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3 2 2平面的法向量与平面的向量表示 一 复习引入 直线与平面垂直的定义 判定和性质 定义 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线 那么称这条直线和这个平面垂直 判定 如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线 则这条直线与这个平面垂直 性质 1 垂直于同一个平面的两条直线平行 2 垂直于同一条直线的两个平面平行 1 平面的法向量 已知平面 如果向量的基线与平面垂直 则叫做平面的法向量或说向量与平面正交 二 探究新知 思考 1 平面的法向量是否只有一个 一个平面有无数多个法向量 所有法向量互相平行 性质 平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量 2 平面的一个法向量和与平面共面的向量之间有何关系 问题 直线与平面垂直的判定定理的向量法证明 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直 那么这条直线垂直于这个平面 已知 是平面内的两条相交的直线 且求证 概念应用 牛刀小试 a b c d b1 c1 d1 a1 思考 如何求平面的法向量 已知正方体ac1 写出平面abc和平面ab1c的一个法向量 典例剖析 例1 已知点其中求平面的一个法向量 设平面的一个法向量为 则 解得 令则 令则 解 由已知得 什么关系 巩固练习 在空间直角坐标系中 已知a 3 0 0 b 0 4 0 c 0 0 2 试求平面abc的一个单位法向量 模为1的法向量 叫做单位法向量 记作显然 方法总结 求平面的法向量的步骤 1 设平面的法向量为 3 建立关于x y z的方程组 2 在已知平面内找出 求出 两个不共线的向量 4 解方程组 并用一个未知量表示其他两个未知量 然后给未知量赋特值 从而得到平面的法向量 待定系数法 2 平面的向量表示 1 设a是空间任意一点 为空间任意一个非零向量 适合条件的点m的集合构成什么样的图形 称此为平面的向量表达式 二 探究新知 通过空间内一点并且与一个向量垂直的平面可以表述为 设分别是平面的法向量 则有 二 探究新知 3 平面法向量的应用 用法向量证明平面与平面平行及垂直 垂直 平行 相交 例2 设分别是平面的法向量 根据下列条件 判断的位置关系 三 概念应用 4 5 例3设平面的法向量为 1 2 2 平面的法向量为 2 4 k 若 则k 若 则k 三 概念应用 a b c d a1 b1 c1 d1 利用法向量证明两个平面垂直的基本思路是证明两个平面的法向量互相垂直 三 概念应用 例4 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是bb1 cd的中点 求证 平面dea 平面a1fd1 思考 例4中 已知正方体abcd a1b1c1d1中 e f m分别是bb1 cd dd1的中点 求证 在平面dea平面b1c1f 四 课堂小结 1 平面法向量的
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