高中数学第三讲3.1二维形式的柯西不等式课后导练新人教选修.docx_第1页
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文档简介

3.1 二维形式的柯西不等式课后导练基础达标1已知a,b,m,nR+,且m+n=1,设T=,Q=,则( )A.TQ B.TQC.Tbc,则与的大小关系是( )A.B.C.bc,a-b,a-c,b-c0.由于()(a-c)=()2+()2()2+()2(1+1)2=4,()(a-c)4.答案:B4用柯西不等式证明()2.证明:(12+12)(a2+b2)(a+b)2,即2(a2+b2)(a+b)2,两边同除以4,即得()2.50x1,求证:(a+b)2.证明:x+(1-x)=1,=x+(1-x)()(a+b)2.综合应用6已知x,y,a,b为正数,且a+b=10,=1,x+y的最小值为18,求a,b.解析:x+y=(x+y)()()2=a+b+=18,又a+b=10,因此a=2,b=8或者a=8,b=2.7x,y,a,bR+,x2+y2=1,a2+b2=1,求证:|ax+by|1.证明:1=(a2+b2)(x2+y2)(ax+by)2,|ax+by|1.8已知a,b,c,d,x,y均为正数,且x2=a2+b2,y2=c2+d2,求证:xy.证明:x2y2=(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,xyac+bd.又x2y2=(a2+b2)(d2+c2)(ad+bc)2,xyad+bc.得x2y2(ac+bd)(ad+bc),即xy.9设a,bR+,且a+b=1,求证:(a+)2+(b+)2(用柯西不等式证明).证明:(12+12)(a+)2+(b+)2(a+)+(b+)2=1+(+)2=(1+)225(ab),(a+)2+(b+)2.拓展探究10求使直线xcos+ysin=2和椭圆x2+3y2=6有公共点的的取值范围(0).解析:由柯西不等式22=(xcos+ysin)2=(xcos+ysin)2(x2+3y2)(cos2+sin2)=6cos2+2sin2.解得cos2,即cos或cos.因为0,所以0或.备选习题11a,b,cR+,且acos2+bsin2c,求证:cos2+sin20,由柯西不等式(1+)(1+)(1+)2=(1+)2(1+2n)2.14双曲线9x2-16y2=r2(r0)与直线x+y=2有公共点,求r的取值范围.解析:要使直线与曲线有公共点,由柯西不等式x2=(2-y)2=r+(-)4y2(+)(r2+16y2)=(+)9x2.消去非零x,整理得r2.由r0,那么0r.15求经过x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程.解析:由M(x0,y0)在圆上,得x02+y02=r2,由柯西不等式r4=(x2+y2)(x02+y02)(x0x+y0y)2.所以x0x+y0y=r2.因为点M(x0,y0)满足x0x+y0y=r2,所以x0x+y0y=r2为要求的切线方程.16已知a2+b2=2,则asin+bcos的最大值是(
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