福建福州金山中学2024~2025学年高一下册期末考试数学试题含解析

/2024-2025学年福州金山中学第二学期期末考试高一年级数学试卷一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知复数（为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出共轭复数，从而可求出其虚部【详解】由，得，所以的虚部是，故选：B2.下列结论正确的是()A.对事件A的概率P(A)必有0<P(A)<1B.若事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人治疗,结果有380人有明显的疗效,现有胃溃疡的病人服用此药,则估计其会有明显疗效可能性为76%D.某奖券中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖【答案】C【解析】【详解】由概率的基本性质,事件A的概率P(A)的值满足0⩽P(A)⩽1，故A错误；必然事件概率为1，故B错误；某奖券中奖率为50%，则某人购买此券10张，不一定有5张中奖，故D错误．故选C.3.已知向量，，则下列结论正确的是（）A.向量是单位向量 B.与不能作为基底C. D.与的夹角为【答案】D【解析】【分析】根据向量的模定义去判断A的正误；以基底的要求去判断B的正误；以向量垂直的要求去判断C的正误；根据向量的夹角定义去判断D的正误.【详解】对于A:由得，不是单位向量；对于B:与是不共线的非零向量，可以作为基底使用；对于C:，不垂直；对于D:，又向量夹角范围为,故与的夹角为.正确.故选：D4.为考察两名运动员的训练情况，下面是两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（）A.第2天至第7天两名运动员的得分均逐日提高B.第4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分C.第2天至第6天运动员的得分增量大于运动员的得分增量D.运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差【答案】D【解析】【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由图象可得，第2天至第7天两名运动员的得分逐日提高，故A正确；由图象可得，第4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故B正确；第2天至第6天运动员的得分增量接近4，第2天至第6天运动员的得分增量大概3，故C正确；在1天至第3天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分80，在第2天至第4天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分高于80，所以第2天至第4天的得分波动更大，所以第1天至第3天方差小于第2天至第4天的方差，故D错误.故选：D.5.在中，，，，则为（）A. B. C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件利用正弦定理并结合大边对大角求解即得.【详解】在中，因，，，则由正弦定理得：，因，则，于是得，所以为.故选：B6.在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得挖去的圆锥的母线长,从而求得圆锥的侧面积，再求圆柱的侧面积和一个底面积，从而求得组合体的表面积.【详解】挖去的圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积等于，圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，所以组合体的表面积为.故选：A7.平行四边形中，，，，是线段的中点，则（）A.0 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根据条件即可得出，，从而得出，然后进行数量积的运算即可．【详解】解：如图，根据题意：，，且，，，．故选：．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量加法和数乘的几何意义，向量的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．8.如果空间凸多面体的顶点数为，棱数为，面数为，那么，这个定理是由瑞士数学家欧拉在1752年提出的，该定理提供了拓扑变换的不变量而发展了拓扑学，被称为拓扑学的欧拉定理或欧拉公式.1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家，是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，则分子中六边形的个数为（）A12 B.16 C.18 D.20【答案】D【解析】【分析】根据几何体的特征，得到顶点数，棱数，结合，计算面数，再利用棱数关系，列式求六边形的个数.【详解】，，则设六边形个，则五边形个，则，得：.故选：D.二､多选题（本大题共4小题，共20分）9.有甲、乙两组数据，甲：1、2、a、b、10，乙：1、2、5、6、11，其中，若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则可以为（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据平均数与方差的定义，得到，满足的条件，求解即可．【详解】解：由题意可得，，所以，平均数为5，又乙组数据的平均数因为甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以，即，又，所以可以为，，，，．故选：BCD．10.对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】利用复数的运算性质分析求解即可【详解】对于A，由，得，所以，所以A错误，对于B，因为，，所以，所以B错误，对于C，因为，所以，所以C正确，对于D，因为，所以D正确，故选：CD11.已知事件，，且，，则下列结论正确的是（）A.如果，那么，B.如果与互斥，那么，C.如果与相互独立，那么，D.如果与相互独立，那么，【答案】BD【解析】【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，，，，即可判断.【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.12.正方体中，，点在线段上运动，则下列说法中正确有（）A.B.点从向运动过程中，三棱锥的体积先增大后减小C.当为中点时，三棱锥的外接球的表面积为D.若，设与底面所成的角为，二面角的平面角为，则【答案】ACD【解析】【分析】A.由正方体的特征，易证平面判断；B.由正方体的特征知：易知和是定值判断；C.易知当为中点时，三棱锥的外接球的球心为AC的中点求解判断；D.分别找出与底面所成的角为，二面角的平面角求解判断.【详解】如图所示：A.由正方体的特征知：，又，所以平面，则，同理，又，所以平面，所以，故正确；B.由正方体的特征知：，所以点从向运动过程中，点P到平面的距离不变，又是定值，所以三棱锥的体积不变，故错误；C.当为中点时，三棱锥的外接球的球心为AC的中点，所以R=，所以外接球的表面积为，故正确；D.