2014-2018全国各省文科立体几何大题真题.doc

2014-2018全国各省文科立体几何大题真题 一、解答题（共35小题；共455分）1. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面AED平面ABCD，EFAB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=6，BAD=60，G 为 BC 的中点（1）求证：FG平面BED；（2）求证：平面BED平面AED；（3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值 2. 如图，已知正三棱锥 PABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延长交 AB 于点 G（1）证明：G 是 AB 的中点；（2）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积 3. 如图，四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（1）证明 MN平面PAB；（2）求四面体 NBCM 的体积 4. 如图，在平行四边形 ABCM 中，AB=AC=3，ACM=90，以 AC 为折痕将 ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 ABDA（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP=DQ=23DA，求三棱锥 QABP 的体积 5. 如图，在三棱锥 VABC 中，平面VAB平面ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 AC=BC=2，O，M 分别为 AB，VA 的中点（1）求证：VB平面MOC；（2）求证：平面MOC平面VAB；（3）求三棱锥 VABC 的体积 6. 如图，在三棱锥 PABC 中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O 为 AC 的中点（1）证明：PO平面ABC；（2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC=2MB，求点 C 到平面 POM 的距离 7. 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M 是 CD 上异于 C，D 的点（1）证明：平面AMD平面BMC；（2）在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC平面PBD?说明理由 8. 如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，E，F 分别为 AD，PB 的中点（1）求证：PEBC；（2）求证：平面PAB平面PCD；（3）求证：EF平面PCD； 9. 如图四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，AD=CD1. 证明：ACBD；2. 已知 ACD 是直角三角形，AB=BD，若 E 为棱 BD 上与 D 不重合的点，且 AEEC，求四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比 10. 如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB=BC=12AD，BAD=ABC=90（1）证明：直线BC平面PAD；（2）若 PCD 面积为 27，求四棱锥 PABCD 的体积 11. 如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD，且 BAP=CDP=90（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若 PA=PD=AB=DC，APD=90，且四棱锥 PABCD 的体积为 83，求该四棱锥的侧面积 12. 如图，在三棱锥 PABC 中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点（1）求证：PABD；（2）求证：平面BDE平面PAC；（3）当 PA平面BDE 时，求三棱锥 EBCD 的体积 13. 如图，在四棱锥 PABCD 中，AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2（1）求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；（2）求证：PD平面PBC；（3）求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值 14. 由四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后得到的几何体如图所示，四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面ABCD（1）证明：A1O平面B1CD1；（2）设 M 是 OD 的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1 15. 如图，在四棱锥 PABCD 中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC（1）求证：DC平面PAC；（2）求证：平面PAB平面PAC；（3）设点 E 为 AB 的中点在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面CEF?