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与三角形中线、正切相关的结论及应用命题1 中, 是边上的中线，则.命题2 中, 是边上的中线，则.命题1，有效的实现向量与数量的统一，沟通了数量积与三角形三边之间的关系；而命题2是“平行四边形两条对角线的平方和等于四边平方和”这一结论的三角形的形式，也就是中线长定理（也称阿波罗尼奥斯定理）命题3 矩形，.ABCDO即：矩形所在平面内任一点到矩形两对角线的端点的距离的平方和相等.命题3，可有效的解决图形中有“垂直关系”的问题，其实质就是中线长定理在矩形中的进一步的推论.【2017南通一模14】在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点,且，则线段的长的取值范围为_ .解析：设以为顶点的矩形是则，所以.【2016江苏13】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点， ，则 的值是 . 【答案】【解法一】：（基底法）设，则，代入， 得：，即这是一个含三个未知量的方程组，用其中一个量表示另外两个量得：所以.【点评】解法一的难点在于得到一三元方程组后，不会处理.【解法二】：（利用三角形中线的代数形式）因为，所以，故考点：向量数量积 【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线向量问题，利用向量加法与减法的平行四边形法则，可以得到一个很实用的结论：（其中点是边的中点），我们不妨称之为“三角形中线的代数形式”.证明如下： 由三角形中线的向量形式得：， 又，两式平方相减，整理立得：.7.（2018江苏13）在中，角所对的边分别为，的平分线交与点D，且，则的最小值为 解法一:(由等面积法探究间关系) ，即 ，即所以（当且仅当时，“”成立）所以的最小值为9解法二：(由三角形内角平分线定理、向量法探究间关系) 由三角形内角平分线定理得：所以，两边取模得：化简得：，即（下略）.解法三：(利用建系、三点共线法探究间关系) 以为坐标原点，作为轴正半轴，建立直角坐标系，则，三点共线 化简得（下略）.在中，已知AB边上的中线CM，且成等差数列，则的长为 【答案】解析：在中，根据中线长公式，得 由成等差数列，得，从而 ，解得，（2019南通四模）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，S为ABC的面积若不等式kS3b23c2a2恒成立，则实数k的最大值为 答案：解析：在中，根据中线长公式，所以，则实数k的最大值为 解析二: 余弦定理方向，(下略).（2019南师预测卷）在ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c若ABC为锐角三角形，且满足a2b2bc，则的取值范围是 简析：由正弦定理a2b2bc可化为，即，所以，又ABC为锐角三角形，故，所以另一方面.点评：公式作为二级结论须记住（简称“正弦的平方差公式”）1. 在锐角中，若，依次成等差数列，则的值为 【答案】1【解析】依题意，因为，所以 ，所以；2. 在ABC中，已知sinA13sinBsinC，cosA13cosBcosC，则tanAtanBtanC的值为 【答案】196【解析】依题意cosAsinA13cosBcosC13sinBsinC，即cosAsinA13cos，即cosAsinA13cosA，所以tanA，又易得tanAtanBtanC，而tanAtanBtanCtanAtanBtanC，所以tanAtanBtanCtanA3.（2016江苏14）在锐角三角形中，则的最小值是 【答案】8【解析】由，可得（*），由三角形为锐角三角形，则，在（*）式两侧同时除以可得，又(#)，则，由可得，21cnjycom令，由为锐角可得，由(#)得，解得，由则，因此最小值为，当且仅当时取到等号，此时，解得（或互换），此时均为锐角4. ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则cosAcosBcosC 解析：由及正弦定理得: 代入解得，所以，故. 5.设，且，若，则 .简析：，又由立得：.5.在中，若tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = .解析：两边同时除以tanAtanB得切化弦得，即，即根据正余弦定理得，化简得.解析二：注意到已知是关于的对称式，令得，即切化弦得，即根据正余弦定理得，化简得.6.（2019南通五月联考）在锐角中，是边上的中线，且，则的最小值是_.简析：看到“切”，想到“化斜为直”，作边上的高，易得，以为主元，化简得.简析二：看到“中线”，想到“三角形的中线长定理”.在中，根据中线长公式，所以，即，即，由余弦定理得：，即，由正弦定理得：，易得（下略）.（2019无锡期末）在锐角三角形 ABC 中，已知 2sin2 A+ sin2B = 2sin2C，则的最小值为答案：考点：正弦定理，三角函数，基本不等式。解析：（作高线，化斜为直，角化边