公务员行政职业能力测试之数量关系

第 1 页 共 19 页 成功在于执着 第一种题型第一种题型 数字推理数字推理 A A 基础数列类型基础数列类型 B B 五大基本题型五大基本题型 多级 多重 分数 幂次 递推 C C 基本运算速度基本运算速度 计算速度 数字敏感数字敏感 数字敏感 无时间计算时主要看数字敏感 数字敏感 无时间计算时主要看数字敏感 a a 单数字发散单数字发散 b b 多数字联系多数字联系 对 126 进行数字敏感 单数字发散 1 1 单数字发散分为两种 单数字发散分为两种 1 1 因子发散 因子发散 判断是什么的倍数 判断是什么的倍数 126126 是是 7 7 和和 9 9 的倍数 的倍数 64 是 8 的平方 是 4 的立方 是 2 的 6 次 1024 是 2 的 10 次 2 2 相邻数发散 相邻数发散 11 的 2 次 5 121 5 的 3 次 1 125 2 的 7 次 2 128 2 2 多数字联系分为两种 多数字联系分为两种 1 1 共性联系 相同 共性联系 相同 1 4 9 都是平方 都是个位数 写成某种相同形式 2 2 递推联系 前一项变成后一项 圈递推联系 前一项变成后一项 圈 2 2 前两项推出第三项 圈 前两项推出第三项 圈 3 3 一般是圈大数一般是圈大数 注意 注意 做此类题 圈仨数法 圈仨数法 数字推理原则 圈大不圈小原则 圈大不圈小 例 1 2 6 16 44 圈6 16 44 三个数 得出 44 前面两数和得2倍 例 28776 9988 51316 九宫格 圈仨法 这道题是竖着圈 推仨数适用于全部三个数 九宫格 圈仨法 这道题是竖着圈 推仨数适用于全部三个数 一 基础数列类型一 基础数列类型 1 1 常数数列 常数数列 7 7 7 7 2 2 等差数列等差数列 2 5 8 11 14 等差数列的趋势 等差数列的趋势 a a 大数化大数化 123 456 789 333 为公差 582 554 526 498 470 b b 正负化 正负化 5 1 3 3 3 等比数列等比数列 5 15 45 135 405 有有 0 0 的不可能是等比的不可能是等比 4 6 9 快速判断和计算才是关键 快速判断和计算才是关键 等比数列的趋势 等比数列的趋势 a a数字非正整化 非正整的意思是不正或不整 负数或分数小数或无理数数字非正整化 非正整的意思是不正或不整 负数或分数小数或无理数 8 12 18 27 A 39B 37C 40 5D 42 5 b b 数字正负化数字正负化 略略 4 4 质质数数 只有只有 1 1 和它本身两个约数的数 叫质数 和它本身两个约数的数 叫质数 列列 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 间间接接考考察察 25 49 121 169 289 361 5 7 11 13 17 19 的平方 41 43 47 53 59 61 5 5 合合数数 除了除了 1 1 和它本身两个约数外 还有其它约数的数 叫合数和它本身两个约数外 还有其它约数的数 叫合数 列列 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 28 30 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 45 46 4 8 49 50 51 52 54 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 68 69 70 72 74 75 76 77 78 80 81 82 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 98 99 100 注注 1 1既不是质既不是质数数 也 也不不是合数 是合数 6 6 循环数列 循环数列 1 1 3 3 4 4 1 1 3 3 4 4 7 7 对称数列 对称数列 1 1 3 3 2 2 5 5 2 2 3 3 1 1 第 2 页 共 19 页 成功在于执着 8 8简单递推数列简单递推数列 例 1 1 1 2 3 5 8 13 例 2 2 1 1 0 1 1 2 例 3 15 11 4 7 3 10 13 例 4 3 2 6 12 72 864 二 五大基本题型二 五大基本题型 第一类第一类 多级数列多级数列 1 1二级数列 做一次差 二级数列 做一次差 20 22 25 30 37 A 39 B 46 C 48D 51 注意注意 做差为 2 3 5 7 接下来注意是接下来注意是11 不是 不是9 区分质数和奇数列 区分质数和奇数列 102 96 108 84 132 A 36 B 64C 216D 228 注意注意 一大一小一大一小 该明确选项是该大还是该小 该小 就减 注意 括号在中间 先猜然后验 注意 括号在中间 先猜然后验 6 8 27 44 A 14 B 15C 16D 17 猜猜2 17为等差数列等差数列 中间隔了10 公差为5 因此是2 7 12 17 验证答案15 发现是正确的 2 2三级数列 做两次差 三级数列 做两次差 考查的概率很大 考查的概率很大 3 3做商数列做商数列 1 1 2 6 24 做商数列做商数列相对做差数列做差数列的特点 数字之间倍数关系比较明显数字之间倍数关系比较明显 