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新人教版九年级数学相似知识点【篇一：新人教版九年级数学相似知识点】【人教版】 初【编者按】 相似以及相似三角解线段和角的问题是常见题物的能力和利用所学知识解一、 目标与要求 1 掌握相似多边形的定义、2 能根据相似比进行计算3 通过与相似多边形有关概4 能根据定义判断两个多边5 能根据相似比求长度和角6 通过与相似多边形有关概二、 知识框架 三、 重点、 难点 1 理解并相似三角形的判定2 位似图形的有关概念、 性3 利用位似将一个图形放大4 用图形的坐标的变化来表5 把一个图形按一定大小比四、 知识点、 概念总结 1. 相似： 初中数学九年级知识点总结： 27角形是初中数学的基础内容， 也是重要内容， 运题型。通过本章内容对相似三角形的学习， 培养学解决实际问题的能力。表示法， 并能根据定义判断两个多边形是否相 概念的类比， 得出相似三角形的定义, 领会特殊与边形是否相似， 训练学生的判断能力 角度， 培养学生的运用能力 概念的类比， 渗透类比的教学思想， 并领会特殊 定与性质 性质与作图 大或缩小 表示图形的位似变换 比例放大或缩小后， 点的坐标变化的规律 7相似 运用相似三角形求学生认识和观察事相似 与一般的关系 殊与一般的关系 每组图形中的两个图形形状相同， 大小不同， 具有相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同， 与它们的位置、 颜色、 大小无关。相似图形不仅仅指平面图形， 也包括立体图形相似的情况。我们可以这样理解相似形： 两个图形相似， 其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的 若两个图形形状与大小都相同， 这时是相似图形的一种特例 全等形 2. 相似三角形： 对应角相等， 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。互为相似形的三角形叫做相似三角形 相似形的识别： 对应边成比例， 对应角相等。成比例线段（简称比例线段） ： 对于四条线段 a、 b、 c、 d， 如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等， 即dcba=（或 a： b=c： d） ， 那么， 这四条线段叫做成比例线段， 简称比例线段。黄金分割： 用一点 p 将一条线段 ab 分割成大小两条线段， 若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比， 则可得出这一比值等于 0 618 。这种分割称为黄金分割， 分割点 p 叫做线段 ab 的黄金分割点， 较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。3. 相似三角形的判定方法: 根据相似图形的特征来判断。（ 对应边成比例， 对应角相等） 1 . 平行于三角形一边的直线(或两边的延长线) 和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似； 2 . 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等, 那么这两个三角形相似； 3. 如果两个三角形的两组对应边的比相等, 并且相应的夹角相等, 那么这两个三角形相似； 4. 如果两个三角形的三组对应边的比相等, 那么这两个三角形相似； 4. 直角三角形相似判定定理: 1 . 斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。 2 . 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形与原直角三角形相似， 并且分成的两个直角三角形也相似。5. 一定相似的三角形 （ 1） 两个全等的三角形一定相似。（ 全等三角 形是特殊的相似三角形， 相似比为 1） （ 2） 两个等腰直角 三角 形一定相似（ 两个等腰三角形， 如果其中的任意一个顶角或底角相等， 那么这两个等腰三角形相似。） （ 3） 两个等边三角 形一定相似。6. 三角形相似的判定定理推论 推论一： 顶角或底角相等的两个等腰三角 形相似。推论二： 腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三： 有一个锐角相等的两个直角三角 形相似。推论四： 直角三角 形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五： 如果一个三角 形的两边和其中一边上的中线与另一个三角 形的对应部分成比例， 那么这两个三角形相似。7. 相似的性质 （ 1） 相似三角形对应角 相等， 对应边成比例。（ 2） 相似三角形的一切对应线段(对应高、 对应中线、 对应角 平分线、 外接圆半径、内 切圆半径等） 的比等于相似比。（ 3） 相似三角形周长的比等于相似比。（ 4） 相似三角形面积的比等于相似比的平方。（ 5） 相似三角形内 切圆、 外接圆直径比和周长比都和相似比相同， 内 切圆、 外接圆面积比是相似比的平方 （ 6） 若 a: c =c: b， 即 c2=ab, 则 c 叫做 a, b 的比例中项 （ 7） c/d=a/b 等同于 ad=bc. 9. 相似的应用： 位似 （1） 位似图形： 如果两个多边形不仅相似， 而且对应顶点的连线相交于一点， 那么这样的两个图形叫做位似图形， 这个点叫做位似中心， 这时的相似比又称为位似比 （2） 掌握位似图形概念， 需注意： 位似是一种具有位置关系的相似， 所以两个图形是位似图形， 必定是相似图形， 而相似图形不一定是位似图形； 两个位似图形的位似中心只有一个； 两个位似图形可能位于位似中心的两侧， 也可能位于位似中心的一侧； 位似比就是相似比 利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似 （3） 位似图形首先是相似图形， 所以它具有相似图形的一切性质 位似图形是一种特殊的相似图形， 它又具有特殊的性质， 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离等于位似比（相似比） （4） 两个位似图形的主要特征是： 每对位似对应点与位似中心共线； 不经过位似中心的对应线段平行 （5） 利用位似， 可以将一个图形放大或缩小， 其步骤见下面例题 作图时要注意:首先确定位似中心， 位似中心的位置可随意选择； 确定原图形的关键点， 如四边形有四个关键点，即它的四个顶点； 确定位似比， 根据位似比的取值， 可以判断是将一个图形放大还是缩小；符合要求的图形不惟一， 因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关， 并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形。（参考教材： 初中数学九年级人教版）【篇二：新人教版九年级数学相似知识点】人教版九年级数学上册知识点总结21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的 方程，叫做一元二次方程。注意一下几点： 只含有一个未知数；未知数的最高次数是2；是整式方程。知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax 是一次项系数；c是常数项。知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方 程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。21.2 降次解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如 =a(a0)的方程，根据平方根的定义可解得x1= =p(m0)形式的方程，如果p0，就可以利用直接开平方法。用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。直接开平方法解一元二次方程的步骤是：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； 解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把 一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。把常数项移到等号的右边；方程两边都除以二次项系数； 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax 化为正值确定公式中 的值，注意符号；求出b -4ac0，则把a,b,c和b-4ac 的值代入公式即可求解， -4ac0，则方程无实数根。知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 -4ac叫做方程 ax -4ac.0，方程ax +bx+c=0(a0)有两个不相等的实数根一元二次方程 =0，方程ax +bx+c=0(a0)有两个相等的实数根根的判别式 0，方程ax +bx+c=0(a0)无实数根21.23 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 解一元一次方程即可得到原方程的解。知识点二 用合适的方法解一元一次方程 理论依据适用范围 直接开平 方法 平方根的意 配方法完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一 元二次方程。21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x +px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a 22.3实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式， 即方程。答：写出答案。知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 数字问题三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是 100a+10b+c. 增长率问题设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后 的等量关系为a（1 （3）利润问题利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总成本；总利润=单位利润总 销售量；利润=成本利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数 式表示出来，建立一元二次方程。