【毕业学位论文】（Word原稿）关于潍坊城区初中学生数学符号感的调查与研究-中学数学教学

学号： 分 类 号： 密级： 公开 学校代码： 10636 四川师范大学 硕 士 学 位 论 文 关于潍坊城区初中学生数学符号感 的调查与研究 学 生 类 别 教 育 硕 士 培 养 单 位 四川师范大学数学与软件科学学院 指 导 教 师 职称 教授 专 业 名 称 学科教学数学 研 究 方 向 中学数学教学 论文完成日期 2010 年 2 月 1 日 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师 张红教授 指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥有学位论文的部分使用权，即： 1）已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷版和电子版学位论文， 可以 将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 供 检索； 2）为教学、 科研 和学术交流 目的，学校可以将公开的学位论文或解 密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在 有关 网 络 上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 （保密的学位论文在解密后适用本授权书） 学位论文作者签名： 郭建辉 导师签名： 张红 签字日期： 2010 年 5 月 4 日 签字日期： 2010 年 5 月 5 日 关于潍坊城区初中学生数学符号感的调查与研究 教育硕士 学科教学数学 专业 研究生 郭建辉 指导教师 张红 摘要 ：符号，是人类的一项伟大发明，我们生活在一个符号化的世界里。数学符号，是数学的语言，它承载了数学概念、数学运算、数学关系及逻辑推理，使数学思维过程更加概括，准确。数学符号从记数符号开始，经历了运算符号、符号代数、数学符号的扩充几百年的发展，最终形成了数学符号系统。它具有形式化，直观性，抽象化，通用性的特征。而符号感，作为一种对数学符号的感觉和领悟力，在数学的学习中，具有不可替代的作用。本文中，笔者根据课程标准中对符号感表现的表述将符号感分为能正确理解符号的含义；能从具体情境中抽象出数量关系和变化规 律，并用符号来表示，且会进行符号的运算；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号的表示的问题；能用把具体问题抽象成符号，并用符号来解决问题等 6 个方面，来研究符号感。 笔者通过调查问卷的方式对潍坊城区初中一二年级学生的数学符号感的现状进行了调查研究。主要从同年级不同类型的班级，不同年级同类型的班级总体差异和在符号感 6 方面表现的差异，以及性别差异等几个方面展开分析。 研究发现，从整体上来看，学生的符号感有待提高，特别是“正确、全面理解符号的含义”及“把具有问题中抽 象成符号，并用符号来解决问题”方面，应该是今后培养的重点。同时还发现： （ 1）通过同年级不同类型班级之间的比较，不同学力水平的学生的符号感现状是不同的，数学能力水平较强班级的学生的符号感要好于数学能力水平较弱的班级。 （ 2）通过不同年级同类型班级之间的比较，两个年级学生的符号差异并没有想象的大，但是也能说明了随着认知水平和生活经历的丰富，符号感是有所加强的。 （ 3）通过性别之间的比较，符号感在初中一二年级的性别差异基本是很不明显的，但是，还是能看出从初一时女生占优势，到初二这种优势在缩小。男生在利用符号解决 问题的能力方面占优，女生在理解符号含义、用符号表示数量关系和变化规律方面占优。 