趋势 倍数分数化 一定要注意 趋势 倍数分数化 一定要注意 例 6 675 225 90 45 30 30 A 15B 38C 60D 124 30是括号的0 5倍 所以注意是60 4多重数列多重数列 两种形态 两种形态 1是交叉 隔项 是交叉 隔项 2是分组 一般是两两分组 相邻 是分组 一般是两两分组 相邻 多重数列两个特征 多重数列两个特征 1数列要长 数列要长 8 9交叉 交叉 10项 必要 项 必要 2两个括号 充分 两个括号 充分 例 6 1 3 3 5 7 9 13 15 A 19 21B 19 23 C 21 23D 27 30 两个括号连续 就做交叉两个括号连续 就做交叉 数字没特点 八成是做差 数字没特点 八成是做差 1 3 7 13 例 7 1 4 3 5 2 6 4 7 A 1B 2C 3D 4 多重数列的核心提示 多重数列的核心提示 1 分组数列基本上都是两两分组两两分组 因此项数 包括未知项 通常都是偶数 2 分组后统一在各组进行形式一致各组进行形式一致的简单加减乘除加减乘除运算 得到一个非常简单的数列 3奇偶隔项数列奇偶隔项数列若只有奇数项规律明显奇数项规律明显 那偶数项可能依赖于奇数项的规律偶数项可能依赖于奇数项的规律 反之亦然 例 1 4 3 5 2 6 4 7 A 1 B 2C 3D 4 偶数项很明显 4 5 6 7 奇数项围绕偶数项形成了一个规律 即交叉的和等于偶数项 5分数数列分数数列 第 3 页 共 19 页 成功在于执着 A多数分数 分数数列多数分数 分数数列 B少数分数少数分数 负幂次 只有几分之一的情况 写成负一次 和除法 等比 负幂次 只有几分之一的情况 写成负一次 和除法 等比 这里有个猜题技巧 多数原则 猜题技巧 多数原则 选项中出现频率最多出现频率最多的那个数 八成是正确选项 分数数列的基本处理方式 分数数列的基本处理方式 处理方式处理方式1 首先观察特征 往往是分子分母交叉相关 首先观察特征 往往是分子分母交叉相关 处理方式处理方式2 其次分组看待 独立看几个分数的分子和分母的规律 分子看分子 分母看分母 其次分组看待 独立看几个分数的分子和分母的规律 分子看分子 分母看分母 例 分析多种方法例 分析多种方法 1 猜题 猜题 28出现了两次 猜出现了两次 猜A和和C得概率大 选得概率大 选A 2 观察特征 分子和分母的尾数相加为 观察特征 分子和分母的尾数相加为10 因此选 因此选A 3 133和和119是是7的倍数 可以约分为的倍数 可以约分为7 3 所以大胆猜测选 所以大胆猜测选A 也是 也是7 3 4 分组看待 不能看出特点 做差 分子做差 分组看待 不能看出特点 做差 分子做差 例 看下一题的方法例 看下一题的方法 第 4 页 共 19 页 成功在于执着 此题 化同原则 形式化为相同 此题 化同原则 形式化为相同 整化分 把一个整式化为一个分式 相同的形式对比 把第二项的分 母有理化为其他两项相同的形式 处理方式处理方式3 广义通分 广义通分 通分 如果有多个分数 把分母变成一样就是通分 广义通分广义通分 将分子或分母化为简单相同 前提是能通分 将分子或分母化为简单相同 前提是能通分 处理方式处理方式4 反约分 国考重点 出题概率很大 反约分 国考重点 出题概率很大 观察分子或分母一侧 上下同时扩大 然后满足变化规律 6幂次数列幂次数列 A普通幂次数列普通幂次数列 平方数 平方数 1 30 13 2 169 14 2 196 15 2 225 16 2 256 17 2 289 18 2 324 19 2 361 20 2 400 21 2 441 22 2 484 23 2 529 24 2 576 25 2 625 26 2 676 27 2 729 28 2 784 29 2 841 30 2 900 可以写成多种写法 可以写成多种写法 B B幂次修正数列幂次修正数列 括号的相邻数的发散 哪个幂次的写法是唯一的就先考虑哪个哪个幂次的写法是唯一的就先考虑哪个 7递推数列递推数列 单数推 双数推 三数推 数列越来越长 递推数列有六种形态 递推数列有六种形态 和差积商倍方和差积商倍方 如何辨别形态 如何辨别形态 从大的数和选项入手 看大趋势 注意注意 大趋势指的是不要拘泥于细节 看整体是递增或递减即可 1递减 做差和商 2递增 缓 和 最快 方 较快 先看积 再看倍数 第 5 页 共 19 页 成功在于执着 数字推理逻辑思维总结 数字推理逻辑思维总结 圆圈题观察角度 上下 左右 交叉圆圈题观察角度 上下 左右 交叉 圆圈里有奇数个奇数 则考虑乘法或除法 圆圈中有偶数个奇数 则考虑加减入手 中心数看能否分解 如果能 则加减 再乘除 如果不能 则先乘除 后加减来修正 九宫图九宫图 1等差等比型等差等比型 每横排每竖排都成等差和等比数列 包括对角线 2分组计算型分组计算型 每横排和每竖排的和与积成某种简单规律 包括对角线 3递推运算型 看最大的那个数 是由其他两位递推而来 递推运算型 看最大的那个数 是由其他两位递推而来 第二种题型第二种题型 数学运算数学运算 第一模块第一模块 代入排除法代入排除法 从题型来看 从题型来看 1固定题型 例1是同余问题的一部分 并非所有的同余都可以 2多位数题型 例2 3不定方程问题 无法算出x和y 只能列出他们的关系 或者无法迅速列出方程的问题 第 6 