勾股定理综合习题

精品文档 1欢迎下载 勾股定理复习勾股定理复习 4 如图 A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向 300 千米的 B 处 以 10 千米 时的速度向北 7 偏西 60 的 BF 方向移动 距台风中心 200 千米范围内是受台风影响的区域 1 A 市是否会受到台风的影响 写出你的结论并给予说明 2 如果 A 市受这次台风影响 那么受台风影响的时间有多长 1 直角三角形的面积为 斜边上的中线长为 则这个三角形周长为 Sd A B C D 2 2dSd 2 dSd 2 22dSd 2 2 dSd 2 如图 A B 两个村子在河 CD 的同侧 A B 两村到河的距离分别为 AC 1km BD 3km CD 3km 现 在河边 CD 上建一水厂向 A B 两村输送自来水 铺设水管的费用为 20000 元 千米 请你在 CD 选择 水厂位置 O 使铺设水管的费用最省 并求出铺设水管的总费用 F 3 ABC 中 BC a AC b AB c 若 C 90 如图 1 根据勾股定理 则 222 cba 若 ABC 不是直角三角形 如图 2 和图 3 请你类比勾股定理 试猜想 22 ba 与 2 c 的关系 并证 明你的结论 精品文档 2欢迎下载 课堂练习 课堂练习 1 将一根 24cm 的筷子 置于底面直径为 15cm 高 8cm 的圆柱形水杯中 如图所示 设筷子露在杯 子外面的长度为 hcm 则 h 的取值范围是 A h 17cm B h 8cm C 15cm h 16cm D 7cm h 16cm 2 如图 已知 于 P 求证 3 已知 如图 B D 90 A 60 AB 4 CD 2 求 四边形 ABCD 的面积 精品文档 3欢迎下载 在 Rt ABP 中 ABP 90 APB 30 AP 160 AB AP 80 在直角三角形中 30 所对的直角边等于斜边的一半 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m 这所中学会受到噪声的影响 如图 假设拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响 那么 AC 100 m 由勾股定理得 BC2 1002 802 3600 BC 60 同理 拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响 那么 AD 100 m BD 60 m CD 120 m 拖拉机行驶的速度为 18km h 5m s t 120m 5m s 24s 答 拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校会受到噪声影响 学校受影响的时间为 24 秒 6 如图所示 ABC 是等腰直角三角形 AB AC D 是斜边 BC 的中点 E F 分别是 AB AC 边上的点 且 DE DF 若 BE 12 CF 5 求线段 EF 的长 思路点拨 现已知 BE CF 要求 EF 但这三条线段不在同一三角形中 所以关键是线段的转化 根据直角三角形的特征 三角形的中线有特殊的性质 不妨先连接 AD 解 连接 AD 精品文档 4欢迎下载 因为 BAC 90 AB AC 又因为 AD 为 ABC 的中线 所以 AD DC DB AD BC 且 BAD C 45 因为 EDA ADF 90 又因为 CDF ADF 90 所以 EDA CDF 所以 AED CFD ASA 所以 AE FC 5 同理 AF BE 12 在 Rt AEF 中 根据勾股定理得 所以 EF 13 总结升华 此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识 通过此题 我们可以了解 当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时 应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中 求解 7 如图 在等腰 ABC 中 ACB 90 D E 为斜边 AB 上的点 且 DCE 45 求证 DE2 AD2 BE2 E C A B D F E C A B D 分析 利用全等三角形的旋转变换 进行边角的全等变换 将边转移到一个三角形中 并构造直角 三角形 8 如图 长方形 ABCD 中 AB 8 BC 4 将长方形沿 AC 折叠 点 D 落在点 E 处 则重叠部分 AFC 的 面积是 精品文档 5欢迎下载 E F D B C A 设 EF x 那么 AF CF 8 x AE 2 EF 2 AF 2 所以 4 2 x 2 8 x 2 解得 x 3 S 4 8 2 3 4 2 10 答案 10 4 一辆装满货物的卡车 其外形高 2 5 米 宽 1 6 米 要开进厂门形状如图的某工厂 问这辆卡 车能否通过该工厂的厂门 答案 由于厂门宽度是否足够卡车通过 只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于 CH 如图所示 点 D 在离厂门中线 0 8 米处 且 CD 与地面交于 H 解 OC 1 米 大门宽度一半 OD 0 8 米 卡车宽度一半 在 Rt OCD 中 由勾股定理得 CD 米 C 米 米 因此高度上有 0 4 米的余量 所以卡车能通过厂门 B C A