说明理由 16. 在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB（1）已知 AB=BC，AE=EC求证：ACFB；（2）已知 G 、 H 分别是 EC 和 FB 的中点，求证：GH平面ABC 17. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在 AD，CD 上，AE=CF，EF 交 BD 于点 H将 DEF 沿 EF 折到 DEF 的位置（1）证明：ACHD；（2）若 AB=5，AC=6，AE=54，OD=22，求五棱锥 DABCFE 的体积 18. 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点，AM=2MD，N 为 PC 的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求四面体 NBCM 的体积 19. 将边长为 1 的正方形 AA1O1O（及其内部）绕 OO1 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为 56，A1B1 长为 3，其中 B1 与 C 在平面 AA1O1O 的同侧（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小 20. 如图，在四棱锥中 PABCD 中，PACD，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=12AD（1）在平面 PAD 内找一点 M，使得直线 CM平面PAB，并说明理由；（2）证明：平面 PAB平面PBD 21. 如图，圆锥的顶点为 P，底面圆心为 O，底面的一条直径为 AB，C 为半圆弧 AB 的中点，E 为劣弧 CB 的中点，已知 PO=2，OA=1，求三棱锥 PAOC 的体积，并求异面直线 PA 与 OE 所成角的余弦值 22. 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中 AB=16，BC=10，AA1=8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E=D1F=4过点 E，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 23. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，（1）请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线 DF平面BEG 24. 如图，三棱锥 PABC 中，PA平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，BAC=60，（1）求三棱锥 PABC 的体积；（2）证明：在线段 PC 上存在点 M，使得 ACBM，并求 PMMC 的值 25. 如图，三棱台 DEFABC 中，AB=2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点（1）求证：BD平面FGH；（2）若 CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH 26. 如图，三角形 PDC 所在的平面与长方形 ABCD 所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3（1）证明：BC平面PDA；（2）证明：BCPD；（3）求点 C 到平面 PDA 的距离 27. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑在如图所示的阳马 PABCD 中，侧棱PD底面ABCD，且 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，连接 DE，BD，BE（1）证明：DE平面PBC试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由（2）记阳马 PABCD 的体积为 V1，四面体 EBCD 的体积为 V2，求 V1V2 的值 28. 如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 BC，CC1 的中点（1）证明：平面AEF平面B1BCC1；（2）若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45，求三棱锥 FAEC 的体积 29. 如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO 垂直于圆 O 所在的平面，且 PO=OB=1（1）若 D 为线段 AC 的中点，求证：AC平面PDO；（2）求三棱锥 PABC 体积的最大值；（3）若 BC=2，点 E 在线段 PB 上，求 CE+OE 的最小值 30. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED平面ABCD，EFAB，AB=2，BC=EF=1，AE=6，DE=3，BAD=60，G 为 BC 的中点（1）求证：FG平面BED；（2）求证：平面BED平面AED；（3）求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值. 31. 