最后，笔者通过教学经历中发现的学生在数学符号认识方面出现的问题进行了案例分析，对初中学生的数学符号感现状和数学符号认识上存在的障碍及原因做了更深一步的讨论。 通过以上的结论，笔者在对符号感的培养方面及后续研究提出一些见解和建议。 关键词 ：符号；符号感；符号的运算；表象；策略 is a we in a of of a of to In is It of as a of an in In of to of it be of a to to of of ne wo of is on on on of of of in in of so be of of of to to be of At of of of is is in of in of of in of so it of be 3. a ne wo of is so it be is a in of a in of to a in of on is a on of of in a of on of 目 录 中文摘要 英文摘要 第一章 数学 符号 的形成发展与特征分类 学符号的形成与发 展 1 学符号的特征 4 学符号的分类 5 第二章 符号感及研究符号感的意义 号感 内外有关符号感的阐述及研究成果 9 内外有关符号感培养的阐述及研究成果 11 究符号感的意义 究符号感的理论意义 16 究符号感的现实意义 17 第三章 符号感的研究方法 查问 卷 20 究的对象 20 查问卷的设计 21 例分析 24 第四章 符号感调查研究的结果及分析 生的符号感现状的整体发展状况 生符号感现状的班级差异 25 生符号感现状的年级差异 30 生的符号感现状的性别差异比较 、女生在平均成绩上的 差异比较 34 、女生在符号感的 6 方面表现的差异比较 36 第五章 有关符号感现状及发展障碍的案例分析 中学生在“字母表示数”的理解与应用现状及产生障碍 的分析 39 中学生对“ = ” 的理解与使用现状及存在的障碍析 40 中学生在辅助符号“（）、 、”等的理解与使用现状及存在的障碍分析 42 中学生对“符号串”的理解与应用现 状及存在的障碍分析 44 中学生在某些数学符号应用上障碍与分析 45 第六 章 符号感现状调查结论与培养符号感策略的探索 究结论 查问卷的研究结论 生符号感的整体状况和发展趋势 47 生符号感的性别差异 48 例分析的研究结论 48 养符号感策略的探索 49 后续研究的设 想 53 参考文献 附录 致谢 第一章 数学 符号的形成发展与特征分类 在初中刚刚引入 “ 负数 ” 和 “ 用字母表示数 ” 时，会有这样一道典型的题目：若 a 表示任意一个有理数，那么 否表示表示负有理数。题目的形式可能是判断题，可能是问答题，也可能是选择题。可是无论哪种形式的题目，大约有 80%的学生的第一回答是： 负的。如果换成数字，学生马上就知道正确答案了，可是换成了 “a” 这个符号，就不明白了，而且，在教师讲解后，每个班还会有几个学生不能很快明白。这大概是 所有初中数学教师在教学中都会遇到的问题，为什么会出现这样的问题呢？这是学生哪种学习能力出了问题呢？这里我们就要提到一个概念 “ 符号感 ” 。这个词对大家来说，也许很陌生，不像 “ 语感 ”“ 数感 ”提到的那么多。直到 2001年的九年制义务教育数学课程标准（实验稿）（以下简称课程标准）中才提出 “ 强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力 ” 1，与 数感等成为义务教育阶段数学的六部分学习内容之一。随后，开始受到国内数学教育一线教师，课程改革研究者的关注，开始就 “ 符号感 ” 进行 讨论和研究。 学符号的形成与发展 要说 “ 符号感 ” ，就要先从符号开始说起。 符号，可以说是人类的伟大发明之一，是人类文明的象征。符号是人们对某种事物的记号，是人们用简单的记号去表现复杂的事物，符号现在 用的非常广泛，无处不在，可以说我们生活在符号的世界里。