D CB A D BC A D CB A D 精品文档 6欢迎下载 5 如图 公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇 且 QPN 30 点 A 处有一所中学 AP 160m 假设 拖拉机行驶时 周围 100m 以内会受到噪音的影响 那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时 学校 是否会受到噪声影响 请说明理由 如果受影响 已知拖拉机的速度为 18km h 那么学校受影响的 时间为多少秒 思路点拨 1 要判断拖拉机的噪音是否影响学校 A 实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m 小于 100m 则受影响 大于 100m 则不受影响 故作垂线段 AB 并计算其长度 2 要求出学校 受影响的时间 实质是要求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程 因此必须找到拖拉机行至哪一点 开始影响学校 行至哪一点后结束影响学校 解析 作 AB MN 垂足为 B 9 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点 A 处 一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点 C1 处 如图 已知长方形长 6cm 宽 5 cm 高 3 cm 蜘蛛因急于捉到苍蝇 沿着长方形 的表面向上爬 它要从 A 点爬到 C1 点 有很多路线 它们有长有短 蜘蛛究竟应该沿着 怎样的路线爬上去 所走的距离最短 你能帮蜘蛛求出最短距离吗 9 C1 A 精品文档 7欢迎下载 10 已知 ABC 的三边 a b c 且 a b 17 ab 60 c 13 ABC 是否是直角三角形 你能说明理 由吗 答案 是直角三角形 平方差公式的灵活运用 abbaba2 222 22 16960217c 家庭作业 家庭作业 一 选择题 1 下列说法正确的有 ABC 是直角三角形 C 90 则 a2 b2 c2 ABC 中 a2 b2 c2 则 ABC 不是直角三角形 若 ABC 中 a2 b2 c2 则 ABC 是直角三角形 若 ABC 是直角三角形 则 a b a b c2 A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 2 已知 Rt ABC 中 C 90 若 a b 14cm c 10cm 则 Rt ABC 的面积是 A 24cm2 B 36cm2 C 48cm2 D 60cm2 3 已知 如图 一轮船以 20 海里 时的速度从港口 A 出发向东北方向航行 另一轮船以 15 海里 时的速度同时从港 口 A 出发向东南方向航行 则 2 小时后 两船相距 A 35 海里 B 40 海里 C 45 海里 D 50 海里 精品文档 8欢迎下载 4 如图 已知矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠 使点 C 落在 C 处 BC 交 AD 于 E AD 8 AB 4 则 DE 的长为 A 3 B 4 C 5 D 6 二 填空题 共 4 小题 每小题 4 分 共 16 分 把答案填在题后的横线上 5 如图 学校有一块长方形草坪 有极少数人为了避开拐角走 捷径 在草坪内走出了一条 路 他们仅仅少走了 步路 假设 2 步为 1 米 却踩伤了青草 6 如图 圆柱形玻璃容器高 20cm 底面圆的周长为 48cm 在外侧距下底 1cm 的点 A 处有一蜘蛛 与 蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口 1cm 的点 B 处有一只苍蝇 则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为 7 如果三条线段的长度分别为 8cm xcm 18cm 这三条线段恰好能组成一个直角三角形 那么以 x 为边长的正方形 的面积为 8 已知 ABC 的三边 a b c 满足等式 a b 1 2a b 14 c 5 则 ABC 的面积为 三 解答题 共 6 小题 1 2 题各 10 分 3 6 题各 12 分 共 68 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 9 如图是一块地 已知 AB 8m BC 6m B 90 AD 26m CD 24m 求这块地的面积 精品文档 9欢迎下载 10 如图 将一根 30 长的细木棒放入长 宽 高分别为 8 6 和 24 的长方体无盖盒子中 求细木棒露在盒 外面的最短长度是多少 11 如图 铁路上 A B 两点相距 25km C D 为两村庄 DA AB 于 A CB AB 于 B 若 DA 10km CB 15km 现要在 AB 上建一个周转站 E 使得 C D 两村到 E 站的距离相等 则周转站 E 应建在距 A 点多 远处 12 如图 折叠矩形纸片 ABCD 先折出折痕 对角线 AC 再折叠使 AB 边与 AC 重合 得折痕 AE 若 AB 3 AD 4 求 BE 的长 13 如图 A B 两个小镇在河流 CD 的同侧 到河流的距离分别为 AC 10km BD 30km 且 CD 30km 现在要在河边建 