如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE平面ABCD（1）证明：平面AEC平面BED；（2）若 ABC=120，AEEC，三棱锥 EACD 的体积为 63，求该三棱锥的侧面积 32. 如图，已知 AA1平面ABC，BB1AA1，AB=AC=3，BC=25，AA1=7，BB1=27，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点（1）求证：EF平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1平面BCB1；（3）求直线 A1B1 与平面 BCB1 所成角的大小 33. 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BAC=90，AB=AC=2，A1A=4，A1 在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D 是 B1C1 的中点（1）证明：A1D平面A1BC；（2）求直线 A1B 和平面 BB1C1C 所成的角的正弦值 34. 如图，三棱锥 PABC 中，平面PAC平面ABC，ABC=2，点 D，E 在线段 AC 上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且 EFBC（1）证明：AB平面PFE；（2）若四棱锥 PDFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长 35. 如图（1），在直角梯形 ABCD 中，ADBC，BAD=2，AB=BC=12AD=a，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE 沿 BE 折起到图（2）中 A1BE 的位置，得到四棱锥 A1BCDE（1）证明：CD平面A1OC；（2）若 平面A1BE平面BCDE，四棱锥 A1BCDE 的体积为 362，求 a 的值答案第一部分1. （1） 设 BD 的中点为 O，连接 OE，OG，在 BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，所以 OGDC，且 OG=12DC=1，又因为 EFAB，ABDC，所以 EFOG，且 EF=OG，即四边形 OGFE 是平行四边形，所以 FGOE，因为 FG平面BED，OE平面BED，所以 FG平面BED（2） 在 ABD 中，AD=1，AB=2，BAD=60，由余弦定理可得 BD=3，进而得 ADB=90，即 BDAD，又因为 平面AED平面ABCD，BD平面ABCD，平面AED平面ABCD=AD，所以 BD平面AED，因为 BD平面BED，所以 平面BED平面AED（3） 因为 EFAB，所以直线 EF 与平面 BED 所成的角即为直线 AB 与平面 BED 所形成的角，过点 A 作 AHDE 于点 H，连接 BH，又平面 BED平面AED=ED，由（2）知 AH平面BED，所以直线 AB 与平面 BED 所成的角为 ABH，在 ADE，AD=1，DE=3，AE=6，由余弦定理得 cosADE=23，所以 sinADE=53，所以 AH=AD53=53，在 RtAHB 中，sinABH=AHAB=56，所以直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值为 562. （1） 因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 ABPD因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 ABDE所以 AB平面PED，故 ABPG又由已知可得，PA=PB，从而 G 是 AB 的中点（2） 如图，在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F，F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影理由如下：由已知可得 PBPA，PBPC，又 EFPB，所以 EFPA，EFPC，因此 EF平面PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心，由（1）知，G 是 AB 的中点，所以 D 在 CG 上，故 CD=23CG由题设可得 PC平面PAB，DE平面PAB，所以 DEPC，因此 PE=23PG，DE=13PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA=6，可得 DE=2，PE=22在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF=PF=2所以四面体 PDEF 的体积 V=1312222=433. （1） 取 PB 中点 Q，连接 AQ，NQ因为 N 是 PC 中点，NQBC，且 NQ=12BC，又 AM=23AD=2334BC=12BC，且 AMBC，所以 QNAM，且 QN=AM，所以 AQNM 是平行四边形所以 MNAQ又 MN 平面 PAB，AQ 平面 PAB，所以 MN平面PAB（2） 由（1）QN平面ABCD，所以 VNBCM=VQBCM=12VPBCM=12VPBCA所以 VNBCM=1213PASABC=16425=4534. （1） 由已知可得，BAC=90，BAAC，又 BAAD，所以 AB平面ACD，又 AB平面ABC，所以 平面ACD平面ABC（2） 由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=32，又 BP=DQ=23DA，所以 BP=22，作 QEAC，垂足为 E，则 QEDC，QE=13DC，由已知及（1）可得 DC平面ABC，所以 QE平面ABC，QE=1因此，三棱锥 QABP 的体积为 VQABP=13QESABP=13112322sin45=1.5. （1） 因为 O，M 分别为，AB，VA 的中点，所以 OMVB . 