数学-九上下秋季讲义--培优.doc

DSDS 金牌数学专题一金牌数学专题一 一元二次方程一元二次方程 知识点精讲知识点精讲 1 一元二次方程的概念 只含有 个未知数 未知数的最高次数是 且二次项系为 的整式方程叫一元二次方程 一元二次方程的一般形式 其中二次项系数为 00 2 acbxax 一次项系数为 常数项为 2 一元二次方程的解法 直接开平方法 针对 0 2 anna mx 配方法 针对 再通过配方转化成 00 2 acbxax 0 2 nnmxa 注 配方法的目的是将方程左边化成含未知数的完全平方 右边是一个非 负 常数的形式 配方法常用于证明一个式子恒大于 0 或恒小于 0 或者求二次函数的最 值 公式法 当时 用求根公式 求0 一元二次方程根的方法 00 2 acbxax 因式分解法 通过因式分解 把方程变形为 则有 0 nxmxa 或 mx nx 注 因式分解的常用方法 提公因式 公式法 十字相乘法 在这里均可使 用 其中十字相乘法是最方便 快捷的方法 此法可拓展应用于求解高次方程 典型例题讲解及思维拓展典型例题讲解及思维拓展 例例 1 1 方程是关于的一元二次方程 则 0132 mxxm m xm 关于的一元二次方程有一个根是 0 则 x 011 22 axxaa 拓展变式练习拓展变式练习 1 1 关于的方程是一元二次方程 则 x03 3 7 2 xxm m m 2 已知方程的一个根 则的值为 01 2 mxx12 1 xm 例例 2 解下列方程 解下列方程 018 2 xx 22 21239xx 拓展变式练习拓展变式练习 2 2 解下列方程解下列方程 863 2 xx 22 21239xx 1232 xx 2 2 2596xxx 04 32 5 23 2 xx 0212312 2 xx 22 23nnmxmx axaaxx 22 2 例例 3 已知 求的值 013 2 xx 2 5 2 63 3 2 x x xx x 拓展变式练习拓展变式练习 3 3 1 已知 求的值 020005 2 xx 2 1 12 23 x xx 2 已知 求的值 013 2 aa 2 2 1 9 294 a aa 巩固训练题 一 填空题一 填空题 1 若方程是一元二次方程 则的值为 0532 2 2 xmxm m m 2 已知方程的解与方程的解完全相同 则 08 xax087 2 xxa 3 如果二次三项式是一个完全平方式 那么的值是 22 6mxx m 4 若是一个完全平方式 则的值是 4 1 2 mxxm 5 已知 则的值是 065 22 yxyx y x 6 已知 则代数式的值为 753 2 xx293 2 xx 二 解答题 1 解下列方程 0405 2 x 064429 2 x 2 2360 xx 081364 2 xx 6 22 52 2 xx xx21053 2 2 某商店如果将进价为 8 元的商品按 10 元销售 每天可售出 200 件 通过 一段时间的摸索 该店主发现这种商品每涨价 0 5 元 其销售量就减少 10 件 每降价 0 5 元 其销售量就增加 10 件 1 你能帮店主设计一种方案 使每天的利润达到 700 元吗 2 当售价是多少元时 能使一天的利润最大 最大利润是多少 思维与能力提升思维与能力提升 1 设 为实数 求的最小值 并求此时 的值 ab5422 22 bbabaab 2 设 为实数 求的最小值 并求此abc1984254 222 cbcbaba 时的值 cba 3 已知的较大根为 的 01200920072008 2 xxa020092008 2 xx 较小根为 求 b 2003 ba 4 如图 锐角ABC 中 PQRS 是ABC 的内接矩形 且 SS PQRSABC n 矩形 其中为不小于 3 的自然数 求证 为无理数 n AB BS 补充讲解补充讲解 反思与归纳反思与归纳 DS 金牌数学专题二金牌数学专题二 一元二次方程一元二次方程 知识点精讲知识点精讲 1 一元二次方程根的判别式 根的判别式 一元二次方程是否有实根 由 00 2 acbxax 的符号确定 因此我们把 叫做一元二次方程的根的判别式 并用表示 即 一元二次方程根的情况与判别式的关系 方程有 的实数根 方程有 的实数根 0 0 方程 实数根 方程 实数根 0 0 2 根系关系 韦达定理 对于一元二次方程的两根 有 00 2 acbxax 21 xx a b xx 21 a c xx 21 推论 如果方程的两个根是 那么 0 2 qpxx 21 xxpxx 21 qxx 21 常用变形 21 2 21 2 2 2 1 2xxxxxx 21 2 21 2 21 4xxxxxx 3 列方程解应用题的一般步骤 4 常见题型 面积问题 平均增长 降低 率问题 销售问题 储蓄问题 典型例题讲解及思维拓展典型例题讲解及思维拓展 例例 1 若关于的方程有实根 求的取值范围 x 01221 22 xmxmm 拓展变式练习拓展变式练习 1 1 1 若关于的方程有实数根 求 m 的值 x032 1 22 mmxxm 2 是否存在这样的非负整数 使得关于的一元二次方程mx 有两个不相等的实数根 若存在 请求出的值 019132 2 mxmmxm 若不存在 请说明理由 例例 2 2 已知是方程的两根 不解方程 求下列代数式 21 xx 0362 2 xx 的值 2 1 1 2 x x x x 1 2 2 1 11 x x x x 2 21 xx 拓展变式练习拓展变式练习 2 2 1 已知是方程的两根 不解方程 