页 共 19 页 成功在于执着 从题本样子来说 从题本样子来说 从题干到选项很麻烦 从选项到题干比较容易 注 如果是要求最大或最小 从选项的最大数或最小数开始代入 其余从注 如果是要求最大或最小 从选项的最大数或最小数开始代入 其余从A开始代入开始代入 看下面题目 看下面题目 第一题第一题选 C 因为 A B 没有燃烧到一半 C 却燃烧了全部 第一题设置选项相差有点远 因此肉眼可以看出 第二题第二题选 A 因为甲班走的一定比乙班走的多 所以选 A 答案设置时与他们的倍数和比例有关 无需计算 可 以用他们的大小关系来判定 注意一个公式注意一个公式 4848 是是 4 4 的的 1212 倍 是倍 是 3 3 的的 1616 倍 然后他们距离的比例是倍 然后他们距离的比例是 16 116 1 比比 12 1 1512 1 15 1111 奇偶特性 不管是加还是减 两个相同的结果的就是偶数 不同的结果就是奇数奇偶特性 不管是加还是减 两个相同的结果的就是偶数 不同的结果就是奇数 两个相乘的 只要有一个偶 数就是偶数 X y X y 偶数 偶数 x yx y 也只能是个偶数 答案选也只能是个偶数 答案选 D D 所有的猜题都基于 出题心理学所有的猜题都基于 出题心理学 怎么猜 怎么猜 多数原则多数原则 选项多次出现的往往是正确的 军棋理论军棋理论 三个错误的选项的目的是保护正确答案 3 4 5 和 3 5 4 相关原则相关原则 出题的干扰选项往往有出题的干扰选项往往有 1 1 到到 2 2 个东西与正确答案和原文有相关度个东西与正确答案和原文有相关度 选项相关 28 4 和 128 4 再如一道题目如果出的是求差求差 往往是某一选项减去另一个选项 换言之搞清楚每个选项是怎么来的 选项与 选项的关系 选项与原文的关系 从而快速猜题 例 例 已知甲乙苹果的比例是 7 4 隐含的意思是甲是 7 的倍数 乙是 4 的倍数 差是 3 的倍数 和是 11 的倍 数 原则 如果甲 乙原则 如果甲 乙 m n m n 说明甲是 说明甲是 m m 的倍数 乙是的倍数 乙是 n n 的倍数 甲的倍数 甲 乙是乙是 m Nm N 的倍数 甲的倍数 甲 乙是乙是 m nm n 的倍数的倍数 注意 甲是和乙比较还是和全部的和比较注意 甲是和乙比较还是和全部的和比较 题目一般是是已知比例 求和 题目一般是是已知比例 求和 例 甲区人口是全城的例 甲区人口是全城的 4 134 13 说明全城人口是 说明全城人口是 1313 的倍数 的倍数 判断倍数 很重要 判断倍数 很重要 一一个个数数是是2 2的的倍倍数数 尾尾数数是是2 2 4 4 6 6 8 8 0 0 即即偶偶数数 一个数是一个数是 4 4 的倍数 看末两位能被的倍数 看末两位能被 4 4 整除整除 一一个个数数是是5 5的的倍倍数数 看看尾尾数数是是 5 5或或0 0 一一个个数数是是6 6的的倍倍数数 既既是是3 3的的倍倍数数 又又是是2 2的的倍倍数数 一个数是一个数是 8 8 的倍数 看末三位 的倍数 看末三位 一一个个数数是是3 3的的倍倍数数 去去3 3 每每一一位位都都加加起起来来 能能被被 3 3整整除除 第 7 页 共 19 页 成功在于执着 一个数是一个数是 7 7 的倍数 的倍数 若一个整数的个位数字截去 再从余下的数中 减去个位数的 2 倍 如果差是 7 的倍数 则原数能被 7 整除 如果差太大或心算不易看出是否 7 的倍数 就需要继续上述 截尾 倍大 相减 验差 的过程 直到能清楚判断为止 例如 判断 133 是否 7 的倍数的过程如下 13 3 2 7 所以 133 是 7 的倍数 又例如判断 6139 是否 7 的倍数的过程如下 613 9 2 595 59 5 2 49 所以 6139 是 7 的倍数 余类推 一一个个数数是是9 9的的倍倍数数 去去9 9 每每一一位位加加起起来来 能能被被 9 9整整除除 一一个个数数除除以以一一个个数数的的余余数数 就就看看其其对对应应的的末末几几位位除除以以这这个个数数的的余余数数即即可可 例如 两个数的差是 2345 两数相除的商是 8 求这两个数之和 A 2353B 2896C 3015D 3456 两个数的差是奇数 那么和也是奇数 商是两个数的差是奇数 那么和也是奇数 商是 8 8 说明和是 说明和是 9 9 的倍数 答案就出来了 的倍数 答案就出来了 第二模块第二模块 计算问题模块计算问题模块 第一节第一节 尾数法尾数法 计算类型的题目 选项的尾数不同 就用尾数法计算类型的题目 选项的尾数不同 就用尾数法 过程中的最后一位算出结果的最后一位 传统尾数法传统尾数法 过程的最后两位算出结果的最后两位 二位尾数法二位尾数法 1994 2002 1993 2003 的值是 A 9 B 19C 29D 39 88 79 988 79 9 除法尾数法 除以除法尾数法 除以 7 7 我们直接转化为乘法尾数法 用选项的末尾数乘以 我们直接转化为乘法尾数法 用选项的末尾数乘以 7 7 看是否符合 看是否符合 第二节第二节 整体消去法整体消去法 在计算过程中出现复杂的数 并且数字两两很接近在计算过程中出现复杂的数 并且数字两两很接近 1994 2002 1993 2003 的值是 A 9 B 19C 29D 39 弃弃 9 9 法 非常重要 法 非常重要 把过程中的每一个把过程中的每一个 