高中数学 10.1《分类计数原理与分步计数原理》备课资料 旧人教版必修.doc

分步计数原理及其应用运用乘法原理解决问题时，首先要搞清完成的是怎样的“一件事”，其次要正确地决定按什么来分步、分为哪几步，然后为每一步的方法.只有把这件事的每一步都完成，这件事才能算完成.以下例题主要对问题中描述的是怎样“一件事”及如何分步进行分析，以便于合理正确地运用乘法原理解决问题.例1（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？分析：（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3=81种报名方法.（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能情况，于是共有4=43=64种可能的情况.答案：(1)81;(2)64.例2乘积（a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展开后共有多少项？分析：因为展开后的每一项为第一个括号中的一个，第二个括号中的一个与第三个括号中的一个的乘积，所以应分三步：m1=3,m2=4,m3=5,于是展开后共有m1m2m3=3=60项.答案：60项例3有4部车床，需加工3个不同的零件，其不同的安排方法有A.34B.43C.AD.44分析：事件为“加工3个零件”，每个零件都加工完这件事就算完成，应以“每个零件”为分步标准，共3步，而每个零件能在四部机床中的任一台上加工，所以有4种方法，于是安排方法有4=43=64种.答案：B例45名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每个同学可自由选择，则不同的选择种数是A.54B.45C.5D.分析：因为5名同学都去听讲座，这件事才能完成，所以应以同学进行分步，又因为讲座是同时进行的，每个同学只能选择其中一个讲座来听，于是有4种选择.当完成时共有4=45种不同选法.答案：B例5集合M=1，2，3的子集共有A.8B.7C.6D.5分析：此题事件为：从集合M中选取部分元素组成子集，因此就以元素为对象进行分步.而M中每个元素有选中与不选两种情况，于是子集的个数应为22=23=8个.答案：A说明：此题可推广到有n个元素的集合M，其子集个数为2n.例6设集合A=1,2,3,4,B=5,6,7,则从A到B的所有不同映射的个数是A.81B.64C.12D.以上都不正确分析：因映射为从A到B，所以A中每一个元素在B中应有一元素与之对应，也就是A中所有元素在B种都有象，因此应按A中元素分为4步，而对于A中每一元素，可与B中任一元素对应，于是不同对应个数应为3=81.答案：A备课资料一、基本原理在高考中的体现例1（2001年高考）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有_种.A.5B.4C.3D.6分析：此题运用分类计数原理.胜负平积分114033102330+390627+6由上述分类可得，该队胜、负、平的情况共有3种，故选C.例2（2001年高考）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连.连线标注的数字表示该段网线单位时间为可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量是A.20B.24C.26D.19分析：网络中，信息的传输要通过结点和网线，在单位时间内，所能传输的信息量，受其容量和流量的制约.解答本题要抓住结点的分流（或合流作用），以及网络支路的信息流量.解法一：依题意，每个信息由A传递到B都要经过两个中间结点，由网络图可知：由A送出的信息量最大值为12+12=24.但经过第一个结点分流时，能通过的信息量最多为（5+6）+12=23，再经过第二个结点分流到达B的信息量最多只能是3+4+6+6=19.故所求最大信息量为19.解法二：由结点A向结点B传递的信息，可由不同的4条支路通过，依所设网络图，由上至下四条支路所能传递的最大信息量依次是3，4，6，6，由于满足3+412,6+612,因此，虽然由A出发时，开始只有2个支路，也不妨碍信息的通过，所以由A到B，在单位时间内传递的最大信息量是3+4+6+6=19.答案：D例3（1999年高考题）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有_种.A.5B.6C.7D.8分析：本题主要考查运用数学知识分析和解决简单应用问题的能力，问题的背景是购买时额定资金的分配方式，要求在处理问题时懂得合理的科学分类，并准确进行计数，不重 不漏.解法一：将购买x件软件与y件磁盘所需资金列写成下表（表中的金额以不大于500元为限，且x3,y2） x y 3456232038044050033904504460由上表可知不同的选购方式为7种.解法二：设所购买的软件数为x，磁盘数为y，依题意可知：x,y都是整数，且应满足下列各式：问题转化为求该不等式组的整数解组个数.不等式组等价于当y=2时，得3x6,所以x的值为3、4、5或6;当y=3时，得3x4;所以x为3、4；当y=4时，得3x3.所以x=3.当y=5时，得3x,无解.综合得原方程组共有7组整数解.答案：C例4（1999年高考题）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄.为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有_种.（结果用数字作答）分析：本题是一道排列组合的应用题，主要考查基本原理的灵活运用以及基本的计数 技能.解法一：用表示种上作物的地垄，表示没有种上作物的地垄，则合乎题意的不同用地方式可画图如下：共有6种，对于每种用地方式，地垄上所种的两种作物可以互换位置，即有两种不同的种植方式.应用分步计数原理，共有62=12种不同选垄方法.解法二：将10垄地顺次编号为0，1，2，9，依题意，种植作物的2垄地的序号x和y应满足|x-y|7,为计算方便，不妨设xy,即得x-y7,式中x、y的取值范围是数集0，1，2，9.所以7y+7x9.因此，y只能取值为0，1，2.当y=0时，7x9,即x只能取7，8，9；当y=1时，8x9,即x只能取8，9;当y=2时，9x9,即x只能取值9.所以，不等式的解共6组，每一组解（x,y)对应着一种取垄方式，而每一种取垄方式种上不同两种作物的方法共有2种，故应用分步计数原理得不同的选垄方法数为62=12种.解法三：转化插空法.把空的6垄地看作一个整体，A、B两种作物可在其余4垄地上种植，共有如下6种情形：A种1垄，B种2，3，4垄；A种2垄，B种3，4垄；A种3垄，B种4垄.同理B与A位置可交换，再将6垄空地插入，一种插法.故不同取垄方法为62=12种.答案：12二、参考练习1.自然数2520有多少个正约数?分析：先考虑2520的分解.2520=2332,分四步完成：第一步：取20,21,22,23有4种；第二步：取30,31,32有3种；第三步：取50,51有2种；第四步：取70,71有2种.由分步计数原理，共有4=48个正约数.2.从1，2，3，4，7，9中任取不相同的两