开车的朋友都知道，路上所有的交通标志都是一些符号。就连人类的语言，我们也可以看成是人类表达思想的一种符号系统。 而数学可以说是世界上最严谨，最精确的科学， 其严谨和精确，很大程度上是取决于它的语言 数学符号的，数学符号承1 中华人民共和国教育部制定全日制义务教育数学课程标准（试验稿） M北京：北京师范大学出版社， 2001 载了数学概念、数学运算、数学关 系及逻辑推理，使数学思维过程更加概括，准确。没有了这种符号语言，数学也就不会发展到今天。数学符号的形成经历了一个漫长复杂的过程，是随着数学的发展逐步提出，并随着数学发展逐渐得到完善的。 1 记数符号 数学符号里最基本的符号就是数字，也是在所有符号里出现最早的。其实，数及其数学符号早在文字出现之前就出现了，从最早的 “ 结绳记事 ” 到不 同进位制的数字符号的出现，不同的文明古国随着生产力的发展，产生了一些不同的记数符号，如：罗马人的五进制，中国和埃及的十进制，玛雅人的 20 进制等等。而现在世界普遍使用的阿拉伯数字 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9，最初是由印度人创造的，后来传入阿拉伯，并通过欧洲商人带到了欧洲。由于这种数字书写、概括上的优越性，很快就在世界范围内普及推广开来了。 记数符号是人们在对自然界的认识中逐渐发明、改进的，后来又随着数学自身发展选择并推广的。 2 运算符号 有关加减乘除等的运算，早在古巴比伦时代就已经非常发达了，但是由于当时数学才刚刚起步，记数符号也处于萌芽状态，运算符号还没有产生和发展的必要条件。人们都是通过默认的方式来表达运算关系，只需要通过对上下文的理解，就能基本弄明白里面的概念和关系。但 是随着数学的迅猛发展，这种含糊其辞的表达方式就不能满足数学发展的需要。 15 世纪起，人们开始发明一些运算符号，来满足数学表达的需要。 “+” 和 “ ” 是由 15世纪德国人维德曼首先创用，后有荷兰数学家赫克正式用作运算符号； “” 号是英国人奥特雷德首创的； “” 是由瑞士人雷恩发明的； “=” 是英国人雷科德首先运用的，但是一直到 17 世纪后期，才逐渐通用； “ ” 和 “ ” 是英国人哈里奥特首先使用；而 “ （） ” 是德国人克拉维斯最早使用，等等。 运算符号的产生是数学发展的必然产物，为数学的继续发展奠定了坚实的基础，对后面符号代数的 发展而言，是不可或缺的。 3 符号代数 代数早在古巴比伦时代就已经非常发达，到古希腊的丢番图时代，丢番图突破传统，开创了简字代数，到了 1516 世纪，由于代数学始终没有良好的符号表示，发展极为缓慢，到 16 世纪末，法国数学家韦达改变了这种状态，成为了数学史上第一个有意识、有系统的使用字母代表数的数学家，对数学的发展产生了巨大的影响，稍后的笛卡尔对韦达的符号做出了改进，成为了我们现在的通用的符号。 符号代数的产生，推动了解析几何和微积分的创立，是数学发展史上的里程碑之一。 4 数学符号的扩充 到 16 世纪末到 17 世纪初，德国数学家莱布尼兹创立了符号逻辑学，用代数改造逻辑。沿着这种思路，英国数学家布尔将数学方法引入逻辑学，建立了更加完善的数理逻辑符号系统，对数理逻辑做出了实质性的推动。与布尔同时代以及以后的许多人，像弗雷格、罗素、皮亚诺等人，都为数理逻辑的发展做出了重要的贡献，使数理逻辑发展成一门成熟的学科。而且，随着数学符号的不断扩充，数学符号系统更加完善， 20 世纪上半叶，美国实用主义哲学家皮尔斯对符号进行了研究，创立了关于符号的一般理论。 30 年代，美国哲学家 C W 英里斯系统的总结了符号的应用规律，出版了符号学 基础和符合、语言与行动，使符号学发展成为一门独立的学科。 1 数学符号的创造是在数学发展的过程中逐渐形成和发展的，数学研究中每提出一种新的概念、理论、方法，必然会增加一些新的符号。