9 9 包括位数之和为 包括位数之和为 9 9 或或 9 9 的倍数的倍数 1818 2727 等 都舍去 然后位数相加代替原数计算 答案也等 都舍去 然后位数相加代替原数计算 答案也 要弃要弃 9 9 上题可以解为 上题可以解为 5 4 4 55 4 4 5 答案去 答案去 9 9 剩 剩 0 0 的是的是 A A 看例 看例 8724 3967 5241 13818724 3967 5241 1381 8 4 12 3 3967 7 5241 2 1 3 1381 1 3 4 注 弃注 弃 9 9 法只适用于加减乘 除法最好不用 法只适用于加减乘 除法最好不用 题题目目 873 477 198 476 874 199 的值是多少 A 1B 2C 3D 4 方法方法 1 1 估算法 看题值只有一倍的可能 估算法 看题值只有一倍的可能 方法方法 2 2 尾数相除 得出 尾数相除 得出 1 1 方法方法 3 3 整体相消法 整体相消法 第三节第三节 估算法估算法 选项差别很大的用估算法选项差别很大的用估算法 第四节第四节 裂项相加法裂项相加法 第 8 页 共 19 页 成功在于执着 这题等于这题等于 1 1 分之分之 1 20051 2005 分之分之 1 1 乘以 乘以 1 11 1 拆成裂项的形式 拆成裂项的形式 3 1 33 1 3 255 15 17255 15 17 发散思维 先想到 发散思维 先想到 256 16 16256 16 16 第五节第五节 乘方尾数问题乘方尾数问题 的末位数字是 归纳 重要 归纳 重要 1 41 4 个数的尾数是不变的 个数的尾数是不变的 0 0 6 6 5 5 1 1 2 2 除上面之外 底数留个位 指数末两位除以除上面之外 底数留个位 指数末两位除以 4 4 留余数 余数为留余数 余数为 0 0 则看做 则看做 4 4 此方法 不用记尾数循环 此方法 不用记尾数循环 第三模块第三模块 初等数学模块初等数学模块 第一节第一节 多位数问题 包括小数位 多位数问题 包括小数位 如果问一个多位数是多少 一律采用直接代入法如果问一个多位数是多少 一律采用直接代入法 多位数问题的一些基础知识 多位数问题的一些基础知识 化归思想 从简单推出复杂 已知推出未知 化归思想 从简单推出复杂 已知推出未知 以此类推以此类推 推出推出 5 位数位数 9 加上加上 4 个个 0 90000 10 位数是位数是 9 加上加上 9 个个 0 页码 多少页 问题页码 多少页 问题 例题 编一本书的书页 用了 270 个数字 重复的也算 如页码 115 用了 2 个 1 和 1 个 5 共 3 个数字 问这本书一共有多少页 A 117B 126C 127D 189 记住公式 记住公式 第 9 页 共 19 页 成功在于执着 第二节第二节 余数问题余数问题 分两类 分两类 1 余数问题 一个数除以几 商几 余几 余数问题 一个数除以几 商几 余几 基本公式 基本公式 被除数 除数 商 余数 0 余余数数 除数 除数 一定要分清 除以除以 和和 除除 的差别的差别 哪个是被除数是不同的 如果被除数比除数小 比如 12 除 5 就是 5 除以 12 那商是 0 余数是 5 他自己 例 1 一个两两位位数数除以一个一位数 商仍然是两两位位数数 余数是 8 问被除数 除 数 商以及余数之和是多少 A 98B 107C 114D 125 除数比余数要大除数比余数要大 因此除数只能是一位数 9 商是两位数 只能是 10 例 有四个自然数 A B C D 它们的和不超过 400 并且 A 除以 B 商是 5 余 5 A 除以 C 商是 6 余 6 A 除以 D 商是 7 余 7 那么 这四个自然数的和是 A 216B 108C 314D 348 注 商注 商5余余5 说明是 说明是5的倍数的倍数 2 同余问题 一个数除以几 余几 同余问题 一个数除以几 余几 一堆苹果 5 个 5 个的分剩余 3 个 7 个 7 个的分剩余 2 个 问这堆苹果的个数最 少为 A 31B 10C 23D 41 没有商 可以采用直接代入的方法 没有商 可以采用直接代入的方法 最少是多少 从小的数代起 如果是最大数 从大的数代起最少是多少 从小的数代起 如果是最大数 从大的数代起 注 同余问题的核心口诀 应先采用代入法 注 同余问题的核心口诀 应先采用代入法 公倍数 除数的公倍数 做周期 分三种 公倍数 除数的公倍数 做周期 分三种 余同取余 和同加和 差同减差余同取余 和同加和 差同减差 1 余同取余余同取余 用一个数除以几个不同的数 得到的余数相同得到的余数相同 此时该数可以选这个相同的余数相同的余数 余同取余 例 一个数除以 4 余 1 除以 5 余 1 除以 6 余 1 则取 1 表示为 60n 1 60 是最小公倍数 因此 要乘以 n 2 和同加和和同加和 用一个数除以几个不同的数 得到的余数和除数的和相同余数和除数的和相同 此时该数可以选这个相同的和数相同的和数 和同加和 例 一个数除以 4 余 3 除以 5 余 2 除以 6 余 1 则取 7 表示为 60n 7 3 差同减差差同减差 用一个数除以几个不同的数 得到的余数和除数的差相同余数和除数的差相同 此时该数可以选除数的最小公倍数减去这个相同的差数除数的最小公倍数减去这个相同的差数 差同减差 例 一个数除以 4 