二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义：一般地，如果 bxax ，那么y叫做x 的二次函数. 2.二次函数 的性质（1）抛物线 时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为 bxax 的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线. bxax bxax 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当 相等，抛物线的开口大小、形状相同.平行于y 轴（或重合）的直线记作 .特别地，y轴记作直线 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的 开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法： bxax ，对称轴是直线 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线 bxax 的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与 bxax 异号）时，对称轴在y轴右侧. （3）c的大小决定抛物线 bxax bxax 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 bxax 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： bxax 的值，通常选择一般式.（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标 bxax bxax bhah （3）抛物线与x轴的交点 二次函数 bxax 的图像与x轴的两个交点的横坐标 ，是对应一元二次方程 bxax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次 方程的根的判别式判定： 有两个交点 抛物线与x轴相交； 有一个交点（顶点在x 抛物线与x轴相切； 没有交点 抛物线与x轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有2 个交点时，两交点的 纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是 bxax 的两个实数根.（5）一次函数 的图像l与二次函数 bxax 的图像g的交点， 由方程组 bxax 有两个交点;方程组只有一组解时l 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线 bxax bxax 第二十三章旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点o 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二 旋转的性质 旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。理解以下几点： 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改 变，只改变了图形的位置。知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2） 对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为： 连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心； 转：即把直线按要求绕旋转中心 转过一定角度（作旋转角） 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 即连接到所连接的各点。23.2 中心对称 知识点一 中心对称的定义 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么 就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点： 中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转180两个 图形能够完全重合。知识点二 作一个图形关于某点对称的图形 要作出一个图形关于某一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称 中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接起来，即可得出成中心对称图形。知识点三 中心对称的性质 有以下几点： 关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分； 关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）且相等。知识点四 中心对称图形的定义 把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y） 关于原点对称点为（-x,-y）。第二十四章 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段oa 绕它固定的一个端点o 旋转一周，另一个 端点a 所形成的图形叫作圆。固定的端点o 叫作圆心，线段oa 叫作半径。第二种：圆 的圆可以看成是所有到定点o的距离等于定长r 的点的集合。比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观 点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二 圆的相关概念 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完 全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二 垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径 为cd，ab 是弦，且cdab， am=bm垂足为m ac =bc ad=bd 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 如上图所示，直径cd 与非直径弦ab 相交于点m， cdab am=bm ac=bc ad=bd 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不 是直径，否则结论不成立。24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点 弦、弧、圆心角的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、 弦不一定相等。24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理 圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对弦是直径。圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两 知识点二圆内接四边形及其性质 圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接 多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。24.2 点、直线、圆和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系 知识点二过已知点作圆 外的任意一点（如点o）为圆心，以oa为半径作圆即可，如图，这样的圆可以作 无数个。o1 o2o3 经过两点的圆（如点a、b）以线段ab 的垂直平分线上的任意一点（如点o）为圆心，以oa（或ob）为半径作圆即 可，如图，这样的圆可以作无数个。不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。如经过不在同一条直线上的三个点a、b、c 作圆，作法：连接 ab、bc（或ab、ac 或bc、ac）并作它们的垂直平分线，两条垂直平分线相交于点o， 知识点三三角形的外接圆与外心 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四 反证法 反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论； 由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。24.2.2 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系 的半径是r，直线l与圆心0 的距离为d，则有： 直线l 知识点二切线的判定和性质 切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点三 切线长定理 切线长的定义：经过园外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个 是切点。知识点四 三角形的内切圆和内心 三角形的内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。注意：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。24.2.3 圆和圆的位置关系 知识点一 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系可以用数量关系来表示：若设两圆圆心之间的距离为d，两圆的半径分别是r1 r2,且r1 r2，则有两圆外离 dr1+r2 两圆外切 d=r1+r2 两圆相交 r2-r1dr1+r2 两圆 24.3正多边形和圆 知识点一 正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n 是大于2 的自然数）等份，顺次连接各 分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。知识点二 正多边形的性质 边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n 条对称轴