求下列各式的值 21 xx 0362 2 xx 3 212 3 1 xxxx 11 2 1 1 2 x x x x 21 xx 2 已知关于的方程 是否存在正数 使方程的两x 02 4 1 22 mxmxm 实根的平方和等于 224 若存在 则求出来 若不存在 说明理由 例例 3 3 某省为解决农村饮用水问题 省财政部门共投资 20 亿元对各市的农村 饮用水的 改水工程 予以一定比例的补助 2008 年 A 市在省财政补助的基 础上投入 600 万元用于 改水工程 计划以后每年以相同的增长率投资 2010 年该市计划投资 改水工程 1176 万元 1 求 A 市投资 改水工程 的年平均增长率 2 从 2008 年到 2010 年 A 市三年共投资 改水工程 多少万元 拓展变式练习拓展变式练习 3 3 1 市政府为解决市民看病贵的问题 决定下调一些药品的价格 某种药品的 售价为 125 元 盒 连续两次降价后的售价为 80 元 盒 假设每次降价的百分率 相同 求这种药品每次降价的百分率 2 王洪将 100 元暑期勤工俭学所得的 100 元 按一年期定期存入少儿银行 到期后取出本息和 其中的 50 元捐给希望工程 余下的部分又按一年定期存入 这时存款利率已下调到第一年的一半 这样到期后得本息和共 63 元 求第一年 的存款利率 3 一快餐店试销某种套餐 试销一段时间后发现 每份套餐的成本为 5 元 该店每天固定支出费用为 600 元 不含套餐成本 若每份售价不超过 10 元 每 天可销售 400 份 若每份售价超过 10 元 每提高 1 元 每天的销售量就减少 40 份 为了便于结算 每份套餐的售价 元 取整数 用 y 元 表示该店日净收x 入 日净收入 每天的销售额 套餐成本 每天固定支出 求 y 与的函数关系式 x 2 若每份套餐售价不超过 10 元 要使该店日净收入不少于 800 元 那么每份 售价最少不低于多少元 3 该店既要吸引顾客 使每天销售量较大 又要有较高的日净收入 按此要 求 每份套餐的售价应定为多少元 此时日净收入为多少 巩固训练题 一 填空题 1 已知方程的一个根是 则另一根为 02 2 mxx51 m 2 如果是两个不相等的实数 且 则 21 xx 12 1 2 1 xx12 2 2 2 xx 21x x 3 若 是方程的两个实数根 则 ab053 2 xxbba32 22 4 以 2 与 6 为根的一元二次方程是 5 一种药品经过两次降价 药价从原来每盒 60 元降至到现在 48 6 元 则平 均每次降价的百分比率是 6 巴中日报讯 今年我市小春粮油再获丰收 全市产量预计由前年的 45 万吨 提升到 50 万吨 设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为 则可列方x 程为 二 解答题 1 已知 是方程的两个根 是方程的ab04 2 mxxbc058 2 mxx 两个根 求的值 m 2 为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神 最近 州委 州政府又出台了一系列 三农 优惠政策 使农民收入大幅度增加 某农户生产 经销一种农产品 已知这种产品的成本价为 20 元 千克 市场调查发现 该产品 每天的销售量 W 克 与销售价 元 千克 有如下关系 W 2 80 设这种产xx 品每天的销售利润 元 y 1 求与之间的函数关系式 yx 2 当销售价定为多少元时 每天的销售利润最大 最大利润是多少 3 如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于 28 元 千克 该农户想要 每天获得 150 元的销售利润 销售价应定为多少元 思维与能力提升思维与能力提升 1 当是什么整数时 方程有两个不相等的正k 0721361 22 xkxk 整数根 2 已知关于的方程的两个不相等实数根中x 03212 22 mmxmx 有一根为 0 是否存在实数 使关于的方程 kx 025 22 mmkxmkx 的两个实根之差的绝对值为 1 若存在 求出的值 若不存在 请说 21 xx k 明理由 3 已知是关于的方程的两个实数根 且 21 xx x 00 2 pqpxx 求的值 13 2 221 2 1 xxxx 0 21 1 2 1 1 xx xxqp 4 已知实数 满足 求 中最大者abc2 cba4 abcabc 的 最小值 补充讲解补充讲解 反思与归纳反思与归纳 DSDS 金牌数学专题三金牌数学专题三 反比例函数反比例函数 知识点精讲知识点精讲 1 反比例函数 概念 一般地 如果两个变量 之间的关系可以表示成 为xy x k y k 常数 的形式 那么称是的反比例函数 其中自变量不能为0 kyxx 零 常见形式 为常数 为常数 x k y k0 k 1 kxyk0 k 为常数 kxy k0 k 2 反比例函数的图象 反比例函数 为常数 的图象是由两条曲线组成的 叫 x k y k0 k 做 因为 所以函数图象与 轴均无交点 而0 k0 xxy 且它是一个以原点为对称中心的中心对称图形 图象基本性质 0 k0 k 反 比 例 函 数 图 象 性 质 两分支位于 象限 在每一象限内 随的增yx 大 而 两分支位于 象限 在每一象限内 随的增大yx 而 k 的几何意义 AOBP S矩形 AOP SRt 3 直线和双曲线的交点 1 yk xm x k y 2 求直线和双曲线的交点就是求方程组 的 1 yk xm x