因此，数学符号是一个不断扩充的开放的系统。 学符号的特征 1徐品方，张红数学符号史 M北京：科学出版社， 2006， 346 数学符号是抽象的语言，是文字的缩写，是数学家们记录、交流和传达数学思维信息的简明话语，数学符号用无声的音符，传达着严谨的数学概念和缜密的思维，已故的数学史家梁宗巨先生曾说过： “ 一套合适的符号，绝不仅仅是起速记、节省时间的作用。它能精确、深刻地表达某种概念、 方法和逻辑关系，一个较复杂的公式，如果不用符号而用日常语言来叙述，往往十分冗长而且含混不清。 ” 1 1 数学符号具有 “ 形式化 ” 的特征 数学符号的 “ 形式化 ” 特点主要体现在：如用字母符号 a 表示任意一个有理 数；用符号 |a|表示数 a 的绝对值，用字母符号组成的表达式 (a+b)(示平方差公式等。学生学习这些符号，首先要记住它们的外形，理解它们所表示的概念的含义，再通过一定量的练习，逐渐建立起符号的外形与概念意义之间的联系，形成符号与意义之间的形意对应，随着学生对这种形意对应的印象的加深，符号概念 的意义就逐渐寓于符号之中，符号所代表的本质意义就被纳入到学生的认知结构中，并能在新情景下将内容还原。 2 数学符号具有 “ 直观性 ” 的特征 数学符号的 “ 直观性 ” 的特点主要体现在 ：如圆 ，平行 |，垂直 ，角 ，三角形 等。这些符号实际上就是几何图形的象形符号，直观的示意了几何概念、命题、推理之间的相应的数学关系。这样的具有直观表象的符号，对于学生来说，内部表象和外部特征是一致的，学生能采用相对直观的思维表象和心理意向来思考和接受。英国数学家 为，对于初学者来说，几何图形比代数符号更容易掌握接受 。因此，学生在学习这些符号中，只需要通过符号的形象特色和象形特征，去理解、掌握、记忆，非常直观，是所有类型的数学符号中最易掌握的。 3 数学符号具有 “ 抽象化 ” 的特征 1 梁宗巨世界数学史简编 M 宁教育出版社， 1981， 134 数学符号的 “ 抽象化 ” 既包含了 “ 具体化 ” ，也包含了 “ 简明化 ” 的特征，主要体 现在：如 a b 0，表示 a 和 b 这两个数互为相反数 ，而相反数的文字概念只是： “ 只有符号不同的两个数 ” ，这就需 要学生首先从文字概念中抽象出 a，然后抽象出 a+（ =0 这一相反数的本质意义，从而继续推理出若 a+b=0，则 a 与 b 互为相反数。这样的表示，不仅要比文 字表述要简单明了的多，而且包含了多方面的意义，概括性强。对于这种特征的符号，其内涵和外延非常重要，学习过程中，学生对符号概念内涵的抽象过程和其外延的概括过程的体验越深，对符号的抽象意义就理解的越深，符号概念掌握的也就越牢固。 4 数学符号具有 “ 通用性 ” 的特征 数学符号的 “ 通用性 ” 主要体现在：如 示的是一个角的正弦，无论在哪 本书，哪个国家，表示的意义不会随着空间的变化而变化。这样的符号，需要学生加强的是对这种数学词语的“ 词感 ” ，即见到 想到是对数的符号，前苏联教育家维果茨基从语言学的角度分析认为 ：词感 是 优于词义 的 ，它是一个动态的、复杂的流动的整体，并有几个稳定不同的区域，词义则是词感的一个最稳定、最精确的区域，它是词的规定的含义。 1因此，要从多方面加深学生对词义的理解和记忆，形成 相应的 “ 词感 ” ，这些符号也就掌握的越好。 学符号的分类 数学符号是在几千年的发展历程中，根据不同的需求而创造和发展的，根据其功能的不同，也产生了不同的分类方法。 最古老的一种分类是：文词符号、简字符号、符号代数。 根据数学符号的来源可以分为：客观自然形成的、大量用外文字头表示的、象形为主的、演变而来的、名人约 定的、以上原因兼有的。 