余 1 除以 5 余 2 除以 6 余 3 则取 3 表示为 60n 3 选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍 即例中的 60n 都满足条件 同余问题可能涉及到的题型 在同余问题可能涉及到的题型 在 100 以内 可能满足这样的条件有几个 以内 可能满足这样的条件有几个 6n 1 就可以派上用场 就可以派上用场 特殊情况 既不是余同 也不是和同 也不是差同特殊情况 既不是余同 也不是和同 也不是差同 一个三位数除以 9 余 7 除以 5 余 2 除以 4 余 3 这样的三位三位数数共有多少个 A 5 个B 6 个C 7 个D 8 个 这样的题目方法方法 1 用周期来做 公倍数是 180 根据周期 每 180 会有一个数 三位数总共有 900 个答案是 5 个 方法方法 2 每两个两个考虑 到底是不是余同 和同 差同 每两个两个考虑 到底是不是余同 和同 差同 第三节第三节 星期日期问题星期日期问题 第 10 页 共 19 页 成功在于执着 熟记常识熟记常识 一年有 52 个星期 一年有 4 个季节 一个季节有 13 个星期 一副扑克牌有 52 张牌 一副扑克牌有 4 种花色 一种花色 13 张 平年 365 天不是纯粹的 52 个星期 是 52 个星期多 1 天 闰年 被 4 整除的都是闰年 366 天 多了 2 月 29 日 是 52 个星期多 2 天 4 4 年一闰 用于相差年份较长 如下题 年一闰 用于相差年份较长 如下题 如果 2015 年的 8 月 21 日是星期五 那么 2075 年的 8 月 25 日是星期几 涉及到月份 大月与小月涉及到月份 大月与小月 包括月份共有天数 大月7个 个 一 三 一 三 五五 七 七 八八 十 十 腊腊 十二 十二 月月31天 小月5个二 四 六 九 十一月30天 2月除外 例例 甲 乙 丙 丁四个人去图书馆借书 甲每隔 5 天去一次 乙每隔 11 天去一次 丙每隔 17 天去一次 丁每 隔 29 天去一次 如果 5 月18 日四人在图书馆相遇 则下一次四 个人相遇是几月几号 A 10 月 18 日B 10 月 14 日C 11 月 18 日D 11 月 14 日 隔的概念 隔隔的概念 隔 1 1 天即每天即每 2 2 天 天 隔 5 天即每 6 天 隔 11 天即每 12 天 隔 17 天即每 18 天 隔 29 天即每 30 天 接着 算他们的最小公倍数 怎么算最小公倍数呢 怎么算最小公倍数呢 除以最小公约数除以最小公约数 6 6 得到 得到 1 1 2 2 3 3 5 5 再将 再将 6 1 2 3 56 1 2 3 5 即他们的最小公倍数即他们的最小公倍数 180180 因此 因此 180180 天以后是天以后是 1111 月月 1414 答案是 答案是 D D 例 例 一个月有 4 个星期四四 5 个星期五五 这个月的 15 号是星期几 题眼 星期四和星期五是连着的 所以 这个月的第一天是星期五 题眼 星期四和星期五是连着的 所以 这个月的第一天是星期五 1515 号是星期五号是星期五 第四模块第四模块 比例问题模块比例问题模块 第一节第一节 设设 1 1 思想 是计算方法 不是解题方法 思想 是计算方法 不是解题方法 概念 未知的一个总量 但它是几并不影响结果 可用设概念 未知的一个总量 但它是几并不影响结果 可用设 1 1 思想 设思想 设 1 1 思想是广义的思想是广义的 设设 1 1 法法 可以设为可以设为 1 1 2 2 3 3 等 设为一个比较好算的 等 设为一个比较好算的 全部都是分数和比例 所以可以用设全部都是分数和比例 所以可以用设 1 1 思想 设总选票为思想 设总选票为 6060 更加好算 更加好算 6060 是几个分母的最小公倍数 是几个分母的最小公倍数 商店购进甲 乙 丙三种不同的糖 所用费用相等 已知甲 乙 丙三种糖每千克 的费用分别为4 4元 6元和 6 6元 如果把这三种糖混在一起成为什锦糖 那么这种什锦糖每 千克的成本是多少元 看到看到 4 44 4 6 6 6 66 6 我们想到的应该是甲乙丙费用相等都为我们想到的应该是甲乙丙费用相等都为 6666 然后就出来了 然后就出来了 第二节第二节 工程问题 设工程问题 设 1 1 思想的运用 思想的运用 一条隧道 甲单独挖要 20 天完成 乙单独挖要 10 天完成 如果甲先挖1 天 然后 乙接甲挖 1 天 再由甲接乙 挖1 天 两人如此交替 共用多少天挖完 A 14B 16C 15D 13 设总量为设总量为 20 10 20020 10 200 然后用手指掰着算 然后用手指掰着算 设为最小公倍数设为最小公倍数 第 11 页 共 19 页 成功在于执着 一篇文章 现有甲乙丙三人 如果由甲乙两人合作翻译 需要 10 小时完成 如果 由乙丙两人合作翻译 需要 12 小时完成 现在先由甲丙两人合作翻译 4 小时 剩下的再由 乙单独去翻译 需要 12 小时才能完成 则 这篇文章如果全部由乙单独翻译 要多少个小 时完成 A 15B 18C 20D 25 设总量为设总量为 6060 甲甲 乙乙 6 6 乙乙 丙丙 5 5 甲 甲 丙 丙 4 124 12 乙乙 60 60 根据选项是算乙 因此要更加关心乙的地位 要化为乙的算式 根据选项是算乙 因此要更加关心乙的地位 