k y 2 解 反之 交点坐标同时满足两个函数的解析式 可利用待定系数法求解 交点个数由两方程组成的方程组转化得到的一元二次方程 1 x y 1 1 1 O 1 x y 1 1 1 O y P m n A o x B 的解的情况决定 2 0 0 axbxca 当 时 直线与双曲线有两个交点 当 时 直线与双曲线有一个交点 当 时 直线与双曲线没有交点 4 反比例函数和一次函数的综合应用 交点与解析式相互转化 求三角形 四边形面积 特殊三角形 四边形的存在性问题 其它综合 典型例题讲解及思维拓展典型例题讲解及思维拓展 例例 1 1 若反比列函数的图像经过二 四象限 123 2 12 kk xky 求的值 k 若点 都在其图象上 比较 1 y 2 y 3 y的 1 2 yA 2 1 yB 3 3 yC 大小关系 拓展变式练习拓展变式练习 1 1 1 若反比例函数的图像在第一 三象限 则的值是 2 2 12 m xmym 2 在函数 x k y 2 2 k为常数 的图象上有三个点 2 1 y 1 2 y 2 1 3 y 函数值 1 y 2 y 3 y的大小为 3 设有反比例函数 为其图象上的两点 若y k x 1 x y 11 xy 22 时 则的取值范围是 xx 12 0 yy 12 k 例例 2 2 如图 一次函数的图象与反比例函数的图象相交于ykxb m y x A B 两点 1 根据图象 分别写出 A B 的坐标 2 求出两函数解析式 3 根据图象回答 当为何值时 x 一次函数的函数值大于反比例函数的函数值 拓展变式练习拓展变式练习 2 2 1 如图 一次函数的图象分别交轴 轴于 A B P 为 AB 上 1 2 2 yx xy 一点且 PC 为 AOB 的中位线 PC 的延长线交反比例函数的图象 0 k yk x 于 Q 求的值和 Q 点的坐标 3 2 OQC S k 2 已知 与成反比例 与成正比例 且当时 21 yyy 1 yx 2 y 2 x1 x 时 求与之间的函数关系式 5 y1 x1 yyx x y OA P C Q B O x y B A D C 3 已知函数 与 2成正比例 与 2成反比例 且当 2 2 1 y yy 1 yx 2 yx 时 当时 求关于的函数关系式 1 x1 y2 x 4 37 yyx 例例 3 3 如图 已知反比例函数的图象经过点 A 过 0 ky x k 3 m 点 A 作 AB 轴于点 B 且 AOB 的面积为 x3 求k和m的值 若一次函数的图象经过点 A 并且与轴相1yax x 交于点 C 求 ACO 的度数和的值 AO AC 拓展变式练习拓展变式练习 3 3 1 已知点 A 是直线和双曲线在第四象限的交点 AB 1 kxy x k y 轴于点 B 且 S x5 1 ABO 1 求这两个函数的解析式 2 求直线与双曲线的两个交点 A C 的坐标和 AOC 的面积 3 根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围 x 2 如图 一次函数的图象经过第一 二 三象限 且与反比例函数ykxb 图象相交于两点 与轴交于点 与轴交于点 且点AB yCxD5OB 横坐标是点纵坐标的 2 倍 BB 1 求反比例函数的解析式 2 设点横坐标为 面积为 求与的函数关系式 并求出AmABO SSm 自变量的取值范围 m 3 如图所示 点 A B 在反比例函数的图象上 且点 A B 的横坐 0 ky x k 标分别为 2 0 AC 轴于点 C 且 AOC 的面积为 2 aaax 1 求该反比例函数的解析式 2 若点 2 在该函数的图象上 试比较与的大a 1 ya 2 y 1 y 2 y 小 3 求 AOB 的面积 Ox y A C D B 例例 4 4 若一次函数和反比例函数的图象都经过点 1 1 12 xy x k y 2 求反比例函数的解析式 已知点 A 在第三象限 且同时在两个函数的图象上 求点 A 的坐标 利用 2 的结果 若点 B 的坐标为 2 0 且以点 A O B P 为顶点 的四边形是平行四边形 请你直接写出点 P 的坐标 拓展变式练习拓展变式练习 4 4 1 已知反比例函数和一次函数 其中一次函数图像经过 x k y 2 12 xy b 1 两点 aakb 1 求反比例函数的解析式 2 如图 已知点 A 在第一象限 且同时在上述两个函数的图像上 求 A 点 坐标 3 利用 2 的结论 请问 在轴上是否存在点 P 使 AOP 为等腰三角x 形 若存在 所符合条件的 P 点坐标都求出来 若不存在 请说明理由 2 C D 是双曲线在第一象限内的点 直线 CD 分别交轴 轴 x m y xy 于 A B 两点 设 C D 坐标分别是 y1 y2 连结 1 x 2 x OC OD AOD BOC 作 CE 轴 DF 轴 且 yx 3 1 OF DF OE CE 10 OC 求 C D 的坐标和的值 求 m OCD S 双曲线上是否存在一点 P 使得 PODPOC SS 若存在 请给出证明 若不存在 请说明理由 3 已知双曲线 与经过点 A 1 0 B 0 1 的直线交于点 0 16 3 xy x P Q 连结 OP OQ 求证 OAQ OBP 若 C 是 OA 上不与 O A 重合的任意一点 CA 0 1 CD AB 于aa D DE OB 于 E 为何值时 CE AC 在线段 OA 上是否存在点 C 使点a CE AB 若存在这样的点 