又因为 VB平面MOC，又因为 MO平面MOC，所以 VB平面MOC（2） 因为 AC=BC，O 为 AB 的中点，所以 OCAB，又因为 平面VAB平面ABC，且 OC平面ABC，所以 OC平面VAB，所以 平面MOC平面VAB（3） 在等腰直角三角形 ACB 中，AC=BC=2，所以 AB=2，OC=1，所以等边三角形 VAB 的面积 SVAB=3，又因为 OC平面VAB，所以 VCABV=13OCSVAB=33，又因为 VVABC=VCABV，所以 VVABC=336. （1） 因为 AP=CP=AC=4，O 为 AC 的中点，所以 OPAC，且 OP=23连接 OB因为 AB=BC=22AC，所以 ABC 为等腰直角三角形，且 OBAC，OB=12AC=2由 OP2+OB2=PB2 知，OPOB由 OPOB，OPAC 知 PO平面ABC（2） 作 CHOM，垂足为 H又由（1）可得 OPCH，所以 CH平面POM故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离由题设可知 OC=12AC=2，CM=23BC=423，ACB=45所以 OM=253，CH=OCMCsinACBOM=455所以点 C 到平面 POM 的距离为 4557. （1） 由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为 CD因为 BCCD，BC平面ABCD，所以 BC平面CMD，故 BCDM因为 M 为 CD 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DMCM又 BCCM=C，所以 DM平面BMC而 DM平面AMD，故 平面AMD平面BMC（2） 当 P 为 AM 的中点时，MC平面PBD证明如下：连接 AC 交 BD 于 O因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所以 MCOP MC平面PBD，OP平面PBD，所以 MC平面PBD8. （1） 因为 平面PAD平面ABCD，且 平面PAD平面ABCD=AD，因为 PA=PD，E 为 AD 中点，所以 PEAD又 PE平面PAD，所以 PE平面ABCD，又 BC平面ABCD，所以 PEBC（2） 因为 平面PAD平面ABCD，且 平面PAD平面ABCD=AD，因为 ABCD 为矩形，所以 CDAD，又 CD平面ABCD，所以 CD平面PAD，所以 CDPA，又 PAPD，且 PDCD=D，所以 PA平面PCD，又 PA平面PAB，所以 平面PAB平面PCD（3） 取 PC 中点 G，连 FG，DG，因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点，所以 FG 为 PBC 的中位线，所以 FGBC，FG=12BC，又 E 为 AD 的中点，四边形 ABCD 为矩形，所以 EDBC，ED=12BC，所以 FGED，FG=ED，所以四边形 EFGD 为平行四边形，所以 EFDG，又 EF平面PCD，DG平面PCD，所以 EF平面PCD9. 1. 取 AC 中点 O，连接 DO，BO，因为 ABC 是正三角形，AD=CD，所以 DOAC，BOAC，因为 DOBO=O，所以 AC平面BDO，因为 BD平面BDO，所以 ACBD2. 法一：连接 OE，由（1）知 AC平面OBD，因为 OE平面OBD，所以 OEAC，设 AD=CD=2，则 OC=OA=1，所以 O 是线段 AC 垂直平分线上的点，所以 EC=EA=CD=2，由余弦定理得：cosCBD=BC2+BD2CD22BCBD=BC2+BE2CE22BCBE，即 4+42222=4+BE2222BE，解得 BE=1 或 BE=2，因为 BEBD=2，所以 BE=1，所以 BE=ED，因为四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h，因为 BE=ED，所以 SDCE=SBCE，所以四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1法二：设 AD=CD=2，则 AC=AB=BC=BD=2，AO=CO=DO=1，所以 BO=41=3，因为 BO2+DO2=BD2，所以 BODO，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C1,0,0，D0,0,1，B0,3,0，A1,0,0，设 Ea,b,c，DE=DB01，则 a,b,c1=0,3,1，解得 E0,3,1，所以 CE=1,3,1，AE=1,3,1，因为 AEEC，所以 AECE=1+32+12=0，由 0,1，解得 =12，所以 DE=BE，因为四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h，因为 DE=BE，所以 SDCE=SBCE，所以四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 110. （1） 四棱锥 PABCD 中，因为 BAD=ABC=90所以 BCAD，因为 AD平面PAD，BC平面PAD，所以 直线BC平面PAD；（2） 设 AD=2x，则 AB=BC=x，CD=2x，设 O 是 AD 的中点，连接 PO，OC，CD 的中点为 E，连接 OE，由题意得，四边形 ABCO 为正方形，则 