数学联赛数列题选1

全国高中数学联赛准备试题分类解析全国高中数学联赛准备试题分类解析 数列部分数列部分 班别 学号 姓名 1 设是一个等差数列 记 则的最小值为 n a 121 19 3 aa 16nnnn Aaaa n A 2 函数满足 且对任意正整数都有 则 f x 1 1003f n 2 1 2 fff nn f n 的值为 2006 f 3 已知数列 an 满足 3an 1 an 4 n 1 且 a1 9 其前 n 项之和为 Sn 则满足不等式 Sn n 6 0 n N 1 分m 2 1 8 nn ama 1 a n a 又 两式相减得 2 1 8 nn ama 111 8 nnnnnn aaaaaa 与同号 4 分 1nn aa 1nn aa 对 n N 恒成立的充要条件是 0 7 分 1nn aa 21 aa 由 0 得 7 8 分 21 aa 1 1 8 m m 2 证法 1 假设存在 使得对任意正整数都有 mn 1 9 2007 4 n a 则 则 17 9 分 2 9 4 a m 另一方面 11 分 1nn aa 2 1 8 nn maa 2 116 4 88 n m a 16 8 m 21 aa 16 8 m 32 aa 16 8 m 1nn aa 16 8 m 1n aa 16 1 8 m n n a 1 16 1 8 m an 16 1 1 8 m n 14 分 当 m 16 时 由 知 不可能使对任意正整数 n 恒成立 n a 1 2007 n a 15 分 m 16 这与 17 矛盾 故不存在 m 使得对任意正整数 n 都有 m 1 9 2007 4 n a 16 分 2 证法 2 假设存在 m 使得对任意正整数 n 都有 1 9 2007 4 n a 则 则 17 9 分 2 9 4 a m 另一方面 11 分 1 11 20 884 n n nn amm am aa 2 1 0 4 am a 3 2 0 4 am a 1 0 4 n n am a 14 分 1 1 4 n n am a 1 4 n n m a 当 m 16 时 由 知 不可能使对任意正整数恒成立 n a 1 2007 n a 15 分 m 16 这与 17 矛盾 故不存在 m 使得对任意正整数 n 都有 16 分 m 1 9 2007 4 n a 10 已知数列满足 求的通项公式 n a1 21 aa 4 1 21 n n aa a 3 n n a 122 1 1 44 nn nn aaa aa 12 1 1 11 2222 nn nn n aa aa 1 1 21 2 122 n nn n n n n anaa 11 设 n S是数列 n a的前n项和 且 n a 是 n S和2的等差中项 1 求数列 n a的通项公式 2 设 1 4 2121 3 nn n T 2 12 222 n n MnN TTT 求证 13 24 M 解 1 n a是 n S和2的等差中项 22 nn Sa 当1 n时 11 22Sa 解得2 1 a 当时 11 22 nn Sa 2n 得 11 22 nnnn aaSS 2 nNn 1 22 nnn aaa 1 2 nn aa 2 1 n n a a 2n 数列 n a是首项为2 公比为2的等比数列 n n a2 2n 当时 符合上式 所以数列 n a的通项公式为 1n 1 1 22a 2n n a n N 3 1 4 2121 3 nn n T 1 1 232311 4 2121 4 2121 nn nn nn n T 2 12 222n n M TTT 1223341 311111111 42121212121212121 nn 1 31 1 421 n 1 213 n 1 1313 1 24421 n 即 13 24 M 12 已知数列 an 满足 a1 a2 1 an 2 an 1 an Sn为数列的前 n 项和 求证 Sn 2 n n a 2 13 设函数的定义域为 R 当时 且对任意实数 有 yf x 0 x 1f x x y 成立 数列满足且 f xyf x f y n a 1 0 af 1 1 2 n n f anN fa 1 求的值 2008 a 2 若不等式对一切均成立 求的最大值 12 111 1 1 1 21 n kn aaa nN k 16 已知数列 an 满足 a1 3 a2 6 an 2 2an 1 3an 求通项 an 解 由特征方程 x2 2x 3 得 x1 3 x2 1 所以 an 3n 1 n 其中 96 33 14 正数列 a0 a1 an 满足 2an 1 n 2 且 a0 a1 1 求通项 212 nnnn aaaa 15 已知函数 数列满足 3 2 3 31 xx f x x n x 1 2x 1 nn xf xnN 记 1 3 1 1 log 1 n n n x b x nN 1 求证 数列成等比数列 并求数列的通项公式 n b n b 2 记 求数列的前项和公式 nn cnb nN n cn n T 16 2013 广东预赛 已知数列的各项均为正数 且对任意 都有 n a 12 1 3aa nN 问 是否存在常数 使得对任意都成立 2 12 2 nnn aa a 21nnn aaa nN 解 在中 令 得 2 12 2 nnn aa a 1n 3 7 a 若存在常数使得 则 21nnn aaa 132 8 3 aaa 2 12 2 nnn aa a 2 11 2 2 nnn aaannN 2222 12111112nnnnnnnnnnnn aaa aaaaaaaa a 由于 上式两边同除以 得0 n a 1nn a a 112 1 2 nnnn nn aaaa n aa 所以 21113 12 8 3 nnnn nn