则请写出点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 x x y C D A B E F O A x y O B x y O C x y O D x y O 巩固训练题 一 选择题 1 函数的图象经过点 4 6 则下列各点中在图象上的是 x k y x k y A 3 8 B 3 8 C 8 3 D 4 6 2 已知反比例函数的图像上有两点 A B 且 0 k x k y 1 x 1 y 2 x 2 y 则的值是 21 xx 21 yy A 正数 B 负数 C 非正数 D 不能确定 3 已知点 P 是反比例函数的图像上任一点 过 P 点分别作轴 0 ky x k x 轴的平行线 若两平行线与坐标轴围成矩形的面积为 2 则的值为 yk A 2 B 2 C 2 D 4 4 如图 已知函数中 时 随的增大而增大 则的 k y x 0 x yxykxk 大致图象为 5 已知关于的函数和 y k 0 它们在同一坐标系内的图像x 1 xky k x 大致是下图中的 二 解答题 1 如图 正比例函数与反比例函数的 0 kkxy x k y 图象交于 A C 两点 过 A 点作轴的垂线 垂足为 B 过 Cx 点作轴的垂线 垂足为 D 求 S四边形 ABCD x 2 制作一种产品 需先将材料加热到 60后 再进行操作 设刻材料温度C 为 从开始加热计算的时间为分钟 据了解 该材料加热后 温度与yC xy 时间成一次函数关系 停止加热进行操作时 温度与时间成反比例关系 如yx 图 已知该材料在操作加工前的温度为 15 加热 5 分钟后温度达到 60 C C 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时 y 与的函数关系 x 拫据工艺要求 当材料的温度低于 15时 须停止操作 那么从开始加热C 到停止操作 共经历了多长时间 3 等腰三角形 OAB 在直角坐标系中的位置如图 点 A 的坐标为 3 3 3 点 B 的坐标为 6 0 1 若三角形 OAB 关于轴的轴对称图形是三角形 O 请直接写出yA B A B 的对称点的坐标 A B 2 若将三角形沿轴向右平移个单位 此时点 A 恰好落在反比例OABxa 函数的图像上 求的值 x y 36 a 3 若三角形绕点 O 按逆时针方向旋转度 OAB 090 当 时点 B 恰好落在反比例函数的图像上 求 k 的值 30 x k y 问点 A B 能否同时落在 中的反比例函数的图像上 若能 求出的 值 若不能 请说明理由 y x O 5 60 15 思维与能力提升思维与能力提升 1 如图 在直角坐标平面内 函数 是常数 的图象经过 x m y 0 x m 其中 过点作轴的垂线 垂足为 过点作轴 14 A B ab 1a AxCBy 的垂线 垂足为 连结 DADDCCB 1 若的面积为 4 求点的坐标 ABD B 2 求证 DCAB 3 当时 求直线的函数解析式 ADBC AB 2 如图 将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处 两直角边分别 5 01 C 与轴平行 纸板的另两个顶点BA 恰好是直线与双曲线yx 2 9 kxy 的交点 0 my x m 1 求和的值 mk 2 设双曲线在之间的部分为 让一把三角尺的直角顶 0 my x m BA L 点在上滑动 两直角边始终与坐标轴平行 且与线段交于两点 PLABNM 请探究是否存在点使得 写出你的探究过程和结论 PABMN 2 1 x CO D B A y y x O N M C A B P 3 如图 已知直线 AB 交两坐标于 A B 两点 且 OA OB 1 点 P ab 是双曲线上在第一象内的点过点 P 作 PM 轴于 M PN 轴于 N 两垂 x y 2 1 xy 线与直线 AB 交于 E F 1 写出点 E F 的坐标 分别用或表示 ab 2 求 OEF 的面积 结果用 表示 ab 3 AOF 与 BOE 是否相似 请说明理由 4 当 P 在双曲线上移动时 OEF 随之变动 观察变化过程 x y 2 1 OEF 三内角中有无大小始终保持不变的内角 若有 请指出它的大小 并说明 理由 补充讲解补充讲解 反思与归纳反思与归纳 DS 金牌数学专题四金牌数学专题四 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 知识点精讲知识点精讲 1 在中 锐角 A 的对边与邻边的比叫做的 记做ABCRt A 即 锐角 A 的邻边与对边的比叫做的 tan AA 记做 即 cot A 2 坡比 坡角 坡面的铅直高度与水平宽度 的比叫做 用字母 表示 即hli 坡面与水平面的夹角叫 即 i tan 工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示 坡面的 和 的比称为坡度或坡比 坡度是坡角的 坡度 坡面越陡 3 在中 锐角 A 的对边与斜边的比叫做的 记做ABCRt A 即 锐角 A 的邻边与斜边的比叫做的 sin AA 记做 即 cos A 4 在中 若 则与的关系是 ABCRt 90BAAsinAcos 由此可得 90sin A 90cos A 5 角的三角函数值 30 45 60 值 角 30 45 60 Asin Acos tan cot 典型例题讲解及思维拓展典型例题讲解及思维拓展 例 1 在中 如果 且 求 ABCRt 90C 12 5 tan A24 AC BC 和 