COAD因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以 POAD，PO平面ABCD，因为 CO底面ABCD，所以 POCO，则 OE=22x，PO=3x，PE=PO2+OE2=7x2， PCD 面积为 27，可得：12PECD=27，即：1272x2x=27，解得 x=2，PO=23则 VPABCD=1312BC+ADABPO=13122+4223=43.11. （1） 因为在四棱锥 PABCD 中，BAP=CDP=90，所以 ABPA，CDPD，又 ABCD，所以 ABPD，因为 PAPD=P，所以 AB平面PAD，因为 AB平面PAB，所以 平面PAB平面PAD（2） 设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD 中点 O，连接 PO，因为 PA=PD=AB=DC，APD=90，平面PAB平面PAD，所以 PO底面ABCD，且 AD=a2+a2=2a，PO=22a，因为四棱锥 PABCD 的体积为 83，所以 VPABCD=13S四边形ABCDPO=13ABADPO=13a2a22a=13a3=83. 解得 a=2，所以 PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=22，PO=2，所以 PB=PC=4+4=22，所以该四棱锥的侧面积为： S侧=SPAD+SPAB+SPDC+SPBC=12PAPD+12PAAB+12PDDC+12BCPB2BC22=1222+1222+1222+122282=6+23.12. （1） 由 PAAB，PABC，AB平面ABC，BC平面ABC，且 ABBC=B，可得 PA平面ABC，由 BD平面ABC，可得 PABD（2） 由 AB=BC，D 为线段 AC 的中点，可得 BDAC，由 PA平面ABC，PA平面PAC，可得 平面PAC平面ABC，又 平面PAC平面ABC=AC，BD平面ABC，且 BDAC，即有 BD平面PAC，BD平面BDE，可得 平面BDE平面PAC（3） PA平面BDE，PA平面PAC，且 平面PAC平面BDE=DE，可得 PADE，又 D 为 AC 的中点，可得 E 为 PC 的中点，且 DE=12PA=1，由 PA平面ABC，可得 DE平面ABC，可得 SBDC=12SABC=121222=1，则三棱锥 EBCD 的体积为 13DESBDC=1311=1313. （1） 如图，由已知 ADBC，故 DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角，因为 AD平面PDC，所以 ADPD，在 RtPDA 中，由已知，得 AP=AD2+PD2=5，故 cosDAP=ADAP=55，所以异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 55（2） 因为 AD平面PDC，直线 PD平面PDC，所以 ADPD，又因为 BCAD，所以 PDBC，又 PDPB，PBBC=B，且 PB平面PBC，BC平面PBC，所以 PD平面PBC（3） 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角，因为 PD平面PBC， 故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影，所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角，由于 ADBC,DFAB，故 BF=AD=1，由已知，得 CF=BCBF=2又 ADDC，故 BCDC，在 RtDCF 中，DF=16+4=25，可得 sinDFP=PDDF=55，所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 5514. （1） 取 B1D1 中点 G，连接 A1G，CG，因为四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，所以四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后，A1GOC，A1G=OC，所以四边形 OCGA1 是平行四边形，所以 A1OCG，因为 A1O平面B1CD1，CG平面B1CD1，所以 A1O平面B1CD1（2） 四棱柱 ABCDA1B1C1D1 截去三棱锥 C1B1CD1 后，BDB1D1，BD=B1D1，因为 M 是 OD 的中点，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面ABCD，又 BD平面ABCD，所以 BDA1E，因为四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，所以 AOBD，因为 M 是 OD 的中点，E 为 AD 的中点，所以 EMBD，因为 A1EEM=E，所以 BD平面A1EM，因为 BDB1D1，所以 B1D1平面A1EM，因为 B1D1平面B1CD1，所以 平面A1EM平面B1CD115. （1） 因为 PC平面ABCD，DC平面ABCD，所以 PCDC又因为 DCAC，ACPC=C，所以 DC平面PAC（2） 因为 ABDC，DCAC，所以 ABAC因为 PC平面ABCD，AB平面ABCD，所以 PCAB又 ACPC=C，所以 AB平面PAC又 AB平面PAB，所以 平面PAB平面PAC（3） 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面CEF证明如下：取 PB 中点 F，连接 EF，CE，CF又因为 E 为 AB 的中点，所以 EFPA又因为 PA平面CEF，EF平面CEF ，所以 PA平面CEF16. （1） 连接 DE ，因为 EFBD，所以 EF 与 BD 确定一个平面因为 AE=EC，D 为 AC 的中点，所以 DEAC；同理可得 BDAC又因为 BDDE=D，所以 AC平面BDEF，又因为 FB平面BDEF，所以 ACFB（2） 设 FC 的中点为 I，连接 GI，HI在 CEF 中，因为 G 是 CE 的中点，所以 GIEF又 EFDB，所以 GIDB；在 CFB 中，因为 H 是 FB 的中点，所以 HIBC又 GIHI=I，所以平面 GHI平面ABC，因为 GH平面GHI，所以 GH平面ABC17. （1） 由已知得 ACBD，AD=CD又由 AE=CF 得 AEAD=CFCD，故 ACEF由此得 EFHD，EFHD，所以 ACHD（2） 由 EFAC 得 OHDO=AEAD=14由 AB=5，AC=6 得 DO=BO=AB2AO2=4所以 OH=1，DH=DH=3于是 OD2+OH2=222+12=9=DH2，故 ODOH由（1）知 ACHD，又 ACBD，BDHD=H，所以 AC平面BHD，于是 ACOD又由 ODOH，ACOH=O，所以 OD平面ABC又由 EFAC=DHDO 得 EF=92五边形 ABCFE 的面积 S=126812923=694所以五棱锥 DABCFE 的体积 V=1369422=232218. （1） 由已知条件，得 AM=23AD=2取 BP 的中点 T，连接 AT，TN因为 N 为 PC 的中点，所以 TNBC，TN=12BC=2，所以 TN=AM又 ADBC，所以 TNAM，且 TN=AM，故四边形 AMNT 为平行四边形，所以 MNAT因为 AT平面PAB，MN平面PAB，所以 MN平面PAB（2） 因为 PA平面ABCD，N 为 PC 的中点，所以 N 到平面 ABCD 的距离为 12PA取 BC 的中点 E，连接 AE因为 AB=AC=3，所以 AEBC，AE=AB2BE2=5因为 AMBC，所以点 M 到 BC 的距离为 5，故 SBCM=1245=25所以四面体 NBCM 的体积 VNBCM=1312PASBCM=45319. （1） 由题意可知，圆柱的母线长 l=1，底面半径 r=1圆柱的体积 V=r2l=121=，圆柱的侧面积 S=2rl=211=2（2） 设过点 B1 的母线与下底面交于点 B，则 O1B1OB，所以 COB 或其补角为 O1B1 与 OC 所成的角由 A1B1 长为 3，可知 AOB=A1O1B1=3，由 AC 长为 56，可知 AOC=56，COB=AOCAOB=2，所以异面直线 O1B1 与 OC 所成的角的大小为 220. （1） 取棱 AD 的中点 MM平面PAD，点 M 即为所求的一个点，理由如下：因为 ADBC，BC=12AD，所以 BCAM，且 BC=AM所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CMAB又 AB平面PAB，CM平面PAB，所以 CM平面PAB（2） 由已知，PAAB，PACD，因为 ADBC，BC=12AD，所以直线 AB 与 CD 相交，所以 PA平面ABCD从而 PABD因为 ADBC，BC=12AD，所以 BCMD，且 BC=MD所以四边形 BCDM 是平行四边形所以 BM=CD=12AD，所以 BDAB又 ABAP=A，所以 BD平面PAB又 BD平面PBD，所以平面 PAB平面PBD21. VPAOC=13122=13因为 ACOE，所以 PAC 为异面直线 PA 与 OE 所成的角或其补角由 PO=2，OA=OC=1，得 PA=PC=5，AC=2在 PAC 中，由余弦定理得 cosPAC=1010，故异面直线 PA 与 OE 所成角的余弦值为 101022. （1） 交线围成的正方形 EHGF 如图（2） 作 EMAB，垂足为 M，则 AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH=EF=BC=10于是 MH=EH2EM2=6，AH=10，HB=6故 S四边形A1EHA=124+108=56，S四边形EB1BH=1212+68=72因为长方体被平面 分为两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97（79 也正确）23. （1） 点 F，G，H 的位置如图所示（2） 平面BEG平面ACH证明如下：因为六面体 ABCDEFGH 为正方体，所以 BCFG，BC=FG又 FGEH，FG=EH，所以 BCEH，BC=EH，于是四边形 BCHE 为平行四边形所以 BECH又 CH平面ACH，BE平面ACH，所以 BE平面ACH同理 BG平面ACH又 BEBG=B，所以 平面BEG平面ACH（3） 连接 FH，与 EG 交于点 O，连接 BD因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 DH平面EFGH因为 EG平面EFGH，所以 DHEG又 EGFH，DHFH=H，所以 EG平面BFHD又 DF平面BFHD，所以 DFEG同理 DFBG又 EGBG=G，所以 DF平面BEG24. （1） 在 ABC 中，AB=1，AC=2，BAC=60SABC=12ABACsinBAC=1212sin60=32 又因为 PA面ABC，所以 PA 是三棱锥 PABC 的高，所以 V三棱锥PABC=13PASABC=13132=36（2） 过点 B 作 BN 垂直 AC 于点 N，过 N 作 NMPA 交 PC 于 M，则 MN面ABC AC面ABCMNACMNBN=NAC面BMNBM面BMNACBM 此时 M 即为所找点，在 ABN 中，易知 AN=12CMPC=CNAC322=34PMMC=1325. （1） 