1 余震球译 维果茨基教育论著选 M 北京：人民教育出版社， 1994 根据主要作用可以分为：元素符号、运算符号、关系符号、约定符号、性质符号与辅助符号。 根据传统和多重意义可分为：文字缩写符号、特殊符号、多重含义符号（一符多义）、一义多符。 根据形式可分为：表意符号、象形符号、表述概念的拉丁语词的简化和缩写、某些特定的符号。 根据数学概念种类的区别可分为：表示数学具体概念的符号、表示数学过程概念的符号、表示数学关系概念的符号、辅助符号。 也有仁者见仁智者见智的分类方法，如：郑毓信在数学方法论中将数学符号分为：缩写意义上的符号与操作意义上的符号。李士 錡在 学教育心理中将数学中的符号分为：字母和数字、标识符、象形符、标点符号。 刘云章在数学符号学概论中将数学符号分为：元素符号、关系符号、运算符号、辅助符号。罗新兵在数学符号的教与学一文中认为中小学数学符号可分为：概念符号、关系符号、单值运算符号、多值运算符号、分组符号、辅助符号。 笔者认为，初中阶段数学符号可分为：概念符号、关系符号、运算符号、辅助符号、具有一定意义的符号串。 1 概念符号 （ 1）表示数的概念的符号，如： 0， ，54， 29%， 等 （ 2）表示代数概念的符号，如： |a|， x， a ，等 （ 3）表示几何图形的符号，如： ， 、 ，等 （ 4）表示集合概念的符号，如： ， 2 关系符号 （ 1）表示数量关系的符号： =， ， ，等 （ 2）表示代数关系的符号： x+5=9， x 3，等 （ 3）表示函数关系的符号： y=2x 3 （ 4）表示运算顺序关系的符号：（）， ， （ 5）表示几何图形关系的符号： ， ， ， 3 运算符号 如： +, , , ，平方，开方， 4 辅助符号 如： ， ， ， 5 具有一定意义的 符 号 串 如 ： 平 方 差 公 式 )(22 ， 完 全 平 方 公 式222 2)( ，勾股定理 222 。 第二章 符号感及研究符号感的意义 符号是数学的基础，有了符号，才有了今天的数学，因此，在数学的学习中，首先要解决的就是让学生认识数学符号，会用数学符号，将数学符号内化为自己知识结构的一部分，从而进行下一步知识的学 习和 空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力的培养，最终达到抽象能力，建模能力，以及涉及到其他学科的能力的培养。 认知发展理论认为：儿童 7是具体符号的发展阶段，活动的要素是从记号发展到概念，从单结构的具体符号活动发展为进一步的抽象多结构的具体符号活动。在这个阶段，培养起儿童良好的符号感，能有助于儿童使用类逻辑和等价逻辑进行操作运算，为下一步形式运算阶段中对抽象的概念与命题的操作奠定良好的基础。 号感 “ 感 ” 是感觉的意思，现代汉语词典中，感觉解释为 “ 客观事物的个别特性在人脑中引起的发应， 感觉是最简单的心理过程，是形成各种复杂心理过程的基础。 ” 1 辞海中的解释是： “ 人类的感觉在复杂的生活条件下和变革现实的活动中得到高度的发展，它不仅是自然的产物，而且也是社会发展的产物。感觉属于认识的感性阶段， 它同知觉紧密结合，为思维活动提供材料。 ” 2 英文的 意义十分丰富，不仅仅是 “ 感觉 ” 的意思 。新英汉词典给出了 4 种相关解释：感觉；辨别力；观念；意识。其中就感觉而言，它主要指人对冷暖、疼痛、饥饱以及烦恼与快乐的感觉，常用于语感、美感、幽默 感等。 3 因此，根据词典的解释， “可译成符号感，符号觉或符号意识，也就是说我们可以把 “ 符号感 ” 理解为一种“ 符号意识 ” ，实际上，我们说的培养学生的符号感，笔者认为，1中国社会科学院语言研究所词典编辑室编 现代汉语词典 M 北京：商务印书馆， 1979，351 2 辞海编辑委员会编 辞海（缩印本） 上海：上海词书出版社， 1979， 1596 3 新汉语词典编写组编 新汉语词典 M 上海：上海译文出版社， 1978， 1237 应该是培养学生一种符号意识，一种看到符号的定向思维和发散思维的意识。 