AB 的长 和的值 AsinAcos 拓展变式练习拓展变式练习 1 1 1 在中 如果 且 求 ABCRt 90C 13 5 tan A26 AC BC 和 AB 的长 和的值 AsinAcos 2 在中 D 是 BC 上的一点 ABCRt 90C BD 5 求 AD 的长 3 4 tan ADC 2 1 tan B 3 在中 D 是 AC 的中点 且 BC AC 求和ABCRt 90CCDA tan 的值 DAC sin 例 2 如图 某县为了增强防洪能力 加固长 90 米 高 5 米 坝顶宽 为 4 米 迎水坡和背水坡的坡度都是 1 1 的横断面是梯形的防洪大坝 要讲大 坝加高 1 米 背水坡的坡度改为 1 1 5 已知坝顶宽不变 问大坝的横截面积 增加了多少平方米 增加了多少立方米土方 拓展变式练习拓展变式练习 2 1 如图 拦水坝的横截面为梯形 ABCD AD BC AB DC AD 6 BC 14 梯 形 ABCD 的面积是 40 求斜坡 AB 的坡度 2 如图 水库大坝的横断面为梯形 坝顶宽 6m 坝高 23m 斜坡 AB 的坡度 斜坡 CD 的坡度为 c 求斜坡 AB 的坡角 精确到 坝底宽 AD 和斜坡3 1 i 1 AB 的长 精确到m 1 0 3 泸杭甬高速公路拓宽宁波段工程进入全面施工阶段 在现有双向四车道 的高速公路两侧经加宽形成双向八车道 如图 路基原横断面为等腰梯形 ABCD AD BC 斜坡 DC 的坡度为 i1 在其一侧加宽 DF 7 75 米 点 E F 分 别在 BC AD 的延长线上 斜坡 FE 的坡度为 i2 i1 i2 设路基的高 DM h 米 拓 宽后横断面一侧增加的四边形 DCEF 的面积为 s 米 2 1 已知 i2 1 1 7 h 3 米 求 ME 的长 2 不同路段的 i1 i2 h 是不同的 请你设计一个求面积 S 的公式 用含 i1 i2的代数式表示 例 3 计算 30tan345sin2 60cos45cos 30sin 拓展变式练习拓展变式练习 3 3 1 计算下列各题 21 2 1 145sin260tan130sin2 其中 2 1 2 3 2 1 x x x 60cos245sin4x 2 在中 若 其中 均为锐角 ABC 0cos1tan 2 2 3 BAA B 求的度数 C 3 已知且为锐角 求的值 3 1 tan cossin2 cos2sin3 巩固训练题巩固训练题 1 已知 则锐角的取值范围是 2 11 sin sin 22 2 在 中 且两直角边满足 则 ABC90C ab 22 560aabb sin A 3 如图 已知为等腰 底边上的高 且 上有一点 ADABC 4 tan 3 B ACE 满足 那么 2 3AE EC tanADE 二 解答题 1 如图 在四边形中 ABCD 求的长 60DAB 90ABCCDA 2CD 3BC AB 2 两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起 其中 A 60 AC 1 固 定 ABC不动 将 DEF进行如下操作 1 如图 1 DEF沿线段AB向右平移 即D点在线段AB内移动 连结 DC CF FB 四边形CDBF的形状在不断的变化 但它的面积不变化 请求出其 面积 2 如图 2 当D点移到AB的中点时 请你猜想四边形CDBF的形状 并说 明理由 3 如图 3 DEF的D点固定在AB的中点 然后绕D点按顺时针方向旋 转 DEF 使DF落在AB边上 此时F点恰好与B点重合 连结AE 请你求出 sin 的值 A BE FC D 图 1 A B E FC D 图 2 A B E F C D 图 3 E F 思维与能力提升思维与能力提升 在中 若 的对边分别是 ABCRt 90CA B C abc 若 请根据三角形函数的定义证明 AA 2 2 sinsin AA 2 2 coscos 1cossin 22 AA B B B cos sin tan 根据上面的两个结论解答 若 求的值 2cossin AAAAcossin 若 求的值 2tan B BB BB sincos2 sincos4 补充讲解补充讲解 反思与归纳反思与归纳 DS 金牌数学专题五金牌数学专题五 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系 知识点精讲知识点精讲 1 仰角 俯角 当从低处观测高处的目标时 视线与水平线所成的角叫 当从高处观测低处的目标时 视线与水平线所成的角叫 2 方位角 指北或指南方向与 所成的夹角叫方位角 典型例题讲解及思维拓展典型例题讲解及思维拓展 例 1 如图 小唐同学正在操场上放风筝 风筝从A处起飞 几分钟后便 飞达C处 此时 在AQ延长线上B处的小宋同学 发现自己的位置与风筝和旗 杆PQ的顶点P在同一直线上 1 已知旗杆高为 10 米 若在B处测得旗杆顶点P的仰角为 30 A处 测得点P的仰角为 45 试求A B之间的距离 2 此时 在A处背向旗杆又测得风筝的仰角为 75 若绳子在空中视 为一条线段 求绳子AC约为多少 结果可保留根号 拓展变式练习拓展变式练习 1 1 AB C D 1 汶川地震后 抢险队派一架直升飞机去A B两个村庄抢险 飞机在距 地面 450 米上空的P点 测得A村的俯角为 B村的俯角为 如图30 60 7 求A B两个村庄间的距离 结果精确到米 参考数据 21 41431 732 2 在我市迎接奥运圣火的活动中 某校教学楼上悬挂着宣传条幅 