如图所示：，过点P作，连接AO，则与底面所成的角，二面角的平面角，因为，所以，则，又，所以，故正确；故选：ACD三､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则m=_____________．【答案】或6【解析】【分析】根据复数的几何意义可得对应点位置，再由横坐标的值解方程求得结果.【详解】复数对应点的坐标为，，因为点在虚轴上，则，解得或．故答案为：或6.14.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，与所成角的大小为___________.【答案】##【解析】【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体,由此能求出与所成角的大小.【详解】如图,把正方体的平面展开图还原成正方体，，，,在这个正方体中,与所成角的大小为.故答案为：.15.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为______________．【答案】##【解析】【分析】由垂直转化得数量积为0，再将数量积转化为模长公式，即可求解.【详解】由可得，即，因为，不妨令，则，，代值化简得，因为向量夹角范围为，故与的夹角为.故答案为：16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biēnào）.已知在鳖臑中，，，则该鳖臑的表面积为__________，它的内切球的半径为__________．【答案】①.##②.##【解析】【分析】（1）先把四个面的底和高求出来，再求三棱锥得表面积；（2）以等体积法求三棱锥内切球半径.【详解】如图：鳖臑中，，，则该鳖臑中，，,（1）鳖臑的表面积为：（2）设鳖臑的内切球的半径为r，球心为O，则有即解之得故答案为：（1）（2）四､解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位.（1）求的值;（2）记复数，求复数的模.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将代入方程，利用复数相等，得到方程，求出；（2）在第一问的基础上得到，从而求出模长.【小问1详解】由题意得:，即，所以，所以，，解得：；【小问2详解】，，所以18.如图，正三棱柱中，，，N为AB的中点.（1）求证：平面；（2）求A到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）作辅助线，利用线面平行的判定定理即可证明结论；（2）求得三棱锥的体积，根据，求得答案.【小问1详解】连接交于点O,连接,在正三棱柱中四边形为平行四边形，故O为的中点，又N为AB的中点，则,又平面，平面，所以平面；【小问2详解】设点A到平面的距离为d,正三棱柱中平面,则为三棱锥的高，则，因为平面,所以，则，又平面,平面,故,又平面，所以平面,平面，所以,正三棱柱中，，则,故，故由，可得，解得，故A到平面的距离为.19.甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为，乙丙每人面试合格的概率都是，且三人面试是否合格互不影响．求：（1）恰有一人面试合格的概率；（2）至多一人签约的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率的加法公式可得答案；（2）事件E：至多一人签约，事件F：恰好一人签约，事件G：没人签约，根据互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式可得．【详解】（1）记事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格事件C：丙面试合格事件D：恰好有一人面试合格依题意，事件A、B、C相互独立.（2）至多一人签约包括甲签约乙丙没有签约、三人都没有签约两种情况，事件F：甲签约乙丙没有签约，事件G：三人都没有签约，事件E：至多一人签约，因为F与G互斥，所以，，，，所以至多一人签约的概率为．20.在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且___________.（1）求角B的大小；（2）若点D满足，且，求面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1），（2）面积最大值为.【解析】【分析】（1）选①：由正弦定理得，整理得，再利用余弦定理可得解；选②：利用余弦定理得，再利用余弦定理可得解；选③：利用余弦定理得，化简得，即可求解；（2）由，通过以与作为基底，可以得到，再将上述向量式转化为数量式，两边同平方得，最后再利用基本不等式即可求出最值，也就得到三角形面积最值.【小问1详解】若选①，由正弦定理得，所以，整理得，所以，又,所以.若选②，由余弦定理得，化简得所以，又，所以.若选③，由余弦定理得，化简得，又，所以.【小问2详解】，=，两边同平方得，化简得，代入，，化简为，即，，当且仅当，即，时等号成立

，故面积最大值为.21.2021年起，辽宁省将实行“3+1+2”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的化学成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分A等级排名占比15%，赋分分数区间是86-100；B等级排名占比35%，赋分分数区间是71-85；C等级排名占比35%，赋分分数区间是56-70；D等级排名占比13%，赋分分数区间是41-55；E等级排名占比2%，赋分分数区间是30-40；现从全年级的化学成绩中随机抽取100名学生的原始成绩(未赋分)进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的C等级及以上(含C等级)？（结果保留整数）（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[40，50)和[50，60)内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[40，50)内的概率.【答案】（1）a0.030；（2）54分；（3）.【解析】【分析】（1）由各组频率和为1列方程即可得解；（2）由频率分布直方图结合等级达到C及以上所占排名等级占比列方程即可的解；（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【详解】（1）由题意，(0.0100.0150.015a0.0250.005)101，所以a0.030；（2）由已知等级达到C及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%=85%，假设原始分不少于x分可以达到赋分后的C等级及以上，易得，则有(0.0050.0250.0300.015)10(60x)0.0150.85，解得x≈53.33(分)，所以原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级及以上；（3）由题知得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.1和0.15，则抽取的5人中，得分在[40,50)内的有2人，得分在[50,60)的有3人记得分在[50,60)内的3位学生为a，b，c，得分在[40,50)内的2位学生为D，E，则从5人中任选2人，样本空间可记为{ab，ac，aD，aE，bc，bD，bE，cD，cE，DE},共包含10个样本用A表示“这2人中恰有一人得分在[40,50)内”，则A{aD