一自来水厂 向 A B 两镇供水 铺设水管的费用为每 km3 万元 请你在河流 CD 上选择建水厂的位置 M 使铺设 水管的费用最节省 并求出总费用是多少 精品文档 10欢迎下载 14 交通管理条例 规定 小汽车在城街路上行驶速度不得超过 70 千米 小时 如图 一辆小汽车在一条城市街路 上直线行驶 某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置 A 处正前方 30 米的 C 处 过了 2 秒后 测得小汽车所在 位置 B 处与车速检测仪间距离为 50 米 这辆小汽车超速了吗 附加题 10 分 不计入总分 如图 P 是矩形 ABCD 内一点 PA 1 PB 5 PC 7 则 PD 一 1 C 2 A 3 D 4 C 二 5 4 6 30cm 7 260cm 或 388cm 8 30 三 9 解 连接 AC 1 分 在 ABC 中 AB 8m BC 6m B 90 由勾股定理 AC2 AB2 BC2 82 62 100 AC 10 3 分 精品文档 11欢迎下载 在 ACD 中 AC2 CD2 102 242 676 AD2 676 AC2 CD2 AD2 ACD 是直角三角形 6 分 8 分 答 求这块地的面积是 96m2 10 分 10 解 由勾股定理 82 62 102 3 分 102 242 262 6 分 30 26 4 8 分 答 细木棒露在盒外面的最短长度是 4cm 10 分 11 解 设 E 点建在距 A 点 xkm 处 1 分 如图 则 AE 长 xkm BE 长 25 x km 2 分 DA AB DAE 是直角三角形 由勾股定理 DE2 AD2 AE2 102 x2 5 分 同理 在 Rt CBE 中 CB2 BE2 152 25 x 2 7 分 依题意 102 x2 152 25 x 2 9 分 解得 x 15 11 分 答 E 应建在距 A15km 处 12 分 精品文档 12欢迎下载 12 解 在 AC 上截取 AF AB 连接 EF 1 分 依题意 AB AF BE EF B AFE 90 3 分 在 Rt ABC 中 AB 3 BC AD 4 AC2 32 42 25 AC 5 CF AC AF 5 3 2 5 分 设 BE 长为 x 则 EF x CE 4 x 7 分 在 Rt CFE 中 CE2 EF2 CF2 即 4 x 2 x2 22 9 分 解得 x 11 分 答 BE 的长为 12 分 13 解 作点 A 关于 CD 的对称点 E 连接 EB 交 CD 于 M 则 AC CE 10 公里 2 分 过点 A 作 AF BD 垂足为 F 过点 B 作 CD 的平行线交 EA 延长线于 G 得矩形 CDBG 4 分 则 CG BD 30 公里 BG CD 30 公里 EG CG CE 30 10 40 里 7 分 在 Rt BGE 中 由勾股定理 BE2 BG2 EG2 302 402 BE 50km 9 分 3 50 150 万元 11 分 答 铺设水管的总费用最少为 150 万元 12 分 14 解 依题意 在 Rt ACB 中 AC 30 米 AB 50 米 精品文档 13欢迎下载 由勾股定理 BC2 AB2 AC2 502 302 BC 40 米 3 分 小汽车由 C 到 B 的速度为 40 2 20 米 秒 5 分 20 米 秒 72 千米 小时 8 分 72 70 10 分 因此 这辆小汽车超速了 12 分 附加题 解 过点 P 作 MN AD 交 AB 于点 M 交 CD 于点 N 则 AM DN BM CN 2 分 PMA PMB 90 PA2 PM2 AM2 PB2 PM2 BM2 4 分 PA2 PB2 AM2 BM2 5 分 同理 PD2 PC2 DN2 CN2 7 分 PA2 PB2 PD2 PC2 又 PA 1 PB 5 PC 7 8 分 PD2 PA2 PB2 PC2 12 52 72 PD 5 10 分 初二数学实数单元复习导学案初二数学实数单元复习导学案 目标认知目标认知 精品文档 14欢迎下载 一 知识网络 一 知识网络 二 重难点聚焦 二 重难点聚焦 教学重点 算术平方根和平方根的概念及其求法 教学难点 平方根和实数的概念 三 知识要点回顾 三 知识要点回顾 精品文档 15欢迎下载 4 实数的三个非负性 a 0 a2 0 0 a 0 5 实数的运算 加减法 类比合并同类项 乘法 a 0 b 0 除法 a 0 b 0 6 算术平方根与平方根的区别与联系 区别 定义不同 个数不同 表示方法不同 取值范围不同 联系 具有包含关系 存在条件相同 0 的算术平方根与平方根都是 0 提示提示 1 正数的平方根有两个 它们互为相反数 其中正的那个叫它的算术平方根 零的平方根和算术平方 根都是零 负数没有平方根 2 实数都有立方根 且一个数的立方根只有一个 它的符号与被开方数的符号相同 3 所有的实数分成三类 有限小数 无限循环小数 无限不循环小数 其中有限小数和无限循环小数 统称有理数 无限不循环小数叫做无理数 4 无理数分成三类 开方开不尽的数 如 等 有特殊意义的数 如 有特定结构的 数 如 0 1010010001 5 有理数和无理数统称实数 实数和数轴上的点一一对应 6 实数的运算 实数运算的基础是有理数运算 有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算 