DC 小丽 同学在点 A 处 测得条幅顶端 D 的仰角为 30 再向条幅方向前进 10 米后 又在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45 已知测点 A B 和 C 离地面高度都 为 1 44 米 求条幅顶端 D 点距离地面的高度 计算结果精确到 0 1 米 参考数据 21 414 31 732 3 在数学活动课上 九年级 1 班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵 大树的高度 设计的方案及测量数据如下 1 在大树前的平地上选择一点 测得由点A看大树顶端的仰角为 35 AC 2 在点和大树之间选择一点 在同一直线上 测得由点ABABD 看大树顶端的仰角恰好为 45 BC 3 量出 两点间的距离为 4 5 米 请你根据以上数据求出大树的高ABCD 度 可能用到的参考数据 sin35 0 57 cos35 0 82 tan35 0 70 Q BC P A 450 60 30 图 7 4 如图 在小山的西侧 A 处有一热气球 以 30 米 分钟的速度沿着与垂直 方向所成夹角为 30 的方向升空 40 分钟后到达 C 处 这时热气球上的人发 现 在 A 处的正东方向有一处着火点 B 十分钟后 在 D 处测得着火点 B 的俯 角为 15 求热气球升空点 A 与着火点 B 的距离 结果保留根号 参考数据 4 26 15sin 4 26 15cos 3215tan 3215cot 例 2 如图 在某海域内有三个港口 港口在港口北偏东ADCCA 方60 向上 港口在港口北偏西方向上 一艘船以每小时 25 海里的速度沿北DA60 偏东的方向驶离港口 3 小时后到达点位置处 此时发现船舱漏水 海水30 AB 以每 5 分钟 4 吨的速度渗入船内 当船舱渗入的海水总量超过 75 吨时 船将沉 入海中 同时在处测得港口在处的南偏东方向上 若船上的抽水机每BCB75 小时可将 8 吨的海水排出船外 问此船在处至少应以怎样的航行速度驶向最B 近的港口停靠 才能保证船在抵达港口前不会沉没 要求计算结果保留根号 并指出此时船的航行方向 60o 拓展变式练习拓展变式练习 2 1 根据 十一五 规划 元双 双柏 元谋 高速工路即将动工 工程需要测 量某一条河的宽度 如图 一测量员在河岸边的 A 处测得对岸岸边的一根标杆 B 在它的正北方向 测量员从 A 点开始沿岸边向正东方向前进 100 米到达点 C 处 测得 求所测之处河 AB 的宽度 68 ACB ooo si n68 0 93 cos68 0 37 t an68 2 48 2 载着 点燃激情 传递梦想 的使用 6 月 2 日奥运圣火在古城荆州传递 途经 A B C D 四地 其中 A B C 三地在同一直线上 D 地在 A 地北偏东 45 方向 在 B 地正北方向 在 C 地北偏西 60 方向 C 地在 A 地北偏东 75 方向 B D 两地相距 2km 问奥运圣火从 A 地传到 D 地的路程大约是多少 最后结果保留整数 参考数据 21 4 31 7 AC B 3 如图 A B C 三个粮仓的位置如图所示 粮仓在粮仓北偏东 AB26 180 千米处 粮仓在粮仓的正东方 粮仓的正南方 已知 A B 两个粮CBA 仓原有存粮共 450 吨 根据灾情需要 现从粮仓运出该粮仓存粮的 支援A 5 3 粮仓 从粮仓运出该粮仓存粮的支援粮仓 这时 A B 两处粮仓的存CB 5 2 C 粮吨数相等 sin260 44 cos260 90 tan260 49 1 A B 两处粮仓原有存粮各多少吨 2 粮仓至少需要支援 200 吨粮食 问此调拨计划能满足粮仓的需求吗 CC 3 由于气象条件恶劣 从处出发到处的车队来回都限速以每小时 35BC 公里的速度匀速行驶 而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶 4 小时 那 么小王在途中是否需要加油才能安全的回到地 请你说明理由 B 北 南 西东 CB A 26 巩固训练题巩固训练题 一 选择题一 选择题 1 已知 为锐角 且 cot 90 则 的度数为 3 A 30 B 60 C 45 D 75 2 如图 在 t 中 900 300 为 上一点且 4 1 于 连结 则 tan CFB 的值等于 32 35 3 A5 3 333 3 已知直角三角形中 斜边的长为 则直角边的ABCABm40B BC 长是 A B C D sin40m cos40m tan40m tan40 m 4 在 Rt ABC 中 C 90 AB 4 AC 1 则的值是 cos A A B C D 15 4 1 4 15 5 已知为锐角 则的值 cossin m A B C D 1 m1 m1 m1 m 6 如图 正方形中 是边上一点 以为圆心 为半径的ABCDEBCEEC 半 圆与以为圆心 为半径的圆弧外切 则的值为 AABsinEAB A B C D 4 3 3 4 4 5 3 5 7 在 Rt ABC 中 C 90 若 AC 2BC 则 tanA 的值是 A B 2 C D 2 1 5 5 2 5 AD B E 图 6 i 1 3 C 8 已知中 AC 4 BC 3 AB 5 则 ABC sin A A B C D 3 5 4 5 5 3 3 4 9 如图 在平地上种植树时 要求株距 相邻两树间的水平距离 为 4m 如果在坡度为 0 5 的山坡上种植树 也要求株距为 