内外有关符号感的阐述及研究成果 “ 符号感 ” 一词出现在 1989 年美国数学教师全国委员会（ 称 制定的 “ 美国数学课程标准 ” （学校数学课程与评估的标准 ）中 。1 在香港的数学课程标准中也提到： “ 建立数字感、符号感、空间感、度量感及鉴别结构和规律的能力。 ” 2 2001 年 7 月教育部制定并颁布的课程标准中，在总体目标中提出要使学 生 “ 经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维。 ” 3并且在内容标准中明确指出 ： “ 课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力。 ” 3与以往教学大纲相比，培养学生的 “ 符号感 ” 为首次提出 。 由于条件所限，笔者未能查 到国外关于 “ 符号感 ” 的描 绘与阐述。 在国内，大部分的论著未对符号感做出描绘和阐述，只有一小部分提到了什么是符号感。如： 上海师范大学王兄在数学教学中的符号感 :表象图式意义下的理解中提到： “ 符号感通常是指对符号的感受和领悟能力 ,对符号适时运用的理解以及对数学结构的感悟。 ” 1 宜春学院郭森明在培养和发展数感与符号感 中提到 “ 所谓符号感就是人们主动自觉地理解和运用符号进行交流与解决问1 002 2 教育部基础教育司组织，数学课程标准研制组编写 全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读 M北京：北京师范大学出版社， 2002， 5 3 中华人民共和国教育部制定 全日制义务教育数学课程标准（试验稿） M 北京：北京师范大学出版社， 2001 1 王兄 数学教学中的符号感 :表象图式意义下的理解 中国教育学刊 J， 2007 1 题的态度与意识。 ” 江苏省徐州市第五中学李桂强在谈中学生数学符号感的培养中提到 “ 而数学符号感则是个体理解符号所表示的实际意义，运用符号 进行运算和转换，从而借助于符号解决数学问题的一种心理品质 。 ” 而 郑毓信教授则在他的 “ 数感 ”“ 符号感 ” 与其它 课程标准大家谈中对符号感做了这样的解释： “ 符号感 ” 这一用词实在值得商榷，因为我们似乎很难想象什么是对于符号（式）的敏感性，对于符号（式）的鉴别（鉴赏）似乎也完全是一种自觉的行为，我们或许也很难发展起某种关于符号（式）演算的估算能力由课程标准中所给出的关于 “ 符号感 ” 的以下解释我们似乎可引出这样的结论： “ 符号感主要表现在：能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进符号（应为 符号表达式 引者注）间的转换，能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题 ” 因为，其中所使用的正是 “ 抽象 ” 、 “ 表示 ” 、“ 理解 ” 、 “ 选择 ” 等这样一些表示自觉思维活动的词语 ” 4而将 “ 符号感 ” 的问题直接转向了 “ 数学语言 ” 。 而论著大多集中在对数学符号（感）的认识和学习上。如： 托和勒理认为：数学符号系统作为一种认识成果，不仅对自身建立知识体系具有确切性、简单性和通用性，而且可以作为其他学科的通用语言，为科学研究工作提供最严格、最恰当的表述方式和推理工具。 1 出有关学习数学符号时的感情反应， (如害怕、犹豫、尴尬、羞愧 )并指出对于学习者而言，他们对符号的感情接 郭森明 培养和发展数感与符号感 江西教育 J， 2002， 21 李桂强谈中学生数学符号感的培养 上海中学教育 J， 2006， 6 4 郑毓信“数感”“符号感”与其它 课程标准大家谈 数学教育学报 J，2002， 8 1 托和勒理数学符号系统的形成与认识功能东北师大学报自然科学版 J， 1995， 2 受能力的重要性。 