正确地确定运算结果的符号和灵活运用各种运算律来进行运算是掌握好实数运算的关键 规律方法整合规律方法整合 1 1 有关概念的识别 有关概念的识别 1 下面几个数 0 23 1 010010001 3 其中 无理数的个数有 A 1 B 2 C 3 D 4 精品文档 16欢迎下载 解析 本题主要考察对无理数概念的理解和应用 其中 1 010010001 3 是无理数 故选 C 变式 1 下列说法中正确的是 A 的平方根是 3 B 1 的立方根是 1 C 1 D 是 5 的平方根的相反数 答案 本题主要考察平方根 算术平方根 立方根的概念 9 9 的平方根是 3 A 正确 1 的立方根是 1 1 是 5 的平方根 B C D 都不正确 变式 2 如图 以数轴的单位长线段为边做一个正方形 以数轴的原点为圆心 正方形对角线长为半径画弧 交数轴正半轴于点 A 则点 A 表示的数是 A 1 B 1 4 C D 答案 本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系 正方形的边长为 1 对角线为 由圆的定 义知 AO A 表示数为 故选 C 变式 3 例 已知那么 a b c 的值为 答案 初中阶段的三个非负数 a2 0 0 a 2 b 5 c 1 a b c 2 2 2 计算类型题 计算类型题 2 设 则下列结论正确的是 A B C D 精品文档 17欢迎下载 解析 估算 因为 所以选 B 变式 1 1 1 25 的算术平方根是 平方根是 2 27 立方根是 3 答案 1 2 3 3 变式 2 求下列各式中的 1 2 3 答案 1 2 x 4 或 x 2 3 x 4 变式 3 化简 答案 3 3 数形结合 数形结合 3 点A在数轴上表示的数为 点B在数轴上表示的数为 则A B两点的距离为 解析 在数轴上找到 A B 两点 变式 1 如图 数轴上表示 1 的对应点分别为 A B 点 B 关于点 A 的对称点为 C 则点 C 表示的数是 A 1 B 1 C 2 D 2 答案 选 C 精品文档 18欢迎下载 4 4 易错题易错题 4 判断下列说法是否正确 1 的算术平方根是 3 2 的平方根是 15 3 当 x 0 或 2 时 4 是分数 解析 1 错在对算术平方根的理解有误 算术平方根是非负数 故 2 表示 225 的算术平方根 即 15 实际上 本题是求 15 的平方根 故的平方根 是 3 注意到 当x 0 时 显然此式无意义 发生错误的原因是忽视了 负数 没有平方根 故x 0 所以当x 2 时 x 0 4 错在对实数的概念理解不清 形如分数 但不是分数 它是无理数 学习成果测评 学习成果测评 A A 组 基础 组 基础 一 细心选一选 1 下列各式中正确的是 A B C D 2 的平方根是 A 4 B C 2 D 3 下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数 2 是 4 的平方根 带根号的数都是无理数 精品文档 19欢迎下载 其中正确的说法有 A 3 个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 4 和数轴上的点一一对应的是 A 整数 B 有理数 C 无理数 D 实数 5 对于来说 A 有平方根 B 只有算术平方根 C 没有平方根 D 不能确定 6 在 两个 1 之间依次多 1 个 0 中 无理数的 个数有 A 3 个 B 4 个 C 5 个 D 6 个 7 面积为 11 的正方形边长为 x 则 x 的范围是 A B C D 8 下列各组数中 互为相反数的是 A 2 与 B 与 C 与 D 与 9 8 的立方根与 4 的平方根之和是 A 0 B 4 C 0 或 4 D 0 或 4 精品文档 20欢迎下载 10 已知一个自然数的算术平方根是 a 则该自然数的下一个自然数的算术平方根是 A B C D 二 耐心填一填 11 的相反数是 绝对值等于的数是 12 的算术平方根是 13 的平方根等于它本身 的立方根等于它本身 的算术平方根等于它本身 14 已知 x 的算术平方根是 8 那么 x 的立方根是 15 填入两个和为 6 的无理数 使等式成立 6 16 大于 小于的整数有 个 17 若 2a 5 与互为相反数 则 a b 18 若 a 6 3 且 ab0 则 a b 19 数轴上点 A 点 B 分别表示实数则 A B 两点间的距离为 20 一个正数 x 的两个平方根分别是 a 2 和 a 4 则 a x 精品文档 21欢迎下载 三 认真解一解 21 计算 4 9 2 结果保留 3 个有效数字 22 在数轴上表示下列各数和它们的相反数 并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列 用 号 连接 参考答案 参考答案 一 1 B 2 D 3 B 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C 9 C 10 D 二 11 3 12 3 13 0 0 0 1 14 15 答案不唯一 如 16 5 17 18 15 19 2 20 1 9 三 21 17 9 2 36 37 9 22 精品文档 22欢迎下载 B B 组 提高 组 提高 一 选择题 一 选择题 1 的算术平方根是 A 0 14 B 0 014 C D 2 的平方根是 A 6 B 36 C 6 D 3 下列计算或判断 3 都是 27 的立方根