4m 那么相邻两树间的 坡面距离约为 A 4 5mB 4 6mC 6mD 8m 10 如图 小雅家 图中点 处 门前有一条东西走向的公路 经测得有一水 塔 图中点 处 在她家北偏东 60 度 500m 处 那么水塔所在的位置到公路的 距离 AB 是 250 250 3 500 3 3 250 2 二 解答题 1 如图 港口 B 位于港口 O 正西方向 120 海里处 小岛 C 位于港口 O 北 偏西 60 方向 一艘科学考察船从港口 O 出发 沿北偏西 30 的 OA 方向以 20 海里 小时的速度驶离港口 O 同时一艘快艇从港口 B 出发 沿北偏东 30 方向 以 60 海里 小时的速度驶向小岛 C 在小岛 C 用一小时装补给物资后 立即按 原来的速度给考察船送 快艇从港口 B 到小岛 C 需要多少时间 快艇从小岛 C 出发后最少需要多少时间才能和考察船相遇 2 如图 6 梯形 ABCD 是拦水坝的横断面图 图中是指坡面的铅3 1 i 直高度 DE 与水平宽度 CE 的比 B 60 AB 6 AD 4 求拦水坝的横断面 ABCD 的面积 结果保留三位有效数字 参考数据 A OB 东 北 1 732 1 414 32 3 如图 7 河流两岸互相平行 是河岸上间隔 50m 的两个电线ab CD a 杆 某人在河岸上的处测得 然后沿河岸走了 100m 到达处 bA30DAB B 测得 求河流的宽度的值 结果精确到个位 60CBF CF 思维与能力提升思维与能力提升 如图是设计鄂南高中学生公寓时的一个示意图 每栋公寓均朝正南方向 且楼高相等 相邻两公寓的距离也相等 已知该地冬季正午的阳光与水平线的 夹角为 在公寓的采光不受影响 冬季正午最低层受到阳光照射 的情况32 下 设公寓的高为m 相邻两公寓的最小距离为m yx 求与之间的函数关系式 yx 若设计公寓高为 20m 则相邻两公寓间的距离至少要多少米时 采光不受影 响 鄂南高中现已建成学生公寓 5 层 每层高为 3m 相邻公寓间的距离为 24m 问 其采光是否符合要求 BE DC F a b A 图 7 参考数据 取 53 sin32 100 106 cos32 125 5 tan32 8 补充讲解补充讲解 反思与归纳反思与归纳 DS 金牌数学专题六金牌数学专题六 二次函数二次函数 知识点精讲 知识点精讲 1 二次函数的概念 一般地 形如 为常数 的函数叫做cbxaxy 2 abc0 a 的 x 2 二次函数的解析式 一般式 顶点式 交点式 3 二次函数的图象与性质 0 a 开口方向增减性最值 表达式 性质0 a0 a 顶点 坐标 对称轴 0 a0 a0 a0 a 2 axy 0 a caxy 2 0 a cbxaxy 2 0 a 典型例题讲解及思维拓展 典型例题讲解及思维拓展 例 1 已知函数是关于的二次函数 求的值 12 2 2 xxmy m yxm 拓展变式练习拓展变式练习 1 1 1 已知函数 求当为何值时 是关于的二次函 5 12 2 2 x m m mmymyx 数 2 已知函数 求当为何值时 是关于 536 122 2 x m my xm m my 的二次函数 是否能使该函数为一次函数 如能 请求出的值 如不能 xm 请说明理由 例 2 已知一抛物线与轴的交点是 A 2 0 B 1 0 且经过点x C 2 8 求该抛物线的解析式 求该抛物线的顶点坐标 对称轴 拓展变式练习拓展变式练习 2 1 已知二次函数的图像经过点 A 1 0 B 3 0 且顶点纵坐标为 8 求该二次函数的解析式 2 若抛物线的顶点坐标为 1 3 且与的开口大小cbxaxy 22 2xy 相同 方向相反 求该二次函数的解析式 3 二次函数与直线交于点 P 1 2 axy 32 xyb 求的值 ba 写出二次函数的解析式 并指出取何值时 该函数的随的增大而增大 xyx 例 3 如图为二次函数的图象 在下列说法中 2 yaxbxc 0ac 方程的根为 当时 随 2 0axbxc 1 1x 2 3x 0abc 1x y 着的增大而增大 正确的说法有 请写出所有正确说法的序号 x x y O 3 1 拓展变式练习拓展变式练习 3 1 如图是二次函数图象的一部分 图象过点A 3 0 对 2 yaxbxc 称轴为 给出四个结论 1 xacb4 2 02 ba0 cba 其中正确结论是 ba 5 A B C D x y O A 2 已知二次函数的图像如图 给出 0 2 acbxaxy 以下结论 0 cba0 cba02 ab 其中所有正确结论的序号是 0 abc 巩固训练题巩固训练题 一 一 选择题选择题 1 抛物线的对称轴是 2 1 3yx A 直线B 直线C 直线D 直线1x 3x 1x 3x 2 若 A B C 为二次函数的图象 1 4 13 y 2 4 5 y 3 4 1 y 2 45yxx 上的三点 则的大小关系是 1 y 2 y 3 y A B C D 123 yyy 213 yyy 312 yyy 132 yyy 3 已知二次函数的图象过点 A 1 2 B 3 2 cbxaxy 2 C 5 7 若点 M 2 N 1 K 8 也在二次函数 1 y 2 y 3 y 的图象上 则下列结论正确的是 cbxaxy 2 A B C D 321 yyy 312 yyy 213 yyy 231 yyy 4 若 A 4 B 3 C 1 为二次函数的图 1 y 2 y 3 y54 2 xxy 象上的三点 则 的大小关系是 1 y 2 y 3 y A B C D 321 yyy 