要化为乙的算式 第三节第三节 浓度问题浓度问题 浓度浓度 浓质浓质 浓液浓液 浓液浓液 浓质浓质 浓剂浓剂 甲甲杯中有浓浓度为度为17 的溶 的溶液液400克克 乙乙杯中有浓度为浓度为23 的溶液 的溶液600克克 现在从甲 乙两杯中取取出相同出相同总总量的量的 溶溶液液 把从甲杯中取出的倒倒入乙杯入乙杯中 把从乙杯中取出的倒入倒入甲甲杯杯 中 使甲 乙两杯溶液的浓浓度度相同相同 问现在现在 两杯溶液的浓度浓度是多少 A 20 B 20 6 C 21 2 D 21 4 B 由于混合后浓度相同混合后浓度相同 那么现在的浓度等于 总的溶质 总的溶质 总的溶液 总的溶液 即 400 17 600 23 400 600 100 20 6 注意 答案不可能是注意 答案不可能是 A 看起来很简单的答案往往不是答案看起来很简单的答案往往不是答案 公务员考试是复杂的 如如 一个人从一楼爬到三楼 花了 6 分钟 那从 1 楼到 30 楼 需要几分钟 解解 不要定向思维选 60 1 楼到 3 楼爬了 2 层 每层 3 分钟 1 楼到 30 楼 爬了 29 层 29 3 87 答案是 87 例例 在 20 时 100 克水中最多最多能能溶解溶解 36 克食盐 从中取出食盐水 50 克 取出的溶液 的浓度是多少 A 36 0 B 18 0 C 26 5 D 72 0 最多能溶解 即溶解度 此时浓度为最多能溶解 即溶解度 此时浓度为 36 100 36 C36 100 36 C 注 最多能溶解注 最多能溶解 无论再往里面加多少克食盐 因为无法溶解 浓度都不变 无论再往里面加多少克食盐 因为无法溶解 浓度都不变 例例 一种溶液 蒸蒸发一定发一定水水后后 浓度为 10 再蒸发同样蒸发同样的的水水 浓度为 12 第三次蒸 发同样多的水后 浓度变为多少 A 14 B 17 C 16 D 15 解 解 10 10 到到 12 12 溶质不变 溶液改变 因此将分子设为最小公倍数 溶质不变 溶液改变 因此将分子设为最小公倍数 6060 分母为 分母为 600600 到到 500500 蒸发了 蒸发了 100100 分水 分水 因此 第三次的水是因此 第三次的水是 400400 溶质不变 所以是 溶质不变 所以是 D D 熟记这些数字 熟记这些数字 10 10 12 12 15 15 20 20 30 30 60 60 蒸发或增加了同样的水 蒸发或增加了同样的水 第五模块第五模块 行程问题模块行程问题模块 第一节第一节 往返平均速度问题往返平均速度问题 数学上的平均数有两种 数学上的平均数有两种 一种是算术平均数一种是算术平均数 M X1 X2 Xn n 即 v1 v2v1 v2 2 2 一种是调和平均数 一种是调和平均数 调调和和平平均均数数是是各各个个变变量量值值 标标志志值值 倒倒数数的的算算术术平平均均数数的的倒倒数数 恒恒小小于于算算术术平平均均数数 第 12 页 共 19 页 成功在于执着 通过往返平均数速度公式的验算 当通过往返平均数速度公式的验算 当 v1 10 v2 15 vv1 10 v2 15 v 平均平均 12 12 当 当 v1 12 v2 15 vv1 12 v2 15 v 平均平均 20 20 当 当 v1 15 v2 30 vv1 15 v2 30 v 平均平均 20 20 熟记这个数字 熟记这个数字 1010 1212 1515 2020 3030 6060 对应前文溶液蒸发水的那部分 对应前文溶液蒸发水的那部分 应用 应用 v1 20 10 2 v2 30 15 2 v 平均 12 2 24 v1 40 v2 60 v 平均 48 发现一个特点一个特点 v v 平均数平均数都是更靠近那个小的数 且更靠近那个小的数 且可以分成两个两个 1 1 2 2 的部分的部分 第二节第二节 相遇追及 流水行船问题相遇追及 流水行船问题 相遇问题相遇问题 描述上是相向而行相向而行 v v1 v2 相背而行相背而行 描述商是相反而行相反而行 v v1 v2 追及问题 追及问题 描述上是追上了 是追上了 v v1 追的那个速度快 v2 被追的速度慢 队伍行进问题队伍行进问题 1 1 从队尾到队头从队尾到队头 实质上是追及追及问题 v v1 追的那个速度快 v2 被追的速度慢 队伍行进问题队伍行进问题 2 2 从队头到队尾从队头到队尾 实质上是相遇相遇问题 v v1 v2 流水行船问题 分三类 水 风 电梯 顺 取和 逆 取差 流水行船问题 分三类 水 风 电梯 顺 取和 逆 取差 但是 顺着人和队伍走但是 顺着人和队伍走 赶上某人或队伍赶上某人或队伍 追及问题追及问题 v v1 v2v v1 v2 因此 顺加逆减有原则 水 风 电梯都是带着人走 因此 顺加逆减有原则 水 风 电梯都是带着人走 例 例 姐弟俩出游 弟弟先走一步 每分钟走 40 米 走 80 米后姐姐去追他 姐姐每分钟走 60 米 姐姐带的小狗姐姐带的小狗 每分钟跑每分钟跑 150150 米米 小狗追上弟弟又转去找姐姐 碰上姐姐又转去追弟弟 这样跑来跑去 直到姐弟相遇小狗才 停下来 问小狗共跑了多少米问小狗共跑了多少米 A 600B 800C 1200D 1600 解解 姐姐和弟弟姐姐和弟弟的速度差 20 8080 除以除以 2020 4 分钟 姐姐要追上弟弟 需要的时间姐姐要追上弟弟 需要的时间 因此 小狗的路程小狗的路程 