坐标为(6, 21)（3）由A(1, 0)、B(3, 0)、C(0,3)，得BA4，BC，ABCBCO45当点D在点C上方时，ABCBCD45分两种情况讨论BCD与ABC相似：如图3，当时，CDBA4此时D(0, 1)如图4，当时，解得此时D图2 图3 图4 专题训练二 相似三角形的存在性问题例1 中考模拟第24题如图1，平面直角坐标系中，已知B(1, 0)，一次函数yx5的图像与x轴、y轴分别交于A、C两点二次函数yx2bxc的图像经过A、B两点（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P是该二次函数图像的顶点，求APC的面积；（3）如果点Q在线段AC上，且ABC与AOQ相似，求点Q的坐标图1例2 中考一模第24题如图1，抛物线yax22axc（a0）与x轴交于A(3,0)、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，抛物线的顶点为M（1）求a、c的值；（2）求tanMAC的值；（3）若点P是线段AC上的一个动点，联结OP问：是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由例3 中考一模第24题如图1，已知抛物线yax2bx3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已知点B的坐标是(3, 0)，tanOAC3（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P在x轴上方的抛物线上，且PABCAB，求点P的坐标；（3）点D是y轴上的一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与ABC相似，求出符合条件的点D的坐标 图1例4 中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，直线AB过点A(3,0)、B(0,m)（m0），tanBAO2 （1）求直线AB的表达式；（2）反比例函数的图像与直线AB交于第一象限内的C、D两点（BDBC），当AD2DB时，求k1的值；（3）设线段AB的中点为E，过点E作x轴的垂线，垂足为点M，交反比例函数的图像于点F，联结OE、OF，当OEF与OBE相似时，请直接写出满足条件的所有k2的值 图1例5 中考一模第24题如图1，已知二次函数的图像经过A(0, 8)、B(6, 2)、C(9, m)三点，延长AC交x轴于点D（1）求这个二次函数的解析式及m的值；（2）求ADO的余切值；（3）过点B的直线分别与y轴的正半轴、x轴、线段AD交于点P（点A的上方）、M、Q，使以点P、A、Q为顶点的三角形与MDQ相似，求此时点P的坐标 图1例6 中考一模第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax23axc与x轴交于A(1, 0)、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0, 2)（1）求