312 yyy 213 yyy 231 yyy 5 若一次函数的图像过第一 三 四象限 则函数 1 ymxm 2 ymxmx A 有最大值 B 有最大值 C 有最小值 D 有最小值 4 m 4 m 4 m 二 解答题 1 抛物线与轴交于 0 3 点 mxmxy 1 2 y 求出的值 m 求它与轴的交点和抛物线顶点的坐标 x 取什么值时 抛物线在轴的上方 xx 取什么值时 的值随值的增大而增大 xyx 2 如图 中 厘米 与 分别从ABC 4ABBCCA ADBC DPQ 同时出发 其中点 P 沿 BC 向 C 运动 速度 1cm s 点 Q 沿 CA AB 向终BC 点 B 运动 速度为 2cm s 设运动时间为 s x 求为何值时 PQ AC x 设 PDQ 面积为 cm2 当时 求与的函数关系 y02x yx 当时 求证 AD 平分 PDQ 的面02x 积 思维与能力提升思维与能力提升 如图 抛物线与轴交于 A B 两点 A 在 B 左侧 当 2 yaxbxc x 和时 的值相等 直线与这条抛物线交于两点 其中一1x 3x y37yx 点横坐标为 4 另一点为这条抛物线的顶点 M 求这条抛物线的解析式 P 为线段 BM 上一点 过 P 作 PQ 轴于点 Q P 为线段 BM 上的动点 不x 与 B M 重合 设 OQ 长为 四边形 PQAC 面积为 S 求 S 与 之间的函数关系tt 及 的取值范围 t 在线段 BM 上是否存在点 N 使 NMC 为等腰三角形 若存在 求出点 N 的 坐标 若不存在 请说明理由 补充讲解补充讲解 反思与归纳反思与归纳 DS 金牌数学专题七金牌数学专题七 二次函数二次函数 知识点精讲知识点精讲 1 抛物线的平移问题 对函数表达式而言 方法为 对于点的坐标而言 方法为 2 抛物线与几何图形交点存在性综合应用问题 典型例题讲解及思维拓展典型例题讲解及思维拓展 例 1 已知二次函数经过两点 3 0 和 1 0 cbxxy 2 1 求二次函数的解析式 1 y 将函数的图像向右平移 3 个单位 再向下平移 5 个单位 求所得的 1 y 函 数的解析式 2 y 设抛物线与轴交于 A B 两点 抛物线的顶点为 C 求 ABC 的 1 yx 2 y 面 积 拓展变式练习拓展变式练习 1 1 1 二次函数的图像向左平移 2 个单位 再向上平移 3 个单位 cbxaxy 2 得二次函数 求的值 12 2 xxycb 2 在直角坐标平面内 二次函数图像的顶点为 A 1 4 且过点 B 3 0 求该二次函数的解析式 将该二次函数图像向右平移几个单位 可使平移后所得图像经过坐标原点 并直接写出平移后所得图像与轴的另一个交点的坐标 x 3 在平面直角坐标系中 已知抛物线与轴交于xoy y 2 1 0 a xc a x A B 两点 点 A 在点 B 的左侧 与轴交于点 C 其顶点为 M 若直线 MC 的函y O 1 1 x y 数表达式为 与轴的交点为 N 且 3ykx x 10 103 cos BCO 1 求此抛物线的函数表达式 2 在此抛物线上是否存在异于点 C 的点 P 使以 N P C 为顶点的三角形是 以 NC 为一条直角边的直角三角形 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说 明理由 3 过点 A 作轴的垂线 交直线 MC 于点 Q 若将抛物线沿其对称轴上下平移 x 使抛物线与线段 NQ 总有公共点 则抛物线向上最多可平移多少个单位长度 向 下最多可平移多少个单位长度 例 2 如图 已知抛物线与 x 轴交于 A 1 0 B 3 0 两点 与 y 轴 交于点 C 0 3 求抛物线的解析式 设抛物线的顶点为 D 在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点 P 使得 PDC 是等腰三角形 若存在 求出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 说明理 由 若点 M 是抛物线上一点 以 B C D M 为顶点的四边形是直角梯形 试求 出点 M 的坐标 拓展变式练习拓展变式练习 2 1 如图所示 在梯形 ABCD 中 已知 AB CD AD DB AD DC CB AB 4 以 AB 所在直线为轴 过 D 且垂直于 AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系 y 1 求 DAB 的度数及 A D C 三点的坐标 2 求过 A D C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L 3 若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点 那么使PDB 为等腰三角形的点 P 有 几个 不必求点 P 的坐标 只需说明理由 2 如图所示 已知抛物线与轴交于 A B 两点 与轴交于点 C 2 1yx xy 求 A B C 三点的坐标 过点 A 作 AP CB 交抛物线于点 P 求四边形 ACBP 的面积 在轴上方的抛物线上是否存在一点 M 过 M 作 MG轴于点 G 使以x x A M G 三点为顶点的三角形与PCA 相似 若存在 请求出 M 点的坐标 否则 请说明理由 C P B y A o x 巩固训练题巩固训练题 一一 选择题选择题 1 二次函数的图像可以由二次函数的图像平移而得到 34 2 xxy 2 x