4 4 分钟乘以速度分钟乘以速度 150 600150 600 关键在于抓住不变的值 关键在于抓住不变的值 补充一题 青蛙跳井 陷阱 补充一题 青蛙跳井 陷阱 一只青蛙往上跳 一个井高 10 米 它每天跳跳 4 4 米米 又掉下来 3 米 问跳几天就到井口 一定要思考一定要思考 当只剩下只剩下 4 4 米米的时候 一跳就跳出去了 因此是第 6 天跳到 6 米 第第 7 7 天天就跳到井口了 例 例 红星小学组织学生排成队步行去郊游 每分钟步行 60 米 队尾的王老师以每分钟 步行 150 米的速度赶到排赶到排 头头 然后立即返回队尾返回队尾 共用 10 分钟 求队伍的长度 A 630 米B 750 米C 900 米D 1500 米 设长度为设长度为 S S S 90 S 210 10S 90 S 210 10 不用算 不用算 S S 肯定被肯定被 9090 和和 210210 整除 答案是整除 答案是 A630A630 第三节第三节 漂流瓶问题漂流瓶问题 第 13 页 共 19 页 成功在于执着 T1T1 是船逆流的时间 是船逆流的时间 t2t2 是船顺流的时间 所以是船顺流的时间 所以 t1 t2t1 t2 例例 已知 A B 是河边的两个口岸 甲船由 A 到 B 上行需要 10 小时 下行由 B 到 A 需要 5 小时 若乙船由 A 到 B 上行需要15 小时 则下行由 B 到 A 需要 小时 A 4B 5C 6D 7 注意注意 甲船和乙船的对应漂流瓶的速度是相等的漂流瓶的速度是相等的 同一条河流上同一条河流上 因此因此t 2 10 5 10 5 t 2 15 t2 15 t2 第五模块第五模块 几何问题模块 重点 几何问题模块 重点 第一节第一节 几何公式法几何公式法 1周长公式周长公式 正方形 4a 长方形 2 a b 圆 2 R R是半径 2面积公式面积公式 掌握两个特殊的 S圆 R2 S扇形 n度数 360 R2 3常见角度公式常见角度公式 三角形内角和 180 N边形内角和为 N 2 180 4 常用表面积公式 常用表面积公式 正方体的表面积 6a2 长方体的表面积 2ab 2bc 2ac 球体的表面积 4 R2 圆柱体的底面积 2 R2 圆柱体的侧面积 2 Rh 圆柱体的表面积 2 R2 2 Rh 5常用体积公式常用体积公式 正方体的体积 a a a 长方体的体积 abc 球的体积 4 3 R3 圆柱体的体积 R2 h 圆锥体的体积 1 3 R2h 例例 1 假设地球是一个正球形 它的赤道长赤道长 4 万千米万千米 现在用一根比赤道长比赤道长 10米的绳子米的绳子围绕赤道一周 假 设在各处绳子离地面的距离都是相同的 请问绳子距离地面大约有多高 A 1 6 毫米B 3 2 毫米C 1 6 米D 3 2 米 解析 解析 赤道长 2 R 4 万千米 绳长 2 R h 4 万千米 10 米 两式相减 2 h 10 米 h 10 2 1 6 米 选择 C 例例 9 甲 乙两个容器均有 50 厘米深 底面积之比为 5 4 甲容器水深 9 厘米 乙容器 水深 5 厘米 再往 两个容器各注入同同样样多的多的水水 直到水深相等 这时两容器的水深是多少厘 米 A 20 厘米B 25 厘米C 30 厘米D 35 厘米 解解 同样多的水 意味着体积相同 底面积 5 4 那么体积相同 所以 设这时水深为X 那么 X 9 x 5 4 5 第二节第二节 割补平移法割补平移法 没有公式的 不规则图形 我们必须使用 割割 补补 平移平移 等手段将其转化为规则图形的问题 第 14 页 共 19 页 成功在于执着 第三节第三节 几何特性法几何特性法 等比例放缩特性等比例放缩特性 一个几何图形其尺度 各边长或长宽高 尺度 各边长或长宽高 变为原来的原来的 m 倍倍 则 1 对应角度角度不发生改变 2 对应长度长度变为原来的 m 倍 3 对应面积面积变为原来的 m2 倍 4 对应体积体积变为原来的 m3 倍 几何最值理论几何最值理论 1 平面图形中 若周长一定 越接近于圆 正方形 面积越大 2 平面图形中 若面积一定 越接近于圆 正方形 周长越小 3 立体图形中 若表面积一定 越接近于球 体积越大 4 立体图形中 若体积一定 越接近于球 表面积越小 例 2 一个油漆匠漆一间房间的墙壁 需要 3 天时间 如果用同等速度漆一间长 宽 高 都比原来大一倍的房间的墙壁 那么需要多少天 A 3B 12C 24D 30 答案 答案 B 解析 解析 边长增大到原来的 2 倍 对应面积增加到 4 倍 因此共需 3 4 12 天 例例 5 5 要建造一个容积为 8 立方米 深为 2 米的长方体无盖水池 如果池底和池壁的造价 分别为每平方米 120 元和 80 元 那么水池的最低造价为多少元 A 800B 1120C 1760D 2240 答案 答案 C 解析 解析 该水池的底面积为 8 2 4 平方米 设底面周长为 C 米 则 该无盖水池造价 2C 80 4 120 160C 480 元 因此 为了使总造价最低 应该使底面周长尽可能短 由 几 何最值理论 当底面为正方形时 底面周长最短 此时底面边长为 2 米 底面周长为 8 米 水池的最低造价 160 8 480 1760 元 第七模块第七模块 计数问题模块 统计数量问题 计数问题模块 统计数量问题 第一节第一节 排列组合问题排列组合问题 核心概念 