安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测理数试题

安徽省合肥市安徽省合肥市 20182018 届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测 数学理试题数学理试题 第第 卷 共卷 共 6060 分 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 个小题个小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有一在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 已知 为虚数单位 则 i 234 2 ii i A 5 B C D 5i 712 55 i 712 55 i 2 已知等差数 若 则的前 7 项的和是 n a 25 10 1aa n a A 112 B 51 C 28 D 18 3 已知集合是函数的定义域 集合是函数的值域 则 M 1 12 y x N 2 4yx MN A B 1 2 x x 1 4 2 xx C 且 D 1 2 x y x 4y 4 若双曲线的一条渐近线方程为 该双曲线的离心率是 22 22 10 0 xy ab ab 2yx A B C D 5 2 352 3 5 执行如图程序框图 若输入的等于 10 则输出的结果是 n A 2 B C D 3 1 2 1 3 6 已知某公司生产的一种产品的质量 单位 克 服从正态分布 现从该产品的生产线上随机抽X 100 4N 取 10000 件产品 其中质量在内的产品估计有 98 104 附 若服从 则 X 2 N 0 6826PX 220 9544PX A 3413 件 B 4772 件 C 6826 件 D 8185 件 7 将函数的图像先向右平移个单位 再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来cossinyxx 0 的倍 得到的图像 则的可能取值为 acos2sin2yxx a A B C D 2 2 a 3 2 8 a 31 82 a 1 22 a 8 已知数列的前项和为 若 则 n an n S323 nn San 2018 a A B C D 2018 21 2018 36 2018 17 22 2018 110 33 9 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某几何体的三视图 则该几何体的表面积为 A B C D 518 618 86 106 10 已知直线与曲线相切 其中 为自然对数的底数 则实数的值是 210 xy x yaex ea A B 1 C 2 D 1 2 e 11 某企业生产甲 乙两种产品 销售利润分别为 2 千元 件 1 千元 件 甲 乙两种产品都需要在两AB 种设备上加工 生产一件甲产品需用设备 2 小时 设备 6 小时 生产一件乙产品需用设备 3 小时 ABA 设备 1 小时 两种设备每月可使用时间数分别为 480 小时 960 小时 若生产的产品都能及时售出 BAB 则该企业每月利润的最大值为 A 320 千元 B 360 千元 C 400 千元 D 440 千元 12 已知函数 其中 为自然对数的底数 若函数有 4 个零 2 2 2 x e f xxxg x x e h xfg xk 点 则的取值范围为 k A B C D 1 0 0 1 2 21 1 ee 2 21 0 ee 第第 卷 共卷 共 9090 分 分 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 5 分 满分分 满分 2020 分 将答案填在答题纸上 分 将答案填在答题纸上 13 若平面向量满足 则 a b 2 6abab a b 14 已知是常数 且 则 m 5432 520 5 431 1 a xa xa xa xa xamx 123455 33aaaaaa m 15 抛物线的焦点为 准线 与轴交于点 过抛物线上一点 第一象限内 作 的垂线 2 4E yx FlxAEPl 垂足为 若四边形的周长为 16 则点的坐标为 PQQAFPQP 16 在四面体中 二面角的大小为 则四面ABCD2 60 90ABADBADBCD ABDC 150 体外接球的半径为 ABCD 三 解答题三 解答题 本大题共 本大题共 6 6 小题 共小题 共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知的内角的对边分别为 ABC A B C a b c 2coscos0abCcA 1 求角 C 2 若 求的周长的最大值 2 3c ABC 18 2014 年 9 月 国务院发布了 关于深化考试招生制度改革的实施意见 某地作为高考改革试点地区 从当年秋季新入学的高一学生开始实施 高考不再分文理科 每个考生 英语 语文 数学三科为必考科 目 并从物理 化学 生物 政治 历史 地理六个科目中任选三个科目参加高考 物理 化学 生物为自 然科 学科目 政治 历史 地理为社会科学科目 假设某位考生选考这六个科目的可能性相等 1 求他所选考的三个科目中 至少有一个自然科学科目的概率 2 已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目 两个科目属于自然科学科目 若该考生 所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是 0 8 所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都AA 是 0 75 且所选考的各个科目考试的成绩相互独立 用随机变量表示他所选考的三个科目中考试成绩获X 等的科目数 求的分布列和数学期望 AX 19 如图 在多面体中 是正方形 平面 平面 点ABCDEFABCDBF ABCDDE ABCDBFDE 为棱的中点 MAE 1 求证 平面平面 BMDEFC 2 若 求直线与平面所成的角的正弦值 2DEAB AEBDM 20 在平面直角坐标系中 圆交轴于点 交轴于点 以为顶点 分别为左 右Ox 12 F Fy 12 B B 12 B B 12 F F 焦点的椭圆 恰好经过点 E 2 1 2 1 求椭圆的标准方程 E 2 设经过点的直线 与椭圆交于两点 求面积的最大值 2 0 lE M N 2 F MN 21 已知 ln 21 a f xxaR x 1 讨论的单调性 f x 2 若恒成立 求的值 f xax a 请考生在请考生在 2222 2323 