2 出：孩子们必须在遇到正式符号之前应被提供机会去积累他们自己的经历。 3 报告涉及到数学的交流，他指出了在数学符号体系的表面结构与深层次数学的主体结构之间存在的差别。 3 刘吉存认为：数学符号的学习要经过感知、抽象、应用、反省 4 个阶段。 4 王兄认为：对表象图式和发生式数学形式作用的认知有助于发 展学生的符号感。表象图式在数学形式与内容间构筑了通往理解的认知桥梁 ,为符号感的发展提供了认知纽带。 5 李桂强认为：不同学力水平的学生对数学符号的理解水平不同 因而在理解符号时能自觉对数学符号所蕴含的相关内容进行处理 ,使自己的认知结构形成了网状排列 ,进而使知识点之间保持了一定的连续性 而且只看到了数学符号表层的形式意义 ,即使有联系也常常是混乱和松散的 ,有时还是错误的 。 6 内外有关符号感培 养的阐述及研究成果 更多的论著则是根据课程标准所提到的符号感的主要表现，着重阐述了如何培养学生的符号感。如： 曹平认为应该从： “ 引入符号让学生感到必要，掌握符号要求学生做的正确。 ” 这两个方面来培养学生的符号感。 1 陈华庆认为： “ 在教学中尽量使学生用自己独特的方式表示2 1988) 3 1989)111 4 刘吉存数学符号语言的心理表征机制及对中学数学教学的启示数学教学研究 J，2005， 6： 3 5 王兄 数学教学中的符号感 :表象图式意义下的理解 中国教育学刊 J， 2007， 1 6 李桂强对中学生数学 符号感的调查与分析数学教学通讯 J， 2004， 12 1 曹平符号感：必要的学习内容江苏教育 J， 2003， 1B 具体情境的数量关系和变化规律 ；引进字母 ， 加强对字母的教学 ， 对学生学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律具有重要的意义；加强师生之间的交流 ,促进学生理解和概括符号所代表的数量关系和变化规律；在教学中注意 引导学生对符号进行主动加工的意识和习惯 ， 使学生能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。 ” 2这四个方面来培养学生符号感。 姜家凤认为：通过鉴赏符号的直观性和体验符号表达的简约性来培养学生的符号感。 3 祁国正认为，培养学生的符号感，要 “ 理解符号意义，扩展符号联结；联系实际模型，化抽象为具体；表示一般情况，揭示普遍规律；渗透符号化思想，培养用符号意识。 ” 4 从众多学者的研究中，我们发现，符号感的培养要带入课堂，渗透到学生的日常生活，运用不同的教学手段，让学生来体验、体会，从中发现符号的规律，来加 强学生的符号感。 从前面对符号感的描绘和阐述及符号感的培养的阐述中，笔者仍认为，符号感与数感一样，可以从以下四个方面来认识符号感。 1符号感是一种关于符号的感觉。 “ 符号感 ” 在英文中是 “,感觉；辨别力；观念；意识等。因此，我们可以把符号感理解为对符号的感受、 辨别。夸美纽斯曾说过，一切知识生于感觉，一切知识都是从感官的知觉开始的。存在心灵中的事情是没有不先存在感觉里面的，所以心智所用的一切思想材料全是从感觉得来的，它进行思想的 方式可以叫做 “ 内在的感觉 ” ，对 数学的内在的 感觉可2 陈华庆 新课程标准下的数学符号与教学 中学数学杂志（初中） J， 2004， 1 3 姜家凤在鉴赏和体验中培养学生的符号感云南教育 小学教师 J， 2007， 12 4 祁国正数学符号感培养浅谈现代中小学教育 J， 2005， 2 以称之为数学感觉。 1在人们的学习和生活实践中经常和符号打交道，我们生活在一个符号的世界里，例如： 这是禁止吸烟的标识符， 这是奥迪车的标志，这个则是马路上常见的行车标志。