证法一：如图，连接 DG，CD，设 CDGF=O，连接 OH在三梭台 DEFABC 中，AB=2DE，G 为 AC 的中点，可得 DFGC，DF=GC，所以四边形 DFCG 为平行四边形，则 O 为 CD 的中点又 H 为 BC 的中点，所以 OHBD又 OH平面FGH，BD平面FGH，所以 BD平面FGH证法二：在三棱台 DEFABC 中，由 BC=2EF，H 为 BC 的中点，可得 BHEF，BH=EF，所以四边形 BHFE 为平行四边形，可得 BEHF在 ABC 中，G 为 AC 的中点，H 为 BC 的中点，所以 GHAB又 GHHF=H，所以平面 FGH平面ABED因为 BD平面ABED，所以 BD平面FGH（2） 如图，连接 HE因为 G，H 分别为 AC，BC 的中点，所以 GHAB由 ABBC，得 GHBC又 H 为 BC 的中点，所以 EFHC，EF=HC，因此四边形 EFCH 是平行四边形所以 CFHE又 CFBC，所以 HEBC又 HE,GH平面EGH，HEGH=H，所以 BC平面EGH又 BC平面BCD，所以 平面BCD平面EGH26. （1） 四边形 ABCD 为长方形， BCAD又 BC平面PDA，AD平面PDA， BC平面PDA（2） BCCD，平面PDC平面ABCD 且 平面PDC平面ABCD=CD，BC平面ABCD， BC平面PDC PD平面PDC， BCPD（3） 取 CD 的中点 E，连接 PE，AC PD=PC， PECD， PE=PC2CE2=4232=7 平面PDC平面ABCD 且 平面PDC平面ABCD=CD，PE平面PDC， PE平面ABCD由（2）知 BC平面PDC又 ADBC， AD平面PDC又 PD平面PDC， ADPD设点 C 到平面 PDA 的距离为 h，则 VCPDA=VPACD， 13SPDAh=13SACDPE， h=SACDPESPDA=123671234=372，故点 C 到平面 PDA 的距离为 37227. （1） 因为 PD底面ABCD，所以 PDBC由底面 ABCD 为长方形，有 BCCD，而 PDCD=D，所以 BC平面PCD因为 DE平面PCD，所以 BCDE又因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，所以 DEPC而 PCBC=C，所以 DE平面PBC由 BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形，即四面体 EBCD 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 BCD，BCE，DEC，DEB（2） 由已知，PD 是阳马 PABCD 的高，所以V1=13S长方形ABCDPD=13BCCDPD.由（1）知，DE 是鳖臑 DBCE 的高，BCCE，所以V2=13SBCEDE=16BCCEDE.在 RtPDC 中，因为 PD=CD，点 E 是 PC 的中点，所以 DE=CE=22CD，于是V1V2=13BCCDPD16BCCEDE=2CDPDCEDE=4.28. （1） 证明：如图，因为三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 AEBB1又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AEBC,BCBB1 于点 B，因此 AE平面B1BCC1，而 AE平面AEF，所以 平面AEF平面B1BCC1（2） 设 AB 的中点为 D，连接 A1D，CD，如图因为 ABC 是正三角形，所以 CDAB又三棱柱 ABCA1B1C1 是直三棱柱，所以 CDAA1因此 CD平面A1ABB1，于是 CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角由题设，CA1D=45，所以 A1D=CD=32AB=3在 RtAA1D 中，AA1=A1D2AD2=31=2，所以 FC=12AA1=22故三棱锥 FAEC 的体积 V=13SAECFC=133222=61229. （1） 在 AOC 中，因为 OA=OC，D 为 AC 的中点，所以 ACDO又 PO 垂直于圆 O 所在的平面，所以 POAC因为 DOPO=O，所以 AC平面PDO（2） 因为点 C 在圆 O 上，所以当 COAB 时，C 到 AB 的距离最大，且最大值为 1又 AB=2，所以 ABC 面积的最大值为 1221=1又因为三棱锥 PABC 的高 PO=1，故三棱锥 PABC 体积的最大值为 1311=13（3） 解法一：在 POB 中，PO=OB=1，POB=90，所以 PB=12+12=2同理 PC=2，所以 PB=PC=BC在三棱锥 PABC 中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BCP，使之与平面 ABP 共面，如图所示当 O，E，C 共线时，CE+OE 取得最小值又因为 OP=OB，CP=CB，所以 OC 垂直平分 PB，即 E 为 PB 的中点从而 OC=OE+EC=22+62=2+62，即 CE+OE 的最小值为 2+62解法二：在 POB 中，PO=OB=1，POB90，所以 OPB45，PB=12+12=2同理，PC=2所以 PB=PC=BC，所以 CPB60在三梭锥 PABC 中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BCP，使之与平面 ABP 共面，如图所示当 O，E，C 共线时，CEOE 取得最小值所以在 OCP 中，由余弦定理得OC2=1+2212cos45+60=1+22222122232=2+3.从而 OC=2+3=2+62所以 CE+OE 的最小值为 2+