核心概念 1 1 加法和乘法原理加法和乘法原理 加法原理加法原理 分类用加法 取其一 分类用加法 取其一 分类 翻译成 要么 要么 乘法原理乘法原理 分步用乘法 全部取 分步用乘法 全部取 分步 翻译成 先 后 再 例 例 教室里有15个同学 其中有10个男生 5个女生 选其中一个擦黑板擦黑板 就是取其一取其一 10 5 教室里有15个同学 其中有10个男生 5个女生 选其中一男一女交际舞一男一女交际舞 全部取全部取 10 5 2 2排列和组合问题排列和组合问题 排列 和顺序有关 排列 和顺序有关 换顺序变成另一种情况的就是排列 A A的公式 假设从的公式 假设从m m中取中取N N 那 那A M A M m 1m 1 连乘 连乘N N个 个 组合 和顺序无关 组合 和顺序无关 换顺序还是原来的情况那种就是组合 C C的公式 假设从的公式 假设从M M中取中取N N 那 那C m m 1 m 2 C m m 1 m 2 n n 1 n 2 n n 1 n 2 分子 分母都连乘 分子 分母都连乘n n个个 例 5 林辉在自助餐店就餐 他准备挑选三种肉类中的一种肉类 四种蔬菜中的二种不同 蔬菜 以及四种点 第 15 页 共 19 页 成功在于执着 心中的一种点心 若不考虑食物的挑选次序 则他可以有多少种不同的选 择方法 A 4B 24C 72D 144 解 解 不考虑食物的次序 所以用C 然后肉类 蔬菜 点心是属于分步问题 全取 所以用乘肉类 蔬菜 点心是属于分步问题 全取 所以用乘 法原理 法原理 例 6 一张节目表上原有 3 个节目 如果保持这三个节目的相对顺序顺序不不变变 再添加 2 个新 节目 有多少种安排方法 A 20B 12C 6D 4 解解 顺序不变不等于捆绑 捆绑是只用于挨着的情况 此题用插空法 方法方法1 1 分类计算思想分类计算思想 当新节目为XY 要么要么X Y在一起的情况和要么要么x y不在一起的情况 捆绑法的前提 捆绑的对象必须在一起 相邻问题 捆绑法的前提 捆绑的对象必须在一起 相邻问题 3 3个人捆起来 个人捆起来 A33A33 也需要安排顺序 也需要安排顺序 捆绑法先用的捆绑法先用的 插空法的前提 插空的对象不允许在一起 相隔问题 插空法的前提 插空的对象不允许在一起 相隔问题 3 3个人插空是后插他们 先安排别的元素个人插空是后插他们 先安排别的元素 插空法是后用的插空法是后用的 方法方法2 2 分步计算思想 先插 分步计算思想 先插X X 再插 再插Y Y 很重要的思想 很重要的思想 3 3 错位排列问题 顺序全错 错位排列问题 顺序全错 问题表述 有问题表述 有 N N 封信和封信和 N N 个信封 则每封信都不装在自己的信封里 可能的方法的个信封 则每封信都不装在自己的信封里 可能的方法的 种数计作种数计作 DnDn 核心要求核心要求 大家只要把前六个数背下来前六个数背下来即可 0 0 1 1 2 2 9 9 4444 265265 分别对应 n 1 2 3 4 5 6 例例 甲 乙 丙 丁四个人站成一排 已知 甲不站在第一位 乙不站在第二位 丙不 站在第三位 丁不站在第四位 则所有可能的站法数为多少种 A 6B 12C 9D 24 例 9 五个瓶子都贴了标签 其中恰好恰好贴错了三个 则错的可能情况共有多少种 A 6 B 10C 12D 20 解解 C53 2 2 三个瓶子贴三个标签恰好贴错为 三个瓶子贴三个标签恰好贴错为2 2 20 引申引申 5 5个瓶子恰好贴对了个瓶子恰好贴对了2 2个个 恰好贴错了恰好贴错了3 3个个 5 5个瓶子恰好贴错了个瓶子恰好贴错了4 4个 答案是个 答案是0 0 因为这是不可能的 因为这是不可能的 第二节第二节 比赛计数问题比赛计数问题 比赛分类比赛分类 循环赛 淘汰赛 1 1循环赛 循环赛 单循环单循环 任何两个人都要打一场 Cn2Cn2 双循环双循环 任何两个人打两场 分为主场和客场 2 Cn22 Cn2 注 在没提示单和双的情况下 是单循环 注 在没提示单和双的情况下 是单循环 2 2淘汰赛 输一场就走人 淘汰赛 输一场就走人 决出冠亚军 决出冠亚军 n n个人要打 个人要打 n 1n 1 场 因为要淘汰 场 因为要淘汰 n 1n 1 个人 个人 决出冠亚 第三和第四名 决出冠亚 第三和第四名 n n个人要打个人要打n n场 冠军和亚军干掉的两个人加一场 所以是场 冠军和亚军干掉的两个人加一场 所以是n n场 场 例 2 100 名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛 要产生男 女冠军各一名 则要安排单 打赛多少场 A 90B 95C 98D 99 要淘汰98个人 所以98场 例题例题 某足球赛决赛 共有 2424 个队个队参加 它们先分成六个小组六个小组进行循环赛循环赛 决出 16 强 这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛 最后决出冠 亚军和第三 四名冠 亚军和第三 四名 总共需要安排多 少场比赛 A 48B 51C 52D 54 解 解 循环赛没有提示就看成单循环赛 C42 6 16 52 此题容易想歪此题容易想歪 不同的组没有胜负关系 第三节第三节 容斥原理容斥原理 核心公式 核心公式 1 1 两个集合的容斥关系公式 两个集合的容斥关系公式