两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 曲线 为参数 在以为极点 轴的正半轴为极轴的极坐标系xOy 1 3cos 2sin x C y Ox 中 曲线 2 2cos0C 1 求曲线的普通方程 2 C 2 若曲线上有一动点 曲线上有一动点 求的最小值 1 CM 2 CNMN 23 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 21f xx 1 解关于的不等式 x 11f xf x 2 若关于的不等式的解集不是空集 求的取值范围 x 1f xmf x m 试卷答案试卷答案 一 选择题一 选择题 1 5 ACBCC 6 10 DDACB 11 12 BD 二 填空题二 填空题 13 14 3 15 16 1 4 4 21 3 三 解答题三 解答题 17 解 1 根据正弦定理 由已知得 sin2sincossincos0ABCCA 即 sincossincos2sincosACCABC sin2sincosACBC ACB sinsinsin0ACBB 从而 sin2sincosBBC 1 cos 2 C 0 C 3 C 2 由 1 和余弦定理得 即 222 1 cos 22 abc C ab 22 12abab 2 2 1233 2 ab abab 即 当且仅当时等号成立 2 48ab 2 3ab 所以 周长的最大值为 ABC 4 36 3c 18 1 记 某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目 为事件 M 则 3 3 3 6 119 11 2020 C P M C 所以该位考生选考的三个科目中 至少有一个自然科学科目的概率为 19 20 2 随机变量的所有可能取值有 0 1 2 3 X 因为 2 111 0 5480 P X 2 1 2 411131 1 545448 P XC 2 1 2 4131333 2 5445480 P XC 2 439 3 5420 P X 所以的分布列为X 所以 1103336 01232 3 80808080 E X 19 1 证明 连结 交于点 ACBDN 为的中点 NAC MNEC 平面 平面 MN EFCEC EFC 平面 MNEFC 都垂直底面 BF DEABCD BFDE BFDE 为平行四边形 BDEF BDEF 平面 平面 BD EFCEF EFC 平面 BDEFC 又 平面平面 MNBDN BDMEFC 2 由已知 平面 是正方形 DE ABCDABCD 两两垂直 如图 建立空间直角坐标系 DA DC DEDxyz 设 则 从而 2AB 4DE 2 2 0 1 0 2 2 0 0 0 0 4BMAE 2 2 0 1 0 2DBDM 设平面的一个法向量为 BDM nx y z 由得 0 0 n DB n DM 220 20 xy xz 令 则 从而 2x 2 1yz 2 2 1n 设与平面所成的角为 则 2 0 4AE AEBDM 4 5 sincos 15 n AE n AE nAE 所以 直线与平面所成角的正弦值为 AEBDM 4 5 15 20 1 由已知可得 椭圆的焦点在轴上 Ex 设椭圆的标准方程为 焦距为 则 E 22 22 10 xy ab ab 2cbc 椭圆的标准方程为 2222 2abcb E 22 22 1 2 xy bb 又 椭圆过点 解得 E 2 1 2 22 1 1 2 1 2bb 2 1b 椭圆的标准方程为 E 2 2 1 2 x y 2 由于点在椭圆外 所以直线 的斜率存在 2 0 El 设直线 的斜率为 则直线 设 lk 2l yk x 1122 M x yN xy 由消去得 2 2 2 1 2 yk x x y y 2222 128820kxk xk 由得 从而 0 2 1 0 2 k 22 1212 22 882 1212 kk xxx x kk 2 22 12 2 2 24 12 1 12 k MNkxxk k 点到直线 的距离 2 1 0Fl 2 3 1 k d k 的面积为 2 F MN 22 2 2 24 1 3 2 12 kk SMNd k 令 则 2 12kt 1 2t 2 22 1232 33 tttt S tt 2 2 32131 3132 48ttt 当即时 有最大值 此时 13 4t 4 4 1 2 3 3 t S max 3 2 4 S 6 6 k 所以 当直线 的斜率为时 可使的面积最大 其最大值 l 6 6 2 F MN 3 2 4 21 的定义域为 f x 1 2 2 22 222 2121 axaxa fx xxxx 2 210 0 xx 令 则 2 22g xxaxa 1 若 即当时 对任意 恒成立 即当时 0 02a 1 2 x 0g x 1 2 x 恒成立 仅在孤立点处等号成立 0fx 在上单调递增 f x 1 2 2 若 即当或时 的对称轴为 0 2a 0a g x 2 a x 当时 且 0a 0 2 a 11 0 22 g 如图 任意 恒成立 即任意时 恒成立 1 2 x 0g x 1 2 x 0fx 在上单调递增 f x 1 2 当时 且 2a 1 2 a 11 0 22 g 如图 记的两根为 0g x 22 12 11 2 2 22 xaaaxaaa 当时 12 1 2 xxx 0g x 当时 2 1 1 2 2 2 aaa 0g x 当时 12 1 2 xxx 0fx 当时 12 xx x 0fx 在和上单调递增 在上单调递减 f x 1 1 2 x 2 x 12 x x 综上 当时 在上单调递增 2a f x 1 2 当时 在和上单调递增 2a f x 2 1 1 2 2 2 aaa 2 1 2 2 aaa 在上单调递减 22 11 2 2 22 aaaaaa 恒成立等价于 恒成立 f xax 1 2 x 0f xax 令 则恒成立等价于 ln 21 a h xf xaxxax x f xax 1 2 x 01h xh 要满足式 即在时取得最大值 h x1x 32 2 222 21 axa xaxa h x xx 由解得 10 h 1a 当时 1a 2 2 121 21 xxx h x xx 当时 当时 1 1 2 x 0h x 1 x 0h x 当时 在上单调递增 在上单调递减 从而 符合题意 1a h x 1 1 2 1 10h xh 所以 1a 22 1 由得 2cos0 2 2 cos0 因为 所以 222 cosxyx 22 20 xyx 即曲线的普通方程为 2 C 2 2 11xy 2 由 1 可知 圆的圆心为 半径为 1 2 C 2 1 0C 设曲线上的动点 1 C 3cos 2sinM 由动点在圆上可得 N 2 C 2 minmin 1MNMC 2 22 2 3cos14s