将符号感 定义成 “ 感受 ” 、 “ 感觉 ” 是从最初级的层面上来认识和理解符号感 的。从这个层面上来看，具有良好符号感的人能够主动地将符号与我们的生活实际联系起来，建立良好的数学符号感，则有利于学生将各种数学符号与数学知识联系起来，推动数学的学习和能力的培养。 2符号感是一种符号意识。 从认知心理学的角度来看：符号感是人的感官对外界刺激物“ 形 ” 与 “ 量 ” 之间的关系的非正式反映，带有 “ 直觉 ” 的性质，因此， 符号感可以说是一种数学直觉。即符号感是以直觉和意识来突出对数学信息加工的快速反应，符号感的本质应是数学直觉的产物。以 “直觉论 ”定性符号感，则是突出强调了学习者能在不假思索的状态中领悟符号的各种要素，能对情境中符号的各种复杂的含义及表达进行整体性的和直觉性的理解。但从本质上来说，符号感是一种精致化了的数学意识，不同于一般素朴意义上的原始直觉。数学符号是数学抽象思维的产物，而符号感的作用对象数学知识也是抽象思维的产物，而并不是对客观世界规律性的 直接研究。从这个层面上来说，良好的符号感就是在较短的时间内把对数学符号的 “ 第一感觉 ” 反应成数学问题，从感知的层面 转化成数学思维。例如：看到 |a|，第一反应是绝对值，进而想到绝对值有非负性，原因是绝对值的定义是在数轴上，一个数的点1 黄晓学让鲜活的思想在数学课堂中流淌 J数学教育学报， 2005， 14(1)： 16 到原点的距离，还有什么是具有非负性的，非负性还有什么用处，从而形成一种连贯的数学思维。 3符号感是一种数学技能。 技能是通过练习获得的能完成一定任务的动作系统。 认知心理学认为：动作技能从命题网络的程序性表征转化为产生式系统的程序性知识，经过适当的变式练习，单个心智动作紧密联系形成能 自动激活的、快速的主体操作行为，这是一种理想的 “技能组块 ” 数学表征状态，以 “ 组块 “ 形式表征的数学技能在运用时只需占 据少量的记忆空间，同一时间内为其他的知识、技能进入记忆提供了思维工作空间，从而大大地提高了问题解决的效率。 1 课程标准中指出： “ 符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号的表示的问题。 ” 2这就是说，符号感要对具体情境中的问题和现象的数量关系和变化规律进行分解、抽象、整合、构造有所感悟，应该是对数学概念、公式、性质、定理、公理等透彻理解和掌握熟练后的一种外显的心理现象，而 这些，都是可以通过一定的方法和练习能够掌握的。如果符号感仅是对照能力和仿造能力，那么符号感本质属性 敏捷性和创造性就会被排除出去，而人对数学的反应也就只能停留在类似条件反射或者是思维定势的水平上。因此，我们可以把符号感看成是一种数学技能。 4符号感还应该是一种数学能力。 克鲁捷茨基认为：能力是某项活动得以顺利完成并且直接影响活动效果的心理特征。 1数学的学习能力则表现为创造性的数学能力。数学能力的 形成是以遗传为前提、由后天生活环境及个体实1 曹才翰，章建跃数学 教育心理学 M北京：北京师范大学出版社， 2001， 159 2 中华人民共和国教育部制定全日制义务教育数学课程准（试验稿） M北京：北京师范大学出版社， 2001 1 赵裕春等译苏克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学 M教育科学出版社 ,1984 践共同作用而决定的。其中，个体的素质、智力水平和认知结构是数学能力形成和发展的基础。中学数学所要培养的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力三大能力就是这种学习数学的数学能力。 符号感首先是一种先天的才能，但是它是具有发展性的，可以通过后天的学